2023~2024学年广东省珠海市大湾区高二上1月期末联合考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年广东省珠海市大湾区高二上1月期末联合考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ）
A. 8.4B. 8.5C. 8.6D. 8.7
【答案】B
【解析】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，
所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1第50百分位数为.
故选：B
2. 抛物线的焦点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.
3. 在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（ ）
A. B. C. 与异面D. 与相交
【答案】A
【解析】由，故，所以.
故选：A
4. 直线与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由、，故，
则.
故选：C.
5. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】方程表示椭圆，则，解得.
故选：B
6. 任意抛掷一次骰子,朝上面的点数记为X,则,定义事件：,，，则（ ）
A. B.
C. D. B，C相互独立
【答案】C
【解析】对于A，，，A错误；
对于B，，，，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，由选项AB知，，即B，C相互不独立，D错误.
故选：C
7. 已知为空间的组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】对于A，因为，所以，，共面，不能作为空间的基底；
对于选项B，假设，，共面，则存在实数，，使得，
即，所以，无解，所以，，不共面，可以作为空间的基底，故B正确；
对于C，因为，所以，，共面，不能作为空间基底；
对于D，因为，所以，，共面，不能作为空间的基底.
故选：B.
8. 下图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以，为焦点，且经过M，N两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在图1中，，又，
则．
在图2中，，，，
，则．
在图3中，，，
由余弦定理得：，，则．
因为，所以．
故选：A
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列直线中，与圆：相切的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】圆的圆心为，半径为，
选项A：点到直线的距离，
故直线与圆相切，故A正确；
选项B：点到直线的距离，
故直线与圆相切，故B正确；
选项C：点到直线的距离，
故直线与圆不相切，故C不正确；
选项D：点到直线的距离.
故直线与圆相切，故D正确；
故选：ABD.
10. 在下列四个选项，其中正确的有（ ）
A. 与向量同方向的单位向量
B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量，，则在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】对A：由向量，
则与其同方向的单位向量为，故A正确；
对B：由，故不能得到P，A，B，C四点共面，故B错误；
对C：因为三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，
所以当两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底时，
则这两个向量共线，故C正确；
对D：在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD.
11. 袋子中有1个红球,1个黄球,1个蓝球,1个黑球,从中取三次球,每次取一个球,取球后不放回,设事件,,,则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. A与B相互独立D.
【答案】ABD
【解析】红球，黄球，蓝球，黑球分别记为，不放回取球三次的试验的样本空间：
，共24个，它们等可能，
，共6个，
，共6个，
，共6个，，共2个，
，共10个，
，AB正确；
，A与B相互不独立，C错误；
，D正确，
故选：ABD
12. 在平面上，设抛物线的焦点为，准线为l，过点F作直线与C交于，两点，且满足. 设线段PQ的中点为M，N为l上一点，且.则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】因为，所以，
抛物线方程为，准线方程为：，
设直线方程为（由题意直线斜率存在），
联立可得，
，故A错误；
又，
所以，
即，
不妨设，则解得，，
则，，
所以，故B正确；
由中点为M知，，故C错误；
由抛物线定义，，
所以，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共4小题．
13. 若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程______．
【答案】
【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为，
设所求双曲线的方程为().
点为该双曲线上的点，
.
该双曲线的方程为：，
即.
故答案为：.
14. 已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设，由，故，
化简得：，故P的轨迹方程为.故答案为：.
15. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________

