专题2.14 有理数中的规律探究【八大题型】-最新苏教版七年级上册数学精讲精练

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专题2.14 有理数中的规律探究【八大题型】
【苏科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10708" 【题型1 数字类规律探究】 PAGEREF _Tc10708 \h 1
\l "_Tc17006" 【题型2 四则运算中的规律探究】 PAGEREF _Tc17006 \h 3
\l "_Tc26306" 【题型3 乘方中的规律探究】 PAGEREF _Tc26306 \h 7
\l "_Tc24209" 【题型4 周期中的规律探究】 PAGEREF _Tc24209 \h 10
\l "_Tc31542" 【题型5 递进中的规律探究】 PAGEREF _Tc31542 \h 12
\l "_Tc16832" 【题型6 表格中的规律探究】 PAGEREF _Tc16832 \h 15
\l "_Tc24232" 【题型7 图形中的规律探究】 PAGEREF _Tc24232 \h 18
\l "_Tc9358" 【题型8 新定义中的规律探究】 PAGEREF _Tc9358 \h 22
【题型1 数字类规律探究】
【例1】（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）观察一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2024个数是（ ）．
A．22024B．22024−1C．22023D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】根据1，2，4，8，16，…，得出第n个数为2n−1，把n=2024代入即可作答．
【详解】解：观察所给的数据，
得第n个数为2n−1，
当n=2024时，2n−1=22024−1=22023，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键找出第n个数为2n−1，难度较小．
【变式1-1】（23-24七年级·陕西商洛·期末）观察下面一列数：
按照此规律第9组的两数之和为 ．
【答案】−72
【分析】本题考查的是数字类的规律探究，掌握探究的方法，并灵活运用规律解题是关键．由条件归纳可得：每一组的第一个数构成连续的正整数，第二个数奇次项为负数，偶次项为正数，其绝对值是第一个的数的平方，从而可得答案．
【详解】解：由条件归纳可得：
每一组的第一个数构成连续的正整数，
第二个数奇次项为负数，偶次项为正数，其绝对值是第一个的数的平方，
∴第9组数为9,−81，
∴9+−81=−72，
故答案为：−72．
【变式1-2】（23-24七年级·山东滨州·阶段练习）一组按规律排列的数−14，39，−516，725，−936…第9个数是 ．
【答案】−17100
【分析】直接根据题意找出规律作答即可．
【详解】解：−14=−1×1×2−122=−1×2−11+12，
39=−12×2×2−132=2×2−12+12，
−516=−13×3×2−142=−3×2−13+12，
……，
第n个数是−1n2n−1n+12，
第9个数是−199×2−19+12=−17100，
故答案为：−17100．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，解题的关键是得到第n个数是−1n2n−1n+12．
【变式1-3】（23-24七年级·广西崇左·期末）如图，在各正方形中的四位数之间有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（ ）.
A．16,257B．16,91C．10,101D．10,161
【答案】D
【分析】根据数字规律分别得出c=16，a=10，再由运算方法求解即可．
【详解】解：分析正方形中的四个数：
四个大正方形中第一行从左往右第一个数分别为1，3，5，7；
第二个数分别为：2，4=22，8=23，16=24；
∴c=16；
第二行第一个数分别为：4，6，8，10，
∴a=10，
第二行第二个数分别为：9=2×4+1，25=4×6+1，65=8×8+1，b=ac+1=160+1=161，
故选D．
【点睛】题目主要考查数字规律探索及有理数的乘方运算，找出相应的规律是解题关键．
【题型2 四则运算中的规律探究】
【例2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，…
(1)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律 ；
(2)按照上面算式的规律计算：21×2+22×3+23×4+⋯+22017×2018的值．
【答案】(1)1nn+1=1n−1n+1
(2)20171009
【分析】本题考查了数字的变化规律类问题，探寻数列规律认真计算观察联想是解决这类问题的关键．
（1）根据已知的算式拆项计算，观察规律即可得到答案；
（2）先根据得出的规律拆项展开，再合并，最后求出即可
【详解】（1）∵11×2=1−12，
12×3=12−13，
13×4=13−14，
14×5=14−15，
……，
∴第n个等式为：1nn+1=1n−1n+1；
故答案为：1nn+1=1n−1n+1；
（2）21×2+22×3+23×4+⋯+22017×2018
＝2×（11×2+12×3+13×4+⋯+12017×2018）
＝2×（1−12+12−13+13−14+⋯+12017−12018）
＝2×（1﹣12018）
＝2×20172018
＝20171009．
【变式2-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）观察以下等式：第1个等式：21−32=12；第2个等式32−56=23；第3个等式43−712=34；第4个等式54−920=45；……；按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式 ；
(2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示）.
