2025届浙江省宁波市高三上11月一模仿真数学试卷（解析版）

这是一份2025届浙江省宁波市高三上11月一模仿真数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣2x≥0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{2}C．{﹣1，0，2}D．{0，1，2}
【答案】C
【解析】由x2﹣2x≥0，得x≤0或x≥2，所以B＝{x|x≤0或x≥2}，因为A＝{﹣1，0，1，2}，
所以A∩B＝{﹣1，0，2}．故选：C．
2．已知复数z=ai+2i1+i(a∈R)是实数，则a＝（ ）
A．0B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】B
【解析】∵z=ai+2i1+i=ai+2i(1-i)(1+i)(1-i)=ai+i+1=1+(a+1)i是实数，∴a＝﹣1．故选：B．
3．已知平面向量a→，b→满足(3a→-2b→)⊥(5a→+b→)，且a→⋅b→=17，若|a→|=1，则|b→|=（ ）
A．92B．152C．7D．2
【答案】C
【解析】∵平面向量a→，b→满足(3a→-2b→)⊥(5a→+b→)，
∴15a→2-7a→⋅b→-2b→2=0．又a→⋅b→=17，且|a→|=1，
∴15-1-2|b→|2=0，∴2|b→|2=14，∴|b→|=7．故选：C．
4．已知A（﹣2，0），B（4，0），在直线l：4x+3y+m＝0上存在点P，使PA⊥PB，则m的最大值是（ ）
A．9B．11C．15D．19
【答案】B
【解析】∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴以AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝9，
∵在直线l：4x+3y+m＝0上存在点P，使PA⊥PB，∴直线l与圆有公共点，
∴圆心到直线的距离小于等于半径，即d=|4+m|42+32≤3，解得﹣19≤m≤11，
故m的最大值为11．故选：B．
5．（1﹣x2）（1+x）5的展开式中x4的系数为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣10D．10
【答案】A
【解析】（1+x）5的展开式通项为Tr+1=C5rxr，r＝0，1...，5，
则（1﹣x2）（1+x）5的展开式中x4项为C54x4-x2⋅C52x2=(C54-C52)x4=-5x4，
所以（1﹣x2）（1+x）5的展开式中x4的系数为C54-C52=-5．故选：A．
6．袋子中有n个太小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（ ）
A．518B．49C．59D．1318
【答案】C
【解析】袋子中有n个太小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，
从中不放回地依次随机摸出2个球，摸出的2个球都是红球的概率为16，则4n×3n-1=16，
解得n＝9或n＝﹣8（舍），则两次摸到的球颜色不相同的概率为：
P=59×48+49×58=59．故选：C．
7．若a=2，b=e1e，c=36，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【答案】B
【解析】令f(x)=lnxx，则f'(x)=1-lnxx2，
当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，e）上单调递减；
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，
∵a=2，∴lna=12ln2=ln44=f(4)，又lnb=lnee=f(e)，e＜4，
∴f（e）＞f（4），即lnb＞lna，故b＞a，
∵b=e1e＜e12＜3，且336=312613=312213×313=316213=316416=(34)16＜1，
故c=36＞3，即c＞b，综上所述a＜b＜c．故选：B．
8．假设变量x与变量Y的n对观测数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），两个变量满足一元线性回归模型Y=bx+e，E(e)=0，D(e)=σ2．要利用成对样本数据求参数b的最小二乘估计b̂，即求使Q(b)=i=1n (yi-bxi)2取最小值时的b的值，则（ ）
A．b̂=n∑i=1xiyin∑i=1xi2B．b̂=n∑i=1xiyin∑i=1yi2
C．b̂=n∑i=1xiyin∑i=1xi2⋅n∑i=1yi2D．b̂=n∑i=1(xi-x)(yi-y)n∑i=1(xi-x)2⋅n∑i=1(yi-y)2
【答案】A
【解析】因为Q(a，b)=i=1n (yi-bxi)2=i=1n (yi2-2bxiyi+b2xi2)
=b2i=1n xi2-2bi=1n xiyi+i=1n yi2，
