2023~2024学年广东省广州市五校高二上期末联考数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年广东省广州市五校高二上期末联考数学试卷（解析版），共21页。
1、开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则在复平面上所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】，则，
故在复平面上所对应的点位于第三象限.
故选：C.
2. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，
显然直线的倾斜角最大.
故选：C
3. 集合，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
，
∴.
故选：D.
4. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 9
【答案】C
【解析】根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，
则极差为，故该组数据的中位数是，
数据共6个，故中位数为，解得，
因为，所以该组数据的第40百分位数是第3个数6，
故选：C.
5. 函数的最大值是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】由，解得，故的定义域为.
设，
则，
其中，，
∵，则，
∴当，即时，
取最大值，即函数最大值是.
故选：B.
6. 将的图像向左平移个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图像.已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
向左平移个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的，
则，
由在上单调递增，故在上单调递减，
当时，，则，
即，即.
故选：A.
7. 广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点.广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）.如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高米，塔身最细处（直钢柱和中心轴线距离最近的位置）离地面高度米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为，则塔底直径为（ ）
A. 40米B. 50米C. 60米D. 70米
【答案】C
【解析】由题意设直钢柱中在底面圆上的投影线段为，连接，，
所以在中，，得，
由题意可得四边形为矩形，又因为点是圆的切点，所以，
且到，设圆的半径为，
所以在中，，
得，
所以圆的直径为.故C正确.
故选：C.
8. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆定义可知，由，故，，
点满足，即，则，
又，，
即，
又，
故，则，
即，
即平分，又，
故，
则，则，
，
，
由，
故，
即，即，
又，故.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A. B.
C. 若A与B相互独立，则D. 一定有
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，因为，
又，且，
则，
所以，即，故B正确；
对于C，因为A与B相互独立，
则，
则，故C正确；
对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，
事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足，，但不成立，故D错误；
故选：ABC
10. 下列结论错误的是（ ）
A. 若非零空间向量，，满足，，则有
B. 若非零向量与平行，则A，B，C，D四点共线
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若，则是P，A，B，C四点共面的充要条件
【答案】AB
【解析】对于A，当非零空间向量满足，时，
与不一定平行，也可能垂直，错误；
对于B，当非零向量与平行时，A，B，C，D四点共线或直线与直线平行，错误；
对于C，若不能构成空间的一组基底，则共面，
故存在，使得，
即，由于是一组基底向量，
所以无解，故能构成空间的一组基底，正确；
对于D，，若，
则，化简得，
因此P，A，B，C四点共面四点共面，
反之，若P，A，B，C四点共面，则存在唯一实数对使得，
所以，
所以，
又，
所以，故，
所以是P，A，B，C四点共面的充要条件，正确.
故选：AB
11. 已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，直线交C于另一点N，若，则（ ）
A. 直线的斜率为B.
C. D. 直线的斜率为定值
【答案】AD
【解析】由抛物线C：，则，有，且，
则，则，即，
则，故A正确；
设，则有，
化简得，即，
解得或（舍去），故，
即，则，
，即，故B错误；
则，，
故，故C错误；
设，由，故，
化简得，即，
即或（舍去），故，
即，又，
则，故D正确.
故选：AD.
12. 如图，在棱长为6的正方体中，动点P在截面内（含边界），且满足.下列说法正确的是（ ）
A. 点P的轨迹长度为
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 存点P使得
D. 与平面所成角的正切值的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，取的中点，三棱锥为正三棱锥，
过作面于，则为正的中心，又，
∵，∴，，
由，得，
∴，∴，
∵，∴，
∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即正的内切圆，
∴点的轨迹长度为，故A错误；

对于B，设与平面所成角为，
∵到平面距离为，∴，
∵，∴，
即与平面所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，当为该内切圆与的切点，即为与的交点时，，证明如下：连接,则，
∵平面，平面，∴，
又，平面，∴平面，
∵平面，∴，故C正确；
对于D，如图，该内切圆与的交点为E，取的中点，
作于，，面,
∵,
∴,,,
,,
当与重合时，取最大值；当与重合时，取最小值.
∴，
∵为的中点，
∴到平面距离与到平面距离相等，即，
设与平面所成角为，则，
∵，∴，，
∴，即，
即与平面所成角的正切值的取值范围是，故D正确.

