2023~2024学年广东省惠州市博罗县高二上期末数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年广东省惠州市博罗县高二上期末数学试卷（解析版），共17页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由得，故抛物线的准线方程为.
故选：D
2. 若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】直线l的一个方向向量为，则直线斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：C
3. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
由题意得，即，
，，
，
故选：B.
4. 已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若点在平面内，则，
对于A： ，所以A选项的点不在平面内；
对于B：，满足要求，所以在平面内；
对于C：， 满足要求，所以在平面内；
对于D：，满足要求，所以在平面内，
故选：A
5. 设A，B为两个互斥的事件，且，则下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】事件，为两个互斥事件，，，故正确；
事件，为两个互斥事件，则，，故错误；
，故正确；
，故正确，综上，ACD正确．
故选：B．
6. 数列an中，，，且（），则为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】由，，且可得
……,
所以为周期数列，且周期为6，故，
故选：A
7. 如图，是的重心，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】是的重心，，
，，
，，，
，
．
故选：D．
8. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
，则有，到渐近线的距离，

，，∴，，
则，，，
由，有，即，
解得，则有，所以离心率.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】设等差数列的公差为，则，解得.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，故当或时，取最小值，C错；
对于D选项，，
故当时，取得最大值，D对.
故选：ABD.
10. 已知圆，直线.则（ ）
A. 直线与圆可能相切
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 直线被圆截得最短弦长时，直线方程为
【答案】BD
【解析】，
则恒成立，
故，
则直线恒过，
因为，
所以点在圆内部，
因为直线恒过定点，
所以直线与圆恒相交，所以A错；
对于圆，令，得，
解得，
所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确；
对于选项：
由于点在圆的内部，
故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错；
因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确；
故选：BD.
11. 已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（ ）
A. 直线与直线所成的角为
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 平面
D. 点到平面的距离为
【答案】ABC
【解析】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，， ，，，
对于A：，，
因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；
对于C：因为 ，，，
所以，，所以，，
因为，平面，所以平面，故选项C正确；
对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，
因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确；
对于D：因为，平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为，
故选项D不正确.
故选：ABC.
12. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是（ ）
A. 函数有1个零点
B. 函数有2个零点
C. 函数有最小值
D. 关于x的方程的解为
【答案】ACD
【解析】对AB，有，
解得，且此时根式有意义，
故有且仅有一根，故A正确，B错误；
对CD，因为，
其几何意义为上的点与点，之间的距离和.
易得关于的对称点为，故即的最小值为，故C正确；
又到点，之间的距离和为的点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，
故的解即与椭圆的交点的横坐标.即，解得，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______．
【答案】
【解析】根据题意，
甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，
故该密码被成功破译的概率．
故答案为：．
14. 已知两圆和相交，则公共弦的长度为_____．
【答案】
【解析】根据题意，联立两圆的方程，则有，即，
则公共弦所在直线的方程为；
圆，即，
其圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则公共弦的长度，故答案为：．
15. 已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为__________.
【答案】
【解析】由题知，直线过点，且直线的方向向量为，点，
所以，
所以点到的距离为
故答案为：
16. 已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________.
【答案】
【解析】依题意，函数，正数数列满足且，
所以，，即，
所以，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
由得，
令，则，
则恒成立
令
所以函数表示双曲线在第一象限的一部分，
双曲线渐近线为，
所以对应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是，
即的取值范围是，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知是数列的前n项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
解：（1）当时，由，得，
两式相减可得，当时，，符合上式，
因此，的通项公式为；
（2）由（1）可知，所以，
．
综上．
18. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
19. 已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
解：（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等，
所以，曲线C是以F为焦点，直线为准线的抛物线（去掉顶点），，
所以曲线C的轨迹方程是；
（2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在，
设直线方程为，代入曲线C方程整理得，
设，则，
，
所以直线方程为，即或．
20. 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．

（1）求该圆弧所在圆的方程；
（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，
设该圆的半径为r米，则，解得，
故该圆弧所在圆的方程为．
（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，
则，
解得．
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车．
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．
21. 如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面.
（1）证明：四点共面；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求长.
解：（1）连接，
因为，
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，，
在半圆上，是弧中点，
所以，
所以，
又，
所以，
所以四点共面.
（2）法1：直棱柱中，以为原点，建立如图空间直角坐标系，

设，则，
设面的法向量为，则，取，所以，
，
设面的法向量为，则，取，所以，
平面与平面所成夹角，即与夹角或其补角，
所以，解得，所以
法2：设，由（1）知四点共面，则面面.

取中点，连接，则，而面，面，
故，，面，则平面，
过作于，又平面，所以平面，
过作于，连接，则，又是锐角.
所以是平面与平面所成的夹角，则，
所以在Rt中，，
在中，根据等面积法，
在中，.
所以.
所以，解得，即，
所以.
22. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于，的两个动点，记直线，的斜率分别为，，且．

（1）求证：直线过定点；
（2）设直线，相交于点，记，的面积分别为，，求的取值范围．
解：（1）由题设且，故，可得，则，
所以，则，，
若斜率为0，则关于轴对称，显然与矛盾，
所以斜率不为0，令，联立，
整理得：，则，
，，而，
又，又，则，
所以，即，
，
，
综上，，即，
所以或（舍），则，即直线过定点.
（2）根据椭圆对称性，不妨设在椭圆的上半部分，即，

令，，联立消去得：，
所以，而，，
所以，即在定直线上，
而，，则，，
若直线无限接近轴，即分别无限接近，则无限接近，
由在直线上，易知，且趋向于，
若直线无限接近椭圆的切线，此时接近重合，即趋向于，
所以.