上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，
当且仅当b的取值为b̂=i=1n xiyii=1n xi2．故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X服从正态分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2
B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
C．若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为ŷ=0.3x-m，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是﹣4
【答案】ACD
【解析】对于选项A：若随机变量X服从正态分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，
则P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣0.5＝0.2，故选项A正确；
对于选项B：已知一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22，
该组数据共有10个数，因为10×60%＝6，
所以第60百分位数为14+162=15，故选项B错误；
对于选项C：若线性相关系数|r|越接近1，
则两个变量的线性相关性越强，故选项C正确；
对于选项D：已知线性回归方程为ŷ=0.3x-m，
因为样本点的中心为（m，2.8），所以2.8＝0.3m﹣m，解得m＝﹣4，故选项D正确．
故选：ACD．
10．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x），且f'（x）＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），x1＜x2，则（ ）
A．x2是函数y＝f（x）的一个极大值点
B．f（x1）＜f（x2）
C．函数y＝f（x）在x=x1+2x23处切线的斜率小于零
D．f(x1+x22)＞0
【答案】AB
【解析】令f'（x）＞0，解得x1＜x＜x2，令f'（x）＜0，解得x＞x2或x＜x1，
则f（x）在（x1，x2）上单调递增，在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，
故x2是函数y＝f（x）的一个极大值点，f（x1）＜f（x2），A、B正确；
∵x1＜x1+2x23＜x2，则f'(x1+2x23)＞0，故函数y＝f（x）在x=x1+2x23处切线的斜率大于零，C错误；
又∵x1＜x1+x22＜x2，则f(x1)＜f(x1+x22)＜f(x2)，但无法确定函数值的正负，D错误．故选：AB．
11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，动点P在C上，若定点M(2，3)满足|MF|＝2|OF|，则（ ）
A．C的准线方程为x＝﹣2
B．△PMF周长的最小值为5
C．四边形OPMF可能是平行四边形
D．FM→⋅OP→的最小值为﹣3
【答案】BD
【解析】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（p2，0），准线方程为x=-p2，
定点M(2，3)满足|MF|＝2|OF|，可得(2-p2)2+3=p，解得p＝2，
故C的准线方程为x＝﹣1，故A错误；
设P（m，n），P在准线上的射影H，可得|PM|+|PF|＝|PH|+|PM|≥|MH|＝2+1＝3，
当P，M，H共线时，△PMF周长取得最小值为3+|MF|＝3+2＝5，故B正确；
若四边形OPMF是平行四边形，可得PM∥OF，PM＝OF，
即有n=3n2=4m，解得P（34，3），|PM|＝2-34=54≠1，故四边形OPMF不可能是平行四边形，故C错误；
设P（m，n），可得n2＝4m，FM→•OP→=（1，3）•（m，n）＝m+3n=n24+3n=14（n+23）2﹣3，当n＝﹣23时，FM→•OP→取得最小值﹣3，故D正确．
故选：BD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知sin(3x-π3)-2sinxcs(2x-π3)=13，则cs(2x+π3)= ．
【答案】-79．
【解析】sin(3x-π3)=sin(x+2x-π3)=sinxcs(2x-π3)+csxsin(2x-π3)．
则sin(3x-π3)-2sinxcs(2x-π3)=csxsin(2x-π3)-sinxcs(2x-π3)=sin(x-π3)=13．
则cs(2x+π3)=cs(2x-2π3+π)=-cs2(x-π3)=-[1-2sin2(x-π3)]=-79．
故答案为：-79．