故选：BCD.
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若为奇函数，则_______.
【答案】
【解析】由题得函数的定义域为R,
因为函数是奇函数，所以.
所以，
所以.
故答案为：
14. 已知椭圆和双曲线共焦点，则m的值为____________.
【答案】7
【解析】由题意，焦点轴，
所以，解得.
故答案为：7
15. 已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】直线与与x轴、y轴分别交于，
可设直线的截距式，直线过点，，且，
，
当且仅当，
即时，取得最小值.故答案为：.
16. 已知直线：与圆：、圆：相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足，则线段的长为____________.
【答案】
【解析】由：，故圆心，半径，
则到直线的距离，
则圆被直线所截弦长为，
，
故该圆圆心为且半径，
则到直线的距离，
圆被直线所截弦长为，
由，故，故圆与直线交点在轴右侧，
由点在直线上，且该点在圆内部，故在上，
若A，B在圆上，C，D在圆上，则两圆被直线所截弦长相等，
若A，C在圆上，B，D在圆上，则、，
有，即两圆被直线所截弦长相等，
若A，D在圆上，B，C在圆上，则两圆圆心在同一点，不符故舍去，
综上所述，两圆被直线所截弦长恒相等，
即，即，即，
故或（舍去），
故圆：，
将代入，可得，
即或，由最左边，故在最上面，
即，，
将代入，可得，
即或，
同理可得，在最下面，
故，则，
故
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知函数，其中.
（1）若，求的最小正周期和其图像的对称中心；
（2）若，求的值.
解：（1）当，
，
所以最小正周期，
令，则，
所以图像的对称中心为；
（2）若，
即，所以，
又因为，
则，而，
所以，则，
.
18. 网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人.
（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率.
解：（1）样本中使用过移动支付的人组成集合，使用共享单车的人组成集合，
表示集合中的元素，由题意，，，
所以，
所以样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为，
从而估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为；
（2）由（1）知样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生有人，记为A，B，C，D，E，
其中有3人坐过高铁的学生记为A，B，C.
则从5人中抽取2人的所有抽取情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，
其中2名学生都坐过高铁的有AB，AC，BC，共3种，故所求概率为.
所以这2名学生都坐过高铁的概率为.
19. 已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角A的大小：
（2）若，，D为中点，点E在上且满足，求的长.
解：（1），
故，由正弦定理可得，
即，
即，又，故，
因为，所以；
（2）由余弦定理可得，即，
则，
由D为中点，则，
又，则，即，
则在中，由余弦定理可得：
，
即.
20. 已知抛物线：过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的射线交抛物线于另一点，交准线于点，求的最大值.
解：（1）将点代入抛物线方程，
有，即，
故抛物线的方程为；
（2）由抛物线的方程为，故准线为，
由题意可得，直线的斜率存在且斜率大于零，
设，，令，则，
联立，消去可得，
有，故，
则，由 ，故，
则，
由且，故，
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为.
21. 五面体的底面是一个边长为4的正方形，，，，二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）设点P为棱上一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
解：（1）∵底面是一个边长为4正方形，∴,
∵，∴,
∴为二面角的平面角，∴
∵，，∴,
在中，，
∴，从而，
∴，∴.
（2）∵,,,平面,
∴平面,
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
设平面与平面的夹角为，
若与重合，平面即为平面，其法向量为，
∴，不合题意；
当与不重合时，设，
∴，∴，
设平面的法向量为，
由，
令，则，，
，
整理得，即，解得或，
∴或.
22. 已知双曲线：与圆的一个交点为.
（1）求双曲线E的方程；
（2）设点A为双曲线E的右顶点，点B，C为双曲线E上关于原点O对称的两点，且点B在第一象限，直线与直线交于点M，直线与双曲线E交于点D.设直线与的斜率分别为，，请问是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
解：（1）由题意可得，即有，
则有，整理得，
即，即（舍去）或，，
故双曲线E的方程为；
（2）设，，，则，
则，令，则，
即，则，
代入，故，
化简得，
则有，即，
故，
即，
则，，
由在双曲线上，故有，即，
则
，
即，
即为定值，且该定值为.