【答案】(1)76−1342=67
(2)n+1n−2n+1n(n+1)=nn+1
【分析】（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即可得到第六个等式；
（2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可．
【详解】（1）∵第1个等式：21−32=12，
第2个等式32−56=23，
第3个等式43−712=34，
第4个等式54−920=45，
……
∴第6个等式为：76−1342=67．
故答案为：76−1342=67．
（2）由（1）得，第n个等式：n+1n−2n+1n(n+1)=nn+1，
【点睛】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答．
【变式2-2】（23-24七年级·宁夏银川·期中）观察下列各式：
1−122=34=12×32；1−132=89=23×43；1−142=1516=34×54；1−152=2425=45×65；…．
(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：1−1102=( )100=( )10×( )10；
(2)用你发现的规律计算：1−122×1−132×1−12×⋯×1−11002．
【答案】(1)见解析
(2)101200．
【分析】本题考查了有理数乘法的规律探究，关键找到规律写出分数相乘的形式．
（1）根据等式规律写出分数相乘的形式计算结果．
（2）按规律写出分数相乘形式，再根据分数乘法进行约分求解．
【详解】（1）解：1−1102=1−1100=99100=910×1110；
（2）解：1−122×1−132×1−12×⋯×1−11002
=12×32×23×43×34×54×⋯×99100×101100
=12×101100
=101200．
【变式2-3】（2024七年级·安徽·专题练习）研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
4×6+1=25=52
…
(1)请你找出规律并计算7×9+1= =( )2
(2)用含有n的式子表示上面的规律： ．
(3)用找到的规律解决下面的问题：
计算：(1+11×3)(1+12×4)(1+13×5)(1+14×6)…(1+19×11)= ．
【答案】(1)64,8
(2)n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2
(3)2011
【分析】本题主要考查了有理数的运算，数字规律问题，对于（1）和（2），通过观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1=64=82；含有n的式子表示的规律．
对于（3），由(1+11×3)(1+12×4)=(1×3+11×3)(2×4+12×4)=221×3×322×4=21×23×32×34，
利用此规律计算．
【详解】（1）7×9+1=64=82．
故答案为：64，82；
（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2．
故答案为：n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2；
（3）原式21×23×32×34×43×45⋅⋅⋅98×910×109×1011=2011．
故答案为：2011．
【题型3 乘方中的规律探究】
【例3】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，8个看不见；…，则第⑥个图中看得见的有 个．
【答案】91
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=序号数−1×序号数−1×序号数−1，看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数．
【详解】解：第①时，共有小立方体的个数为1个，看不见的小立方体的个数为0个；
第②时，共有小立方体的个数为2×2×2=8（个），看不见的小立方体的个数为2−1×2−1×2−1=1（个）；
第③时，共有小立方体的个数为3×3×3=27（个），看不见的小立方体的个数为3−1×3−1×3−1=8（个）；
……
第⑥个图时，共有小立方体的个数为：6×6×6=216（个），
看不见的小立方体的个数为6−1×6−1×6−1=125（个），
∴ 看得见的立方体数为：216−125=91（个）．
故答案为：91．
【变式3-1】（23-24七年级·江苏常州·期中）我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①lg216=4，②lg525=5，③1g464=3．其中正确的是 ．
【答案】①③/③①
【分析】本题考查了有理数的混合运算、新定义，根据题中的新定义法则判断即可，解题的关键是理解题中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则．
【详解】解：∵24=16，
∴lg216=4，故①计算正确，符合题意；
∵52=25，
∴lg525=2，故②计算错误，不符合题意；
∵43=64，
∴1g464=3，故③计算正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【变式3-2】（23-24七年级·河北秦皇岛·阶段练习）观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，根据其中的规律，可得71+72+73+74⋯+72020的结果的个位数字与71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字之和是（ ）