【答案】
【解析】由条件，知，,
所以
，
所以,
故答案为：
16. 某学校有男生3000人，女生2000人，为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7.5小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体均值为______小时，总体方差为______．
【答案】7.8；0.86
【解析】依题意，估计总体均值为（小时），
总体的方差为.
故答案为：7.8；0.86
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 圆内有一点，过P的直线交圆于A，B两点．
（1）当P为弦AB中点时，求直线AB的方程；
（2）若圆O与圆相交于E，F两点，求EF的长度．
解：（1）圆的圆心，半径，
由P为圆的弦AB中点，得，而直线的斜率为2，
因此直线的斜率为，方程为，
即，
所以直线的方程为.
（2）圆的圆心，半径，
而，
即圆与圆相交，两圆方程相减得直线的方程：，
点到直线的距离，
所以弦的长.
18. 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了积分制的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖30分、奖0分、扣30分、扣60分、根据大数据统计，评定为等级A，B，C的概率分别是，，．
（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0分的概率．
解：（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评为等级A，B，C，D”，
则，
故其延迟送达且被罚款的概率为；
（2）设事件，，，表示“第单被评为等级A，B，C，D”，，，
则“两单获得的奖励之和为0分”为事件，
，
，
则，
即这两单获得的奖励之和为0分的概率为.
19. 某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产其款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为等品，低于10分的为等品.厂家将等品售价定为2000元/件，等品售价定为1200元/件.
下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：
经计算得，，其中为抽取的第件产品的评分，.
该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔1500万元的资金.
（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分.
（i）估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例；
（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差.
（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品，请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？ （一年按365天计算）
解：（1）（i）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为：
10.00 10.17 10.01 10.01 10.06 9.97 10.03 10.09
10.31 9.96 10.18 10.07 9.27 10.09 10.10 10.00
其中，等品共有13个，
所以，估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例为；
（ii）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为，改进后生产出的产品评分为，其中.
由已知得，用样本估计总体可知，
所以，
所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：
，
由已知得，用样本估计总体可知，
所以.
估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为：

因为，
所以，
同理，
所以式
.
（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：
（元）；
将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为：
（元），
因为，
所以将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大.
20. 已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长为的线段，求点的集合所表示的图形的面积为多少？
（3）求到两条线段、距离相等的点的集合，并在直角坐标系中作出相应的轨迹.其中，，，，，.
解：（1）设是线段上一点，
则，，
因此，当时，；
（2）由题意，设的端点为，以所在直线为轴，以垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，
则点的集合由如下曲线围成：
；
；
；
，

其面积为：；
（3）因为，，，，，，
所以；；
因为到两条线段、距离相等的点的集合，根据两条直的方程可知，两条直线间的关系是平行，
所以得到两条线段距离相等的点是轴非负半轴，抛物线，直线，如图所示：

21. 已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足（表示的面积）.

（1）证明：平面；
（2）当时，二面角的余弦值为，求的值.
解：（1）由题知四边形ABCD为正方形
∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD
∴AB//平面PCD
又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF
∴EF // AB，又AB//CD
∴EF //CD，
由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点
连接BD交AC与G，则G为BD中点，
在△PBD中EG为中位线，∴ EG//PB
∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE
∴PB//平面ACE.

（2）∵底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，
∴PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，

设AB=AD=2a，AP=2b，则A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）
G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b），
∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA ，
∵四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A
∴DG⊥平面CAF，
∴平面CAF的一个法向量为
设平面AFD的一个法向量为而
由得 取可得
为平面AFD的一个法向量，
设二面角C—AF—D的大小为
则得
又 ∴
∴当二面角C—AF—D的余弦值为时.
22. 已知，为椭圆：的左、右焦点，与抛物线：有相同的焦点，与交于，两点，且四边形的面积为．
（1）求的方程；
（2）设斜率存在的直线经过，且与交于，两点，线段上是否存在一点，同时满足下面两个条件，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
①；
②取得最小值．
解：（1）由与抛物线：有相同的焦点可知，，
则，．
由抛物线与椭圆的对称可知，，两点关于轴对称，
则轴，
因为四边形的面积为
所以，所以.
不妨取，代入，得，
解得，将点代入的方程得，
解得，，
故的方程为.
（2）由题意设直线的方程为，，，，
易知点在的外部，由三角形相似可知，，
因为，所以，
即，所以.
联立整理得，
所以，，
则，所以.①
因为点在直线上，所以，
即，
所以.②
由①②得，，
整理得，
所以点在直线：上运动．
设关于直线对称的点，连接交直线于点．
当点与重合时，取得最小值．
又，则，设，则，且的中点在直线上，
所以，解得，
所以直线的方程为，
联立，解得，
故线段上存在满足条件的点，且的坐标为．
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95