专题2.16 有理数单元提升卷-最新苏教版七年级上册数学精讲讲练

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第2章 有理数单元提升卷
【苏科版2024】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24七年级·河南周口·阶段练习）在有理数−2,0,1,−23,−0.7,2.5中，负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．
【详解】解：在有理数−2,0,1,−23,−0.7,2.5中，是负数的是-2，−23，-0.7，
故选：C．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握小于零的数是负数．
2．（3分）（23-24七年级·河北承德·期中）下列各组的两个量，不具有相反意义的量的是（ ）
A．买进20棵树苗与买进10棵树苗B．盈利50元与亏损40元
C．一辆出租车向北行驶24米与向南行驶15米D．气温升高3℃与气温降低5℃
【答案】A
【详解】A选项中，“买进20棵树苗”和“买进10棵树苗”的意义是相同的，因此可以选A；
B选项中，“盈利50元”和“亏损40元”的意义是相反的，因此不能选B；
C选项中，“向北行驶24米”和“向南行驶15米”的意义是相反的，因此不能选C；
D选项中，“气温升高3℃”和“气温降低5℃”的意义是相反的，因此不能选D；
故选A.
3．（3分）（23-24七年级·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，位于﹣2和2之间的点表示的有理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．无数个
【答案】D
【分析】根据有理数的定义解答问题即可．
【详解】解：∵有理数包括整数和分数，
∴在﹣2和2之间的有理数有无数个，如﹣1，0，1，12，13等等．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的定义，能够掌握有理数所指的数的范围是解答问题的关键．
4．（3分）（23-24七年级·河北·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是−14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1B．−3C．1或−5D．1或−4
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数．
【详解】设A′是点A的对应点，由题意可知点C是A和A′的中点
当点A在B的右侧，BA′=6，A′表示的数为10+6=16，
那么C表示的数为：(−14+16)÷2=1，
当点A在B的左侧，BA′=6，A′表示的数为10−6=4，
那么C表示的数为：(−14+4)÷2=−5，
故选：C．
5．（3分）（23-24七年级·浙江·期中）如图，四个数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则下列说法正确的是（ ）

A．p+m>0B．mn0，c0时，ab0，b0时，ab0，bc0，b>0，c0，ac0，b0或a>0，b>0，c0，b0>−a>b
【分析】由a>0，b0，−a0，0>−a>b，整理从大到小的顺序即可．
【详解】解：∵ a>0，b0，−a0，0>−a>b，
则：−b>a>0>−a>b，
故答案为：−b>a>0>−a>b．
【点睛】本题考查了实数的大小排序，相反数，正数、零、负数在数轴上的位置关系，判断出数轴上b到零点的距离大于a到零点的距离是解决本题的关键．
14．（3分）（23-24·北京西城·一模）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ．
【答案】 1 19
【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得．
【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数，
∴第2个空格所填入的数为1，
∵前36个数的和是第37个数的倍数，
∴这37个数的和也是第37个数的倍数，
又∵1+2+3+⋯+37
=1+37+2+36+⋯+18+20+19
=38×18+19
=703
=37×19，
∴第37个空格所填入的数为19，
故答案为：1，19．
15．（3分）（23-24七年级·四川内江·期中）用n!表示1×2×3×⋯×n，例1995！=1×2×3×⋯×1995，那么1!+2!+3!+⋯+2020!的个位数字是 ．
【答案】3
【分析】先分别求出1!，2!，3!，4!，5!，6!的值，再归纳类推出规律，由此即可得．
【详解】1!=1，
2!=1×2=2，
3!=1×2×3=6，
4!=1×2×3×4=24，
5!=1×2×3×4×5=120，
6!=1×2×3×4×5×6=5!×6=720，
由此可知，5!,6!,⋯,n!的个位数字都是0（其中，n≥5且为整数），
则1!+2!+3!+⋯+2020!的个位数字与1!+2!+3!+4!的个位数字相同，
因为1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33，其个位数字是3，
所以1!+2!+3!+⋯+2020!的个位数字是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键．
16．（3分）（23-24七年级·浙江·阶段练习）如图，已知O为数轴原点，A，B，C是数轴上三点，它们表示的数分别是4，10， －20.动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为AP的中点，点N在BQ上，且QN=23BQ，R为PQ的中点，设运动时间为t秒（t>0），当满足2MO＋2RO=NO时，t= 秒.
