2025届浙江省名校协作体高三上开学考试数学试卷（解析版）

这是一份2025届浙江省名校协作体高三上开学考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟：
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷
选择题部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，
则，
故选：B.
2. 已知复数满足，则（ ）
A 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】设，则，
由，则，
化简得，
则，解得，
则，
所以.
故选：C.
3. 已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】由题意知，设等比数列的公比为，
则，即，
解得，.
所以.
故选：A
4. 已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在上的投影向量为，即，所以，
又，
，
所以，
且，则.
故选：C
5. 已知函数满足,最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到的图象
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期为，可得，
因为，可得，可得，
即，又，当时，可得，
所以，
将向左平移个单位，可得函数.
故选：A.
6. 已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设内接圆柱的底面半径为，高为，
因为圆锥的底面半径为1，高为3，
由相似三角形可得，则，
则圆柱的表面积为
，
即
所以当时，内接圆柱的表面积取得最大值为.
故选：C
7. 已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】由是椭圆与双曲线的公共顶点，得，
不妨设直线过椭圆的右焦点F1,0，
设点，则直线的斜率分别为，，
又因为，可得，
设点，则直线的斜率分别为，
又因为，所以，
因为，所以，
所以直线关于轴对称，所以直线轴，
又因为直线过椭圆右焦点，所以，代入椭圆方程得，
所以.
故选：B
8. 正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线．记二面角的平面角为，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】取中点，设交于点，

四边形为等腰梯形，分别为中点，
则有，，
，面，所以面，
当，有面，
面，得，，
则为二面角的平面角，
当不平行时，二面角小于，
由对称性可知当时，最大，
作，，点为棱中点，则，

设分别为和的中心，则，，
又，解得，则棱台的高为，则有，
所以，
在中，由余弦定理得.
故选：D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从正态分布，越小，表示随机变量分布越集中
B. 数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9
C. 线性回归分析中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越弱
D. 已知随机变量，则
【答案】AD
【解析】对于A，随机变量服从正态分布，越小，即方差越小，
则随机变量分布越集中，因此A正确；
对于B，将数据从小到大排序为：1，3，4，5，7，9，11，16，共8个数据，由，
则第75百分位数为，因此B错误；
对于C，线性回归分析中，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数越接近于1，
反之越接近于0，线性相关性越弱，因此C错误；
对于D，随机变量，则，因此D正确；
故选：AD.
10. 设函数与其导函数f'x的定义域均为，且为偶函数，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，，，
即关于对称，故A错误；
对于B，为偶函数，故，即关于对称，
由关于对称，知，故B正确；
对于C，关于对称和关于对称可得：，
故，即的周期为4，
所以，故C正确；
对于D，由得：，
即，令得，，
故，故D正确.
故选：BCD
11. 已知正项数列满足记，． 则（ ）
A. 是递减数列B.
C. 存在使得D.
【答案】ABD
【解析】由可得，
故数列构成等差数列，设公差为，则，即，
于是，
则
因，代入解得，故.
对于A，因，则是递减数列，故A正确；
对于B，把代入，计算即得，故B正确；
对于C，由可得，故C错误；
对于D，先证明.设，，
则，即在上为增函数，
故，即得.
要证，即证：，
由可得，
则，
故必有，即D正确.
故选：ABD.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 的展开式中，常数项为______．
【答案】3
【解析】由展开式中的通项公式为：，
令，则，
故展开式中的常数项为：，
故答案为：3.
13. 已知正实数满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，
所以
所以
当时，不等式化简为，解得：，
当时，不等式显然不成立，
当时，不等式化简为，解集为空集.
综上所述的取值范围是.
故答案为：
14. 将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．
【答案】
【解析】为方便讨论，将左上角的1，2，3改记为A,B,C，总共由取牌可能，
对公差讨论
当时，共10种：
当时，不可能；
当时，共2种：3，3，3和4，4，4；
当时，共29种，分别如下：
此时有5种；
此时有9种；
此时有9种；
此时有6种
当时
6，5，4 是1种
此时为4种；
此时有3种；
此时有1种.
总计有50种.
所以概率.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知在中，角所对的边分别为，且满足，；
（1）求角的值；
（2）若的面积为，求的周长.
解：（1）由题意得：，
即，
，，
又，因此，
因为，因此，故为锐角，
因此；
（2）由，，
则由余弦定理：，得：，
因此可得：，，因此，为等腰直角三角形，
又得：，
因此，的周长为.
16. 已知三棱锥满足， 且．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值，
（1）证明：,
,
,即,
取中点，连接，则，且平面,
平面,

平面
（2）解：解法一：由（1）知，平面平面平面
作，垂足为
平面平面，且平面
平面
中

记点到平面的距离为与平面所成角为，则
由得：
因此，
解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
由（1）可知
中，
设的法向量
由得：取

记与平面所成角为．则.
17 已知函数．
（1）判断函数的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线y=fx与y=gx的所有公切线方程.
解：（1）函数的定义域为：，
，在单调递增，又，存在唯一零点，在之间．
（2），
以上的点为切点的切线方程为
以上的点为切点的切线方程为：
令
则，得，即．
设，函数，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，，
的解为，又．
和存在唯一一条公切线为．
18. 如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的两 点，点在轴下方，且在线段上．
（1）试判断：直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）过点作的垂线交直线于点，若的面积为4，求点的坐标，
解：（1）若的斜率不存在，则点不存在或与原点重合；
若的斜率不存在，则点A与原点重合，因此，直线与的斜率均存在，
设直线，
代入抛物线方程得：，
设则，，
，
所以直线的斜率之积为定值1.
（2）由题意可知，的斜率为，方程为，
设点，所以直线，
解方程组，得，
因此直线与的交点坐标为，
因为，由（1）得，
所以直线，解方程组，
得，得，
所以为的中点，从而，
，
所以因为，解得或，
因此，所求的点的坐标为与．
19. 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．
（1）写出集合的一个“有趣的”四元子集：
（2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
（3）证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．
（1）解：（符合要求即可）：
（2）证明：假设可以划分，
和一定是一个奇数一个偶数，
中至多两个偶数.
则对于的一种符合要求的划分和
每个四元子集中均有两个偶数．
若两个集合分别为和
则或，不存在使得符合要求：
若两个集合分别为和
则或，不存在使得符合要求：
若两个集合分别为和
则或，不存在使得符合要求；
综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，
（3）证明：假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．
每个子集中至多两个偶数，又中恰有个偶数，
每个子集中均有两个偶数，
对于， 可设其中是偶数，为奇数，
再由奇偶性，只能是．
且
矛盾．
不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．1
3
5
2
4
6
A
A
BC
A
A
C
B
BC
AB
B
C
C
AB
C
1
2
3
A
A
ABC
B
BC
2
3
4
A
A
ABC
B
BC
C
C
B
B
BC
C
C
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5
A
A
BC
B
BC
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C
B
B
BC
C
C
C
C
C
4
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ABC
C
C
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A
5
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C
C
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AB
B
B
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A
A
A