A．0B．1C．6D．8
【答案】C
【分析】观察可知7n的个位数字分别是7，9，3，1，四个为一组循环出现，据此分别求出两个式子的个位数字即可得到答案．
【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，
∴7n的个位数字分别是7，9，3，1，四个为一组循环出现，
∵2020÷4=505，2022÷4=505…2，505×7+9+3+1=10100，10100+7+9=10116，
∴71+72+73+74⋯+72020的结果的个位数字为0，71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字为6，
∴71+72+73+74⋯+72020的结果的个位数字与71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字之和是0+6=6，
故选C．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
【变式3-3】（23-24七年级·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，a−b−c的值是（ ）
A．−512B．−514C．510D．512
【答案】B
【分析】本题考查图形变化的规律．观察所给图形，发现各部分数字变化的规律即可解决问题．
【详解】解：观察所给图形可知，
左上角的数字依次为：−2，4，−8，16，…，
所以第n个图形中左上角的数字可表示为：−2n．
右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2，
所以第n个图形中右上角的数字可表示为：−2n+2．
下方的数字为同一个图形中左上角数字的12，
所以第n个图形中下方的数字可表示为：−2n2．
当n=10时，
−2n=−210=1024，
−2n+2=1026，
−2n2=512，
所以a−b−c=1024−1026−512=−514．
故选：B．
【题型4 周期中的规律探究】
【例4】（2024·北京西城·七年级期末）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ．
【答案】 1 19
【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得．
【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数，
∴第2个空格所填入的数为1，
∵前36个数的和是第37个数的倍数，
∴这37个数的和也是第37个数的倍数，
又∵1+2+3+⋯+37
=1+37+2+36+⋯+18+20+19
=38×18+19
=703
=37×19，
∴第37个空格所填入的数为19，
故答案为：1，19．
【变式4-1】（23-24七年级·浙江·期中）从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数整数1，2，3，4，5，6，7，……当数到2022时，对应的手指为 ；当第n次数到食指时，数到的数是 （用含n的代数式表示）．
【答案】 无名指 8(n−1)+2或8(n−1)+8
【分析】先探究规律，发现规律后利用规律即可解决问题．
【详解】解：如题意可知，八次为一个循环体重复出现，
2022÷8=252……6，
当数到2022时，对应的手指与第6次对应的一样为：无名指；
第一个循环体出现食指时，数到的数是：8(1−1)+2，8(1−1)+8；
第二个循环体出现食指时，数到的数是：8(2−1)+2，8(2−1)+8；
第三个循环体出现食指时，数到的数是：8(3−1)+2，8(3−1)+8；
…
当第n次数到食指时，数到的数是8(n−1)+2，8(n−1)+8，
故答案为：无名指，8(n−1)+2或8(n−1)+8．
【点睛】本题考查规律型数字的变化类问题，解题的关键是从一般到特殊探究规律、发现规律、利用规律解决问题，属于中考常考题型．
【变式4-2】（23-24七年级·安徽黄山·期中）观察算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，通过观察，用你所发现的规律确定32023的个位数字是 ．
【答案】7
【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
【详解】解：已知31=3，末位数字为3，
32=9，末位数字为9，
33=27，末位数字为7，
34=81，末位数字为1，
35=243，末位数字为3，
36=729，末位数字为9，
37=2187，末位数字为7，
38=6561，末位数字为1，
…
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又2023÷4=505⋯3，
所以32023的末位数字与33的末位数字相同是7．
故答案为：7．
【变式4-3】（23-24七年级·河南开封·期中）如图所示，在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有五个数字点的圆周上跳动，游戏规则：若电子青蛙，停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若电子青蛙停在偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点．现在电子青蛙若从4这点开始跳，则经过2022次后它停的点对应的数为（ ）

A．1B．2C．3D．5