13．已知f(x)=2x+a2x为奇函数，g(x)=lg2(2x+1)-12bx-1为偶函数，则f（ab）＝ ．
【答案】-32
【解析】由f(x)=2x+a2x为奇函数，可得f（0）＝1+a＝0，
∴a＝﹣1，
∵g(x)=lg2(2x+1)-12bx-1 为偶函数，
∴g（﹣x）＝g（x），
∴lg2(2x+1)-12bx-1=lg2(2-x+1)+12bx-1，
整理可得，2bx＝2x，
∴b＝1，
∴f（ab）＝f（﹣1）=2-1-12-1=-32
故答案为：-32．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（1，﹣1），点P为圆（x﹣4）2+y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则S1S2的最小值是 ．
【答案】2-3
【解析】S△OAPS△OBP=12|OA||OP|sin∠AOP12|OB||OP|sin∠BOP =sin∠AOPsin∠BOP
显然，当OP与圆C：（x﹣4）2+y2＝4相切时，比值最小．
在Rt△OPC中，OC＝4，CP＝2，∴∠COP＝30°，
结合A，B两点坐标，易知∠AOP＝15°，∠BOP＝75°，
∴sin∠AOPsin∠BOP=sin15°sin75°＝tan15°＝2-3，故答案为：2-3．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2A+sin2C＝sin2B+sinAsinC．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为3，求a+c的最小值，并判断此时△ABC的形状．
解：（1）由正弦定理得a2+c2＝b2+ac，
又由余弦定理得csB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，
因为B是三角形内角，所以B=π3；
（2）由三角形面积公式得：
S△ABC=12acsinB=12acsinπ3=34ac=3，解得ac＝4，
因为a+c≥2ac=4，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以a+c的最小值为4，此时△ABC为等边三角形．
16．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，E为SB的中点，且SA＝AB＝BC＝1，AD=12．
（1）求证：AE⊥平面SBC；
（2）求四棱锥S﹣ABCD体积；
（3）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．
（1）证明：∵SA⊥平面ABCD，
∴平面SAB⊥平面ABCD，
平面SAB∩平面ABCD＝AB，
CB⊥AB，CB⊥平面SAB，
又AE⊂平面SAB，
∴AE⊥BC，
∵AS＝AB，E为SB中点，
∴AE⊥SB，SB∩BC＝B．
∴AE⊥平面SBC．
（2）解：VS-ABCD=13×SABCD×SA=13×12(12+1)×1×1=14．
（3）解：以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线为坐标轴建立如图所示平面直角坐标系，
得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(12，0，0)，S(0，0，1)，
设平面SDC的法向量为n→=(x，y，z)，
则n→⋅SC→=0n→⋅SD→=0，即x+y-z=012x-z=0得x＝2，y＝﹣1，
∴n→=(2，-1，1)，平面SAB的法向量为AD→=（12，0，0），
∴cs，
令平面SAB和平面SCD所成的二面角为θ，
∴csθ=63．
17．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，且点M到抛物线的准线距离的最小值为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设抛物线在A，B两点的切线相交于点Q，求点Q的横坐标．
解：（1）由题知直线l的斜率不为0，
设直线l：x=my+p2，
联立x=my+p2y2=2px，
得y2﹣2pmy﹣p2＝0，
则Δ＝4p2m2+4p2＞0，y1+y2=2pm，y1y2=-p2，
由抛物线的定义，知点M到抛物线准线的距离
d=12|AB|=12(x1+x2+p)=12m(y1+y2)+p=p(m2+1)，
所以当m＝0时，dmin＝p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
（2）由题易知抛物线在A，B两点处的切线与坐标轴不垂直，
设在点A（x1，y1）处的切线方程为l1：x﹣x1＝n（y﹣y1），
即x＝ny+x1﹣ny1，
联立x=ny+x1-ny1y2=4x，
得y2﹣4ny﹣4x1+4ny1＝0，
则Δ＝16n2+16x1﹣16ny1＝0，
即4n2-4ny1+y12=0，
解得n=y12，
所以l1：x-x1=y12(y-y1)，
