2024届浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三上返校联考数学试卷（解析版）

这是一份2024届浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三上返校联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
故选：C.
2. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】由于复数对应的点在第一象限，可设，其中，，则，
所以，，复数对应的点位于第二象限.
故选：B
3. 向量，，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（ ）
A. 1B. －1C. 2D. －2
【答案】B
【解析】因为在直线l方向向量上的投影向量一定共线，
设l的方向向量为，则，
即，
整理可得：，所以，直线斜率－1．
故选：B．
4. 若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】A
【解析】由题意双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则，解得，故A 正确.
故选：A.
5. 过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】，当最大时，也即取最大，
因为，在直角三角形中，当最短时，最大，
又，当且仅当三点线时最小，
此时，，
所以直线的斜率为.
故选：.
6. 若函数为奇函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由为奇函数，
则，故B正确.
故选：B.
7. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以.
故选：D.
8. 中国风扇车出现于西汉，《天工开物》亦有记载.又称风谷车、扬谷机风车、风柜、扇车、飚车、扬车、扬扇、扬谷器，是一种用来去除水稻等农作物子实中杂质、瘪粒、秸秆屑等的木制传统农具.它顶部有个入料仓，下面有一个漏斗出大米，侧面有一个小漏斗出细米、瘪粒，尾部出谷壳. 顶部的入料仓高为4dm的多面体，其上下底面平行，上底面是长为6dm，宽为4dm长方形，下底面是边长为3dm的正方形，侧面均为梯形，此入料仓的体积为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】作截图如图：
是中点，是中心，

则到上下底面的距离为，
，
，
，
，
同理,
所以，
所以
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 存在使得
C. 函数图象存在两条相互垂直的切线
D. 存在使得
【答案】AD
【解析】由，即在上都递增，A正确，错误；
由，故B错误，
由解析式知，由零点存在性定理可知存在使得，D正确；
故选：.
10. 某校高三选科为政史地组合的班级为高三（1）班50人、高三（2）班40人.现对某次数学测试的成绩进行统计，高三（1）班平均分为99分，优秀率为，方差为11；高三（2）班平均分为90，优秀率为，方差为11.则政史地班级的（ ）
A. 平均分95B. 优秀率为
C. 方差为31D. 两个班分数极差相同
【答案】ABC
【解析】A选项：，故A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：
，故C正确；
D选项：没有具体数据，故D错误；
故选：.
11. 已知在上单调，为的零点，为函数 图象的对称轴，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】BCD
【解析】由上单调得，故，
D不可能；
，即为的奇数倍，B不可能；
当时，此时，满足，，A可能；
当时，C不可能；
故选：BCD.
12. 已知为坐标原点，点，点为单位圆上的动点，绕原点逆时针旋转 到，再将绕原点逆时针旋转到，则（ ）
A. 存在3个使得B. 存在6个使得
C. 存在4个使得D. 存在4个使得
【答案】ABC
【解析】A选项：由题意得，
解得或，因为，则正确；
B选项：由题意得或，
解得或或，因为，则共6个解，正确；
C选项：或，
解得或，因为，则共4个解，正确；
选项：或，
解得，因为，则共2个解，错误．
故选：ABC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知是等差数列的前项和，，则________．
【答案】0
【解析】，所以.
故答案为：0．
14. 已知多项式，若，则________．
【答案】1
【解析】，代入，解得或（舍去），
故答案为：1．
15. 用半径为2的钢球切割出一个圆柱体，则圆柱体的体积的最大值为______．
【答案】
【解析】设圆柱体的底面半径为，高为，则，
即，解得，
故，当且仅当时，等号成立.
故答案为:.
16. 已知抛物线的焦点为F，过抛物线上点P作切线，过F作，交抛物线于A，B．记直线PA，PB的斜率分别为，．则的最小值为__________．
【答案】
【解析】直线斜率记为. 设直线的斜率，的斜率为，
设，，，
因为，直线AB方程为，
联立直线与抛物线方程：得，则，，
，（当且仅当时取等号）
故答案为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，内角所对边分别为．
（1）求;
（2）若在边上，且，求的值．
解：（1）由得，
即，
即，
即，
因为，所以，，
因为，所以.
（2）因为，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
因为，，所以，，
所以，，即.
18. 甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
（1）求甲赢得比赛的概率；
（2）记比赛结束时的总局数为，写出的分布列，并求出的期望值．
解：（1）比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：
①甲连赢3局：；
②前3局2胜1负，第4局甲赢：;
③前4局甲2胜2负，第5局甲赢：，
所以甲赢得比赛的概率为.
（2）可以取3，4，5
所以,
,
,
由此可得的分布列为：
所以.
19. 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：．
（1）解：，
当时，在上单调递增
当时，，
当，在单调递减，
当，在单调递增．
（2）证明：由，
要证，
即证，
即证，
令，则，
易知在上单调递减，在上单调递增，即，
，得证．
20. 如图，直四棱柱，底面为等腰梯形，，且，分别为的中点．
（1）求证：平面：
（2）若四面体的体积为，求．
（1）证明：取中点，连接BD，，如图，
则，且，
所以四边形为平行四边形，
所以且，所以，
则在中，，所以可得为直角三角形，则，
所以，
又因为，，所以，
又因为，，
所以，
又因为分别为的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以．
（2）解：由（1）可建立如（1）图中所示直角坐标系，设，
则，
，
设平面法向量的一个，
则，令x=2，得，
则点到平面的距离，
在中，，
设上的高，
所以，
又因为四面体的体积为，即，解得：.
所以.
21. 已知数列an和bn满足．
（1）求与；
（2）设数列bn的前项和为，是否存在实数，使得成等差数列？若存在求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题得，
，
，
是首项为1，公比为2的等比数列，
，即，
，则得，

．
故，.
（2）存在，．理由如下：
①，
②，
①-②得，
化简得 ，
代入，
可得，
故．
所以存，使得成等差数列.
22. 如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，抛物线的焦点为，抛物线的弦和椭圆的弦交于点，且为的中点.
（1）求的值；
（2）记的面积为的面积为，求的最小值.
解：（1）易得，故，
又是抛物线的焦点，所以，解得.
故.
（2）设直线为，则直线为，
联立解得，
设，，
由韦达定理知，
所以，
，
记，
，
令，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，取到极小值也是最小值，
所以，此时，即.
所以最小值为.3
4
5