专题2.13 巧算有理数【九大题型】-最新苏教版七年级上册数学精讲精练

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1、注重生活联系，形式活泼多样。初中生的数学思维能力正逐步由直观形象思维向抽象思维发展。这个发展需要一定的过程。
2、注重动手操作，引导学生“做”数学。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探索与合作交流也是学习数学的重要方法。
3、注重“过程”和数学思想方法。新教材通过让学生亲身经历知识的形成过程，使学生的学习过程更多地成为其发现数学、了解数学、体验数学的过程。
专题2.13 巧算有理数【九大题型】
【苏科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1289" 【题型1 凑整法】 PAGEREF _Tc1289 \h 1
\l "_Tc17703" 【题型2 拆项法】 PAGEREF _Tc17703 \h 2
\l "_Tc4413" 【题型3 组合法】 PAGEREF _Tc4413 \h 2
\l "_Tc14358" 【题型4 裂项相消法】 PAGEREF _Tc14358 \h 3
\l "_Tc20712" 【题型5 相互转化法】 PAGEREF _Tc20712 \h 3
\l "_Tc4686" 【题型6 倒数法】 PAGEREF _Tc4686 \h 3
\l "_Tc20154" 【题型7 错位相减法】 PAGEREF _Tc20154 \h 4
\l "_Tc27403" 【题型8 利用分配律进行简算】 PAGEREF _Tc27403 \h 4
\l "_Tc26375" 【题型9 利用图形进行简算】 PAGEREF _Tc26375 \h 4
知识点1：凑整法
多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。
【题型1 凑整法】
【例1】（23-24七年级·上海普陀·期中）计算：−3.19+21921+−6.81−−2221
【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·阶段练习）计算：
−7.3−−656+|−3.3|+116．
【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）计算：−218++5+−312++1.125++412．
【变式1-3】（2024秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：
−218++5+−312++1.125++412；
知识点2：拆项法
先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律, 结合律得出答案。
【题型2 拆项法】
【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）计算：−556+−923+1734+−312
【变式2-1】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+3579+−2349；
(2)−201856+−201723+−112+4036．
【变式2-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）计算：−201156+−201223+4023+−112．
【变式2-3】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+1725+−735．
(2)−202329+−202449+4048+59．
知识点3：组合法
观察算式,找出算式分布规律,然后适当分组,利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。
【题型3 组合法】
【例3】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2019−2020值为（ ）
A．0B．﹣1C．2020D．-2020
【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期中）计算：
（1）−18+17+−12−−33．
（2）+325+−278−−535−+118．
【变式3-2】（23-24七年级·安徽阜阳·阶段练习）计算：
2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+16−13+10−7+4
【变式3-3】（23-24七年级·北京·期末）1−3−5+7+9−11−13+15+⋯+2009−2011−2013+2015= ．
知识点4：裂项相消法
根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两项相加,只剩下首项和末项相加得出结果。
【题型4 裂项相消法】
【例4】（23-24七年级·山东威海·阶段练习）计算：
(1)11×2+12×3+13×4+…+12004×2005；
(2)11×3+13×5+15×7+…+149×51；
(3)16+112+120+130+142+156．
【变式4-1】（23-24七年级·安徽马鞍山·期中）计算：12×4+14×6+16×8+⋅⋅⋅+12022×2024．
【变式4-2】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）计算：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+⋯+1−2021×2023．
【变式4-3】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）计算：1−122×1−132×⋅⋅⋅×1−120212×1−120222．
知识点5：相互转化法
根据算式特点,将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。
【题型5 相互转化法】
【例5】（23-24七年级·江苏盐城·开学考试）计算：38×14+17×0.25+45×25%
【变式5-1】（23-24七年级·浙江衢州·阶段练习）计算：8×−53×−0.25÷−56；
【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）计算： −0.25×−3×8×−40×−13×12.5
【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
【题型6 倒数法】
【例6】（23-24七年级·陕西汉中·期末）计算−112÷13−14+16的值．
【变式6-1】（23-24七年级·湖北襄阳·期中）计算：(−78)÷(134−78+712)．
【变式6-2】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习）计算：50÷13−14+112．
【变式6-3】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）计算：134−78−712÷−78+−78÷134−78−712．
【题型7 错位相减法】
【例7】（23-24七年级·山东滨州·期中）计算：1−5+52−53+54−55+⋯+52020−52021+52022−520236=
【变式7-1】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习计算：1+2+22+23+24+…+2999
【变式7-2】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）计算9+92+93+...+92009的值．
【变式7-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）计算
（1）1+7+72+73+⋯⋯+72022的值．
（2）1+2×13+3×132+4×133+⋯+9×138+10×139．
【题型8 利用分配律进行简算】
【例8】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：36.2×1.638+6.382．
【变式8-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）用简便方法计算
(1)63536×−6
(2)999×11845+333×−35−999×1835.
【变式8-2】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）简便计算：
(1)12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023；
(2)19+110+111+112×110+111+112+113−19+110+111+112+113×110+111+112．
【变式8-3】（23-24七年级·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算
(1)2021×20222022−2022×20212021；
(2)112+214+318+4116+5132+6164
(3)2015+2016×20142016×2015−1
(4)920−1130+1342−1556+1772×121212131313
【题型9 利用图形进行简算】
【例9】（23-24七年级·全国·期中）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图（2），再设计一个能求：12+122+123+124+⋯+12n的值的几何图形．
【变式9-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

(1)图中阴影部分的面积为 ；
(2)受此启发，得到12+14+18+⋯+126＝ ；
(3)联系拓广，得到12+14+18+⋯+12n＝ （用含n的式子表示）；
(4)迁移应用：得到23+13×23+132×23+133×23+⋯+132023×23＝ （直接写出答案即可）．
【变式9-2】（23-24七年级·湖南永州·期中）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210．
【运用】仿照此法计算：
解：设S=1+2+22+23+24+…+210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+211②
由②−①得：2S−S=211−1，
即：S=1+2=22+23+24+…+210=211−1，
(1)1+5+52+53+54+…+550；
(2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．

完成下列问题：
①小正方形S2022的面积等于 ；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．
【变式9-3】（23-24七年级·山东青岛·期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算19+192+193+⋯+19n(其中n是正整数，且n≥2，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算12+122+123+⋯+12n．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+12；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n=1−12n．
探究二：计算13+132+133+⋯+13n．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+⋯+23n，最后空白部分的面积是13n．
根据第n次分制图可得等式：23+232+233+⋯+23n=1−13n，
两边同除2，得13+132+133+⋯+13n=12−12×3n，
探究三：计算14+142+143+⋯+14n．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算19+192+193+⋯+19n．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，19+192+193+⋯+19n=___________．
(3)拓广应用：计算9−19+92−192+93−193+⋯+9n−19n=___________．