即y=2(x-x1)y1+y1=2(x-x1)+y12y1=2(x+x1)y1，
同理可得抛物线在点B（x2，y2）处的切线方程为l2：y=2(x+x2)y2，
设Q（x0，y0），
由y=2(x+x1)y1y=2(x+x2)y2，
得x0=x1y2-x2y1y1-y2=y2y12-y1y224(y1-y2)=y1y24，
由（1）知y1y2=-p2=-4，
所以x0＝﹣1，
所以点Q的横坐标为﹣1．
18．已知函数f(x)=x-12ax2-ln(x+1)，其中实数a≥0．
（Ⅰ）求f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0时，证明：f（x）＞x﹣ex﹣1．
（Ⅰ）解：f'(x)=1-ax-1x+1，
因为f'（0）＝0，f（0）＝0，所以f（x）在x＝0处的切线方程为y＝0．
（Ⅱ）解：f'(x)=1-ax-1x+1=-ax2+(1-a)xx+1=[-ax+(1-a)]xx+1．
（i）当a＝0时，f'(x)=xx+1≥0在[0，+∞）恒成立，所以f（x）在[0，+∞）单调递增，
所以f（x）在[0，+∞）的最小值为f（0）＝0，不符合题意（舍）．
（ⅱ）当0＜a＜1时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1-aa；令f'（x）＜0，解得x＞1-aa，
所以f（x）在(0，1-aa)单调递增，在(1-aa，+∞)单调递减．
又f（0）＝0，所以存在x∈(0，1-aa)，使得f（x）＞0，不符合题意（舍）．
（iii）当a≥1时，f'（x）≤0在[0，+∞）恒成立，
所以f（x）在[0，+∞）单调递减，则f（x）在[0，+∞）的最大值为f（0）＝0，符合题意．
综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）．
（Ⅲ）证明：当a＝0时，要证f（x）＝x﹣ln（x+1）＞x﹣ex﹣1，
需证g（x）＝ex﹣1﹣ln（x+1）＞0，
g'(x)=ex-1-1x+1在（﹣1，+∞）单调递增，
又g'（0）＝e﹣1﹣1＜0，g'(1)=1-12=12＞0，
所以，存在x0∈（0，1），使得g'（x0）＝0，即ex0-1=1x0+1，
故当x∈（﹣1，x0）时，g'（x0）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，g'（x0）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）在（﹣1，+∞）的最小值为g(x0)=ex0-1-ln(x0+1)，
由ex0-1=1x0+1，得﹣ln（x0+1）＝x0﹣1，
所以g(x)≥g(x0)=1x0+1+x0-1=x02x0+1＞0，
故当a＝0时，f（x）＞x﹣ex﹣1得证．
19．把一个无穷数列{an}从第2项起，每一项减去它的前一项，得到一个新数列，此数列叫做原数列{an}的1阶差数列．对1阶差数列作同样的处理得到的数列叫做原数列{an}的2阶差数列，如此类推，可得到原数列{an}的K阶差数列．如果一个数列{an}的K阶差数列是由一个非零常数D组成的常数数列，则称这个数列{an}为K阶等差数列，非零常数D叫做数列{an}的K阶公差．
例如，原数列：14，24，34，44，54，64，74，…
1阶差数列：15，65，175，369，671，1105，…
2阶差数列：50，110，194，302，434，…
3阶差数列：60，84，108，132，…
4阶差数列：24，24，24，…
所以原数列为4阶等差数列，24为该数列的4阶公差．
已知数列{an}是2阶等差数列，2阶公差为1，且a1＝1，a2＝2．
（1）已知数列{bn}是数列{an}的1阶差数列，求数列{bn}的通项；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）数列{cn}的前n项和为Sn，c1＝1，cn=1an-1(n≥2)，证明：1≤Sn＜3．
（1）解：根据题意，数列{an}是2阶等差数列，2阶公差为1，
而数列{bn}是数列{an}的1阶差数列，则数列{bn}是公差为1的等差数列，
又由a1＝1，a2＝2，则b1＝a2﹣a1＝1，
故bn＝1+（n﹣1）＝n；
（2）解：根据题意，由（1）的结论，bn＝n，
则有bn＝an+1﹣an＝n，
变形可得an﹣an﹣1＝n﹣1（n≥2），
故当n≥2时，有an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝（n﹣1）+（n﹣2）+……+1+1=n(n-1)2+1，
当n＝1时，a1＝1符合an=n(n-1)2+1，
故an=n(n-1)2+1；
（3）证明：根据题意，由（2）的结论，an=n(n-1)2+1，
当n≥2时，cn=1an-1=2n(n-1)=2（1n-1-1n），
故Sn＝1+2（1-12）+2（12-13）+……+2（1n-1-1n）＝3-2n，
又由n≥2，则1≤3-2n＜3，故1≤Sn＜3．