【答案】t=1s或2s．
【分析】根据题意可得点P在数轴上表示的数为-20+6t，点Q在数轴上表示的数为10+3t，点M在数轴上所表示的数为(−20+6t)+42=3t−8，点N在数轴上所表示的数为10+ 3t×（1-23）=10+t，根据2MO＋2RO=NO把问题转化为绝对值方程解决即可.
【详解】由题意可得：点P在数轴上表示的数为-20+6t，点Q在数轴上表示的数为10+3t，点M在数轴上所表示的数为(−20+6t)+42=3t−8，点N在数轴上所表示的数为10+ 3t×（1-23）=10+t，
∴MO=3t−8，RO=−20+6t+10+3t2=9t−102，NO=10+t，
∵2MO＋2RO=NO，∴23t−8+29t−102=10+t，
即23t−8+9t−10=10+t，
①当0＜t≤109时，2(8−3t)+(10−9t)=10+t，解得t=1，
②当109＜t≤83时，2(8−3t)+(9t−10)=10+t，解得t=2，
③当t＞83时，2(3t−8)+(9t−10)=10+t，解得t=187(舍)；
综上所述，t=1s或2s．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值、两点间距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建绝对值方程解决问题．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24七年级·云南昆明·期中）计算：
(1)−12023×2−−24÷4+−3．
(2)13−6÷−2+4×−3．
【答案】(1)−3
(2)4
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握各运算法则，按照运算顺序进行计算是关键；
（1）先计算乘方与绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可；
（2）先计算乘除，再计算加减即可．
【详解】（1）解：−12023×2−−24÷4+−3
=−1×2−16÷4+3
=−2−4+3
=−3；
（2）解：13−6÷−2+4×−3
=13+3−12
=4．
18．（6分）（23-24七年级·四川巴中·期中）把下列各数分别填人相应的集合里．﹣4，﹣−43，0，227，﹣3.14，2006，﹣（+5），+1.88．
（1）正有理数集合：{_____…}；
（2）负有理数集合：{_____…}；
（3）非负整数集合：{_____…}；
（4）正分数集合：{_____…}．
【答案】见解析
【分析】根据正有理数的定义，负有理数的定义，非负整数的定义，正分数的定义即可求解．
【详解】解：（1）正有理数集合：{227，2006，+1.88…}；
（2）负有理数集合：{﹣4，﹣−43，﹣3.14，﹣（+5）…}；
（3）非负整数集合：{ 0，2006…}；
（4）正分数集合：{227，+1.88…}．
【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
19．（8分）（23-24七年级·山东青岛·期中）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）：
(1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆；
(2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？
(3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？
【答案】(1)315；29
(2)本周实际销售总量达到了计划量
(3)该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元
【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用；
（1）根据记录的数据列式计算即可得到结论；
（2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论；
（3）先计算每天的工资，再相加即可求解．
理解题意并列出式子是解题的关键．
【详解】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：+4−3+14+100×3=315（辆），
根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为：
21−−8=29（辆）；
故答案为：315；29．
（2）解：100×7++4−3+14−5−8+21−6=717，
∵717>700
∴本周实际销售总量达到了计划量．
（3）解：4−3+14−5−8+21−6+100×7×40+4+14+21×15+−3−5−8−6×20
=717×40+39×15−22×20
=28680+585−440
=28825（元），
答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元．
20．（8分）（23-24七年级·山东聊城·期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+⋯+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+⋯+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S=2+22+23+24+25+⋯+22013+22014
将下式减去上式得2S−S=22014−1即S=22014−1
即1+2+22+23+24+⋯+22013=22014−1
请你仿照此法计算：
(1)1+2+22+23+24+⋯+22024
(2)1+3+32+33+34+⋯+3n（其中n为正整数）．
【答案】(1)22025−1
(2)123n+1−1
【分析】本题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键．
（1）设S=1+2+22+23+24+⋯+22024，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）设S=1+3+32+33+34+⋯+3n，两边乘以3后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值．
【详解】（1）解：设S=1+2+22+23+24+⋯+22024，
将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+⋯+22024+22025，
将下式减去上式得：2S−S=22025−1，即S=22025−1，
则1+2+22+23+24+⋯+22024=22025−1；
（2）解：设S=1+3+32+33+34+⋯+3n①，
两边同时乘3得：3S=3+32+33+34+⋯+3n+3n+1②，
②-①得：3S−S=3n+1−1，即2S=3n+1−1，则S=123n+1−1
则1+3+32+33+34+⋯+3n=123n+1−1．
21．（8分）（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读与实践】