【答案】D
【分析】本题考查的是数字类规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键，本题先计算前5次跳动后停时对应的点对应的数，再总结规律可得答案．
【详解】解：由题知，
因为青蛙从4这点开始跳，
所以经过1次后它停的点对应的数为3；
经过2次后它停的点对应的数为5；
经过3次后它停的点对应的数为2；
经过4次后它停的点对应的数为1；
经过5次后它停的点对应的数为3；
…，
由此可见，青蛙停的点对应的数字按3，5，2，1循环出现，
又因为2022÷4=505⋅⋅⋅2，
所以经过2022次后它停的点对应的数为5；
故选：D．
【题型5 递进中的规律探究】
【例5】（23-24七年级·江西赣州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为3，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,…,An（n≥3,n是整数）处，那么线段OAn的长度为（ ）
A．32n−2B．32n−1C．32nD．32n＋1
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，数轴上的动点问题，根据题意找出一般规律是解题关键．通过前三次的跳动情况发现，第n次动点P从An−1点跳动到An−1O的中点An处时，OAn=32n，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，OA=3，
第1次动点P跳动到AO的中点A1处时，OA1=12OA=32=321；
第2次动点P从A1跳动到A1O的中点A2处时，OA2=12OA1=34=322；
第3次动点P从A2点跳动到A2O的中点A3处时，OA3=12OA2=38=323；
……
观察可知，第n次动点P从An−1点跳动到An−1O的中点An处时，OAn=32n；
故选：C
【变式5-1】（2024·山西太原·二模）观察图中给出的四个点阵，按照图中点的个数的变化规律，猜想第n个点阵中点的个数为 个．（用含n的代数式表示）
【答案】2n−1
【分析】根据图形得到规律从第二个开始逐渐增加2点即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
图形从第二个开始在前一个是增加2点，
∴第n个图形点数为：1+(n−1)×2=2n−1，
故答案为：2n−1；
【点睛】本题考查图形规律，解题的关键是看懂图形中前后两个图形的变量与固定量．
【变式5-2】（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有 个点．
【答案】111
【分析】本题考查了数与形的规律，能总结出一般规律是解题关键．列出给出的几幅图的点数依次为3，7，13，21，⋯，分析这些数我们可以得到3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1，⋯据此总结规律求解即可．
【详解】观察题图可知：
图①中点的个数为3=1+2=1×2+1；
图②中点的个数为7=1+2+4=2×3+1；
图③中点的个数为13=1+2+4+6=3×4+1；
图④中点的个数为21=1+2+4+6+8=4×5+1；
图n中点的个数为1+2+4+6+8+⋯+2n=nn+1+1；
当n=10时，图中点的个数有1+2+4+6+⋯+20=10×11+1=111（个）点，
故答案为：111．
【变式5-3】（23-24七年级·宁夏银川·期末）生物课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录，这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（依次被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录），那么标号为1000的微生物会出现在第（ ）
A．第7天B．第8天C．第9天D．第10天
【答案】B
【分析】由图和题意可知，第一天产生新的微生物有6个标号，第二天产生新的微生物有12个标号，以此类推，第三天、第四天、第五天产生新的微生物分别有24个，48个，96个，192个，384个，768个，…进而求出答案．
【详解】解：第一天产生新的微生物有6个标号，
第二天产生新的微生物有12个标号，
以此类推，第三天、第四天、第五天…产生新的微生物分别有24个，48个，96个，192个，384个，768个，…
前七天所有微生物的标号共有3+6+12+24+48+96+192+384=765个，
所以标号为1000的微生物会出现在第8天．
故选：B．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字的变化规律和运算方法，利用规律和方法解决问题．
【题型6 表格中的规律探究】
【例6】（23-24七年级·安徽芜湖·期中）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（ ）
A．139B．209C．109D．259
【答案】B
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给表格，发现表格中四个数之间的关系是解题的关键．
观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题．
【详解】解：观察所给表格可知，
4÷2−1=1，
6÷2−1=2，
8÷2−1=3，
10÷2−1=4，
所以a=20÷2−1=9．
又因为左下方的数比左上方的数大1，
则b=a+1=10
又因为2×4+1=9，
3×6+2=20，
