2025届浙江省杭州市萧山区高三上联考（四）数学试卷（解析版）

这是一份2025届浙江省杭州市萧山区高三上联考（四）数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，则；
当时，，所以；所以.
故选：.
2. 已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以与的夹角为．
故选：A．
3. 某公司通过研发技术、提升工艺、提高效率等方法来降低成本.假设该公司的年成本以每年10%的比例降低，要使年成本低于原来的，至少需要年，则（ ）（参考数据：，）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】设该公司原来的年成本为，年成本低于原来的需要的时间为年，
则由题意得，得，得，
因为，所以.
故选：C.
4. 已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设球的半径为，由，解得．
作出圆台的轴截面，如图，设，则，
由相切的性质可知，，
易知，分别是，的平分线，即，，
又，
所以，所以，
所以，又，则，
所以，即，所以，
所以，解得（负值已舍去），
所以该圆台的体积为，
故选：D．

5. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内，
圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：
易知圆心到直线的距离为，所以，
又，可得；
因此可得，
所以的面积为.
故选：D
6. 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cs2A+cs 2A=0,a=7,c=6,则b等于( )
A. 10B. 9C. 8D. 5
【答案】D
【解析】由题意知,23cs2A+2cs2A-1=0,
即cs2A=,
又因△ABC为锐角三角形,
所以csA=.
△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,
即b2-b-13=0,
即b=5或b=-(舍去),故选D.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图：

因为的周长为，，，所以，.
又，
所以.
所以椭圆的离心率为.
故选：C
8. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 2
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，需满足是的一个根，
即，且，所以，
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 为了解鸭梨种植园的亩收入（单位：万元）情况，从“高标准梨园”种植区抽取样本，得到的亩收入样本均值，样本方差；从“标准化梨园”种植区抽取样本，亩收入服从正态分布，假设“高标准梨园”的亩收入服从正态分布，则（ ）.（若服从正态分布，则
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由题意可知，服从正态分布，服从正态分布，
所以
，故A错误；
，故B正确；
，所以C正确，D错误.
故选：BC．
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 为的图象的一个对称中心
C. 在上单调递增
D. 将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点
【答案】AB
【解析】函数，最小正周期，故A正确；
，则为的图象的一个对称中心，故B正确；
时，，易知在上先减后增，
故在上先减后增，故C错误；
，
在同一直角坐标系中分别作出y=gx与的大致图象如下所示，
观察可知，它们有3个交点，故D错误.
故选：AB
11. 在平面直角坐标系中，曲线经过坐标原点，且上的点满足：，且到点的距离与到定直线的距离之积为，则（ ）
A.
B. 点，均在曲线上
C. 曲线在第二象限的点到轴的距离的最大值为
D.
【答案】ABD
【解析】由已知，，
又曲线过坐标原点，则，
则，又，则，A选项正确；
则曲线方程为，，
即，，
令，得，所以，
即点，均在曲线上，B选项正确；
设，，
则，
当时，，设，
则，
则当时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，使gx0=0，
且时，gx>0，时，gx0上可得，解得，
又F1,0可得，因此，即
所以椭圆的标准方程为,
其离心率为.
（2）根据题意可知，若直线的斜率不存在，则，如下图所示：
此时，的面积为，满足题意；
可得此时直线的方程为；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，如下图所示：
联立，消去并整理可得，
解得或，又，所以
此时，
点F1,0到直线的距离为，
所以的面积为，
解得，
所以直线的方程为；
综上可知，直线的方程为或
18. 已知曲线在处的切线过点.
（1）试求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）证明：当时，.
（1）解：函数，求导得，则，而，
因此曲线在处的切线方程为，即，
依题意，，所以则.
（2）解：由（1）知函数，其定义域为R，求导得，
当时，在R上单调递减；
当时，由，得，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：由（2）得，
要证明，即证，即证，
令，求导得，
由，得，由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即恒成立，
所以当时，.
19. 已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：
①；
②对任意，存在，使得，则称为数表．
（1）判断是否为数表，并求的值；
（2）若数表满足，求中各数之和的最小值；
（3）证明：对任意数表，存在，使得．
（1）解：是数表，
（2）解：由题可知.
当时，有，
所以.
当时，有，
所以.
所以
所以
或者，
或者，
或，或，
故各数之和，
当时，
各数之和取得最小值.
（3）证明：由于数表中共个数字，
必然存在，使得数表中的个数满足
设第行中的个数为
当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，
则该行有条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第列中的个数为.
当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，
则该列有条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以,
因为,所以.
所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点，
即存在
使得，
所以，
则命题得证.A大学
B大学
C大学
D大学
2023年毕业人数（千人）
8
7
5
4
2023年考研人数（千人）
0.6
0.4
0.3
0.3