材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离AB表示为a−b．
材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作a−−b．
阅读材料1，2，回答下列问题：
(1)数轴上表示−10和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示a和−3的两点之间的距离表示为______；
(3)数轴上表示数9和−4的两点之间的反距离是______，数轴上表示−2和6的两点之间的反距离是______；
(4)数轴上表示数a和−7两点之间的反距离表示为______；
(5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______．
【答案】(1)15，9
(2)a+3
(3)5、4
(4)a−7
(5)−2025或2023
【分析】本题考查的是数轴，相反数，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离；
（1）用数轴上两点间的距离计算即可；
（2）用数轴上两点间的距离计算即可；
（3）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可；
（4）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可；
（5）求出最小的正整数1，求出与1距离2022的点，然后求相反数即可．
【详解】（1）解：（1）−10−5=15，15−6=9；
故答案为：15，9；
（2）解：a−(−3)=a+3；
故答案为：a+3；
（3）解：∵−(−4)=4，
∴数轴上表示数9和−4的两点之间的反距离是9−4=5，
∵6的相反数是−6，
∴数轴上表示−2和6的两点之问的反距离是−2−(−6)=4；
故答案为：5、4；
（4）解：∵−(−7)=7，
∴数a和−7两点之间的反距离是a−7，
故答案为：a−7；
（5）解：∵最小的正整数是1，
则与1距离是2024的点表示的数为：1+2024=2025或1−2024=−2023，
∵2025的相反数是−2025，−2023的相反数是2023，
∴m=−2025或2023．
故答案为：−2025或2023．
22．（8分）（23-24七年级·浙江台州·期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=12(|a−b|+a+b)
(1)探究性质：
①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3⊕−2=________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】的值；
②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是 ．
【答案】(1)①3，3，2，−2；②见解析，一般规律为a⊕b=a,a>bb,b>a
(2)①16.33；②−10
【分析】（1）①根据定义a⊕b=12(|a−b|+a+b),a≠b即可求解；②举例3⊕−2,−2⊕−3，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；
（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵a⊕b=12(|a−b|+a+b),a≠b，
∴3⊕2=123−2+3+2=3，
2⊕3=122−3+2+3=3，
−3⊕2=12−3−2−3+2=2，
−3⊕−2=12−3+2−3−2=−2，
故答案为：3，3，2，−2；
②例如：3⊕−2=123+2+3−2=3，
−2⊕−3=12−2+3−2−3=−2，
通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，
用a，b的式子表示出一般规律为a⊕b=a,a>bb,b>a；
（2）解：①【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】
=16.33⊕−4
=16.33；
②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
∴代数式等于a，
a为偶数，b=a−1
最小值=−10+−8+−6+−4+−2+0+2+4+6+8=−10，
故答案为：−10．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．
23．（8分）（23-24七年级·福建漳州·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a,b满足a−7+b−282=0．
(1)a=______，b=______；
(2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，则它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示1cm．则
①由此可得到木棒长为______cm；
②图中C点表示的数是______，D点表示的数是______；
(3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁．
【答案】(1)7，28
(2)①7；②14，21
(3)爷爷现在的年龄是65岁
【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题：
（1）利用绝对值和平方的非负性求解；
（2）根据木棒的移动可得AC=CD=DB，再结合（1）中结论求解；
（3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒CD，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解；
【详解】（1）解：因为a−7+b−282=0，
所以a−7=0,b−28=0，
解得a=7,b=28．
故答案为：7，28．
（2）解：①由题知，AC=CD=DB，
又因为A点表示的数是7，B点表示的数为28，且AB=28−7=21，
所以21÷3=7，
即木棒的长度为7cm．
故答案为：7；
②因为7+7=14，
所以点C表示的数是14；
因为28−7=21，
所以点D表示的数是21；
故答案为：14，21．
（3）解：根据题意，建立数轴如图所示，
小红现在的年龄对应数轴上的点B，爷爷现在的年龄对应数轴上的点C，
则当点C移动到点B时，点B移动到了点A；当点B移动到点C时，点C移动到了点D，
所以AB=BC=CD，
又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”，
所以AB=BC=CD=117−−39÷3=52，
且117−52=65，
所以爷爷现在的年龄是65岁．37







星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差额（辆）
+4
−3
+14
−5
−8
+21
−6