4×8+3=35，
5×10+4=54，
所以x=10×20+9=209．
故选：B．
【变式6-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把1～9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中m的值为( )．
A．1B．3C．6D．9
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的混合运算；根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，可得①，②，③表示的数，即可求出m的值．
【详解】解：如图，
∵任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，
∴对角线上①处数字与5，2的和为15，
∴①处的数字为：15−5−2=8，
又中间一列②处数字与7，5的和为15，
∴②处上的数字为：15−7−5=3
最正面一行数字之和为15
∴③处数字为15−8−3=4
最后一列之和为15，
∴m=15−2−4=9，
故选：D．
【变式6-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：2022−3÷10=201⋯⋯9；地支为：2022−3÷12=168⋯⋯3；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．
请你依据上述规律推断2024年为农历 年．
【答案】甲辰
【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：天干为：2024−3÷10=202⋯⋯1，地支为：2024−3÷12=168⋯⋯5，
∴2024年为农历甲辰年；
故答案为：甲辰．
【变式6-3】（23-24七年级·湖北黄冈·期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．

(1)按图示规律完成表格
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
(3)搭第2024个图形需要多少根火柴棒？
【答案】(1)17,21
(2)4n+1
(3)8097根火柴棒
【分析】本题主要考查规律型：图形的变化类解答的关键是根据所给的图形分析出其规律；
（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；
（2）由（1）进行总结即可；
（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．
【详解】（1）第1个图形的火柴棒根数为：5，
第2个图形的火柴棒根数为：9=5+4=5+4×1，
第3个图形的火柴棒根数为：13=5+4+4=5+4 ×2，
第4个图形的火柴棒根数为：17=5+4+4+4=5 +4×3，
第5个图形的火柴棒根数为：21=5+4+4+4+ 4=5+4×4，
故答案为：17,21；
（2）由（1）得：搭第n个图形需要火柴棒根数为：5+4(n−1)=4n+1．
答：第n个图形需要火柴棒根数为：4n+1；
（3）当n=2024时，4n+1=4×2024+1=8097，所以搭第2022个图形需要8097根火柴棒．
【题型7 图形中的规律探究】
【例7】（23-24七年级·山东潍坊·期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式12+122+123+124+…+127+128再加上（ ）后，结果就是1．
A．125B．126C．127D．128
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形结合的思想解答．
根据图形可知12+122+123+124…+12n+12n=1
【详解】解：由图可知，
12+122+123+124…+127+128在加上128后，结果就是1
故选：D
【变式7-1】（23-24七年级·山西临汾·期中）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是 ．
【答案】10
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2=6，
第3个图中H的个数为4+2×2=8，
则：第4个图中H的个数为4+2×3=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
【变式7-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第10个图形中正方形的个数是……（ ）
A．110B．330C．440D．572
【答案】C
【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出正方形个数与图形序数之间的关系是解题的关键．根据图形的变化归纳正方形个数与图形序数之间的关系即可．
【详解】解：由图知，第1个图形有2个正方形：2=1×2，
第2个图形有8个正方形：8=1×2+2×3，
第3个图形有20个正方形：20=1×2+2×3+3×4，
第4个图形有40个正方形：40=1×2+2×3+3×4+4×5，
…，
第10个图形正方形个数为：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10+10×11=440
故选：C．
【变式7-3】（23-24七年级·山西晋中·期中）阅读与探索：
问题情境：
通过学习“探索与表达规律”让我们感受到：发现数学中的规律是一件十分有趣的事情．用简洁的语言表达变化规律应该从简单入手，经过熟悉、认知、思考、总结，从而发现规律．请你用自己学到的方法探索并表达下列规律：
（1）如图，搭1个小正方形需要4根火柴棒，搭2个小正方形需要7根火柴棒，搭3个小正方形需要10根火柴棒……，如果用n表示所搭正方形的个数，那么搭n个这样的小正方形需要__________根火柴棒（用n的代数式表示）．
类比探索：
（2）如图，是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第n个图案需要__________根火柴棒（用n的代数式表示）．

（3）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，．．．．．．．若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为__________（用含n的式子表示）．

拓展应用：
（4）观察并找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是__________个．

【答案】（1）3n+1；（2）4n+1；（3）6n+6；（4）3035
【分析】（1）第一个图形需要4根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多3根，据此找到规律列出代数式；
（2）第一个图形需要5根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多4根，据此找到规律列出代数式；
（3）第①个图形需要4个等边三角形，共12根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多2个等边三角形，多6根火柴棒，据此找到规律列出代数式；
（4）根据前几个图形的规律，找到当n为奇数时和当n为偶数时需要的黑色正方形个数，继而代入计算即可．
【详解】解：（1）搭1个小正方形需要4根火柴棒，
搭2个小正方形需要4+3×1=7根火柴棒，
搭3个小正方形需要4+3×2=10根火柴棒，
…
搭n个小正方形需要4+3×n−1=3n+1根火柴棒；
（2）摆1个五边形需要5根火柴棒，
摆2个五边形需要5+4×1=9根火柴棒，
摆3个五边形需要5+4×2=13根火柴棒，
…
摆n个五边形需要5+4×n−1=4n+1根火柴棒，
（3）第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12=3×4，
第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18=3×6，
第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24=3×8，
…，
∴第n个图案需要火柴棍的根数为：32n+2=6n+6．
（4）第1个图形中黑色正方形的数量是2个，
第2个图形中黑色正方形的数量是3个，
第3个图形中黑色正方形的数量是5个，
第4个图形中黑色正方形的数量是6个，
第5个图形中黑色正方形的数量是8个，
…
当n为奇数时，黑色正方形的个数为n+12+n，
当n为偶数时，黑色正方形的个数为n2+n，
∴第2023个图形中黑色正方形的数量是2023+12+2023=3035个．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律．
【题型8 新定义中的规律探究】
【例8】（23-24七年级·江苏苏州·期末）定义一种关于整数n的“H”运算：（1）当n是奇数时，结果为3n+5，（2）当n为偶数时，结果为n2k（其中k是正整数，且使得n2k为奇数）；并且运算重复进行．例如：n=12时，第一次经“H”运算的结果是3，第二次经“H”运算的结果是14，第三次经“H”运算的结果是7，第四次经“H”运算的结果是26……．若n=58，则第2024次经“H”运算的结果是（ ）
A．29B．92C．23D．74
【答案】B
【分析】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是根据新定义运算得到数字的基本规律．根据题中所给新定义运算进行求解，即当n=58时，则第一次“H”运算的结果为29，第二次“H”运算的结果为92，第三次“H”运算的结果为23，第四次“H”运算的结果为74，第五次“H”运算的结果为37，第六次“H”运算的结果为116，第七次“H”运算的结果为29，….；由此可发现规律为 “H”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环，据此问题可求解．
【详解】解：由题意得：
当n=58时，则第一次“H”运算的结果为29，第二次“H”运算的结果为92，第三次“H”运算的结果为23，第四次“H”运算的结果为74，第五次“H”运算的结果为37，第六次“H”运算的结果为116，第七次“H”运算的结果为29，….；由此可发现规律为 “H”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环下去，
∵2024÷6=337…..2；
∴第2024次“H”运算的结果为92；
故选：B．
【变式8-1】（23-24七年级·广西钦州·期末）已知C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，⋯，观察以上计算过程，寻找规律计算C42+C73= ．
【答案】41
【分析】本题考查了数字变化规律，观察分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，依次减1,b个数相乘是解题的关键．
根据已知的三个等式得．对于Cab(b