2023~2024学年山东省济南市高二上期末质量检测模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年山东省济南市高二上期末质量检测模拟数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 “”是“直线与圆相切”的， 下列说法中，正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由题意得，解得，
故选：A.
2. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 120B. 140C. 160D. 180
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
3. 在三角形中，，，，则（ ）
A. 10B. 12C. D.
【答案】A
【解析】记，则，，
，
．
故选：A.
4. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】对于A，可能平行，相交或异面，故A错误，对于B，可能相交或平行，故B错误，
对于D，平行，不可能垂直，故D错误，由线面平行性质得C正确，
故选：C
5. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 是一个半径为的圆B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】设，由，则，
由在直线上，故，
化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，
上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C.
6. 中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台.大剧院的平面投影是椭圆,其长轴长度约为,短轴长度约为.若直线平行于长轴且的中心到的距离是，则被截得的线段长度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设该椭圆焦点在轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，设椭圆方程为：，，由题意可得，，
将，代入方程，得，
因为直线平行于长轴且的中心到的距离是，
令，得(m)，
故选：C．
7. “”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充分条件B. 必要条件
C. 既是充分条件又是必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】C
【解析】由已知得圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以，即，所以所求直线方程为．
“”是“直线与圆相切”的充要条件，
故选：C．
8. 设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，
，
则，即，故，
则有，
即，即，则，由，故.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选得0分.
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B. 直线在轴的截距是2
C. 直线的倾斜角为30°
D. 过点且倾斜角为90°的直线方程为
【答案】CD
【解析】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.
B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.
C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.
D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.
故选：CD
10. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）
A. A1C⊥平面
B. 存在点P，使得AC1∥平面
C. 存在点P，使得点A1到平面的距离为
D. 用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
【答案】ACD
【解析】连接
因为，所以＝，所以
又平面，平面，所以平面
同理可证，平面
又，、平面，所以平面平面
易证⊥平面，所以⊥平面，A正确
又平面，所以与平面相交，不存在点P，使得∥平面，B不正确.
因为，点到平面的距离为
所以点A1到平面的距离的取值范围为
又，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为，C正确.
因为，所以，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形
又，且，所以截面梯形，D正确
故选：ACD
11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A.
B. 延长交直线于点，则，，三点共线
C.
D. 若平分，则
【答案】AB
【解析】由题意知，点，，如图：
将代入，得，所以，
则直线的斜率，
则直线的方程为，即，
联立，得，解得，，
又时，，则
所以，所以A选项正确；
又 ，所以C选项错误；
又知直线轴，且，则直线的方程为，
又，所以直线的方程为，
令，解得，即，在直线上，
所以，，三点共线，所以B选项正确；
设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，
若平分，即，即，
所以，则，且，解得，
又，解得：，所以D选项错误；
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为_____.
【答案】
【解析】如图：，，，
所以
，
所以，
所以的长为，
故答案为：.
13. 已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是__________，圆锥的表面积与球的表面积的比值是__________．
【答案】；
【解析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，
由题可知：，所以球的半径
所以圆锥的体积为，
球的体积，
所以；
圆锥的表面积，
球的表面积，
所以，
故答案为：；.
14. 四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为_________.
【答案】
【解析】如下图所示，

易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；
由题意可知球心为中点，
故球O的直径，解得
由分别是的中点可得，可得平面；
所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
在三棱锥中，易知平面，且，
所以，
而，
由等体积法得，
所以，故截面面积为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆心在直线上.
（1）若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标
（2）若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆.
解：（1）根据题意可设圆心，半径为；
由圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，可得半径，如下图所示：

由勾股定理可得，解得，
此时圆心，半径为2，圆的方程为；
所以圆心的坐标为；
（2）依题意设圆心，半径为，如下图所示：

因为圆心在直线上，所以；
若圆与直线相切可得，
若圆与圆相外切，则，
即，可得，
该方程，所以该方程无解，
故不存在满足题意的圆.
16. 已知两条直线：，：.（）
（1）若，求值；
（2）若，求，之间的距离.
解：（1）由于，所以.
（2）当时，两条直线的方程分别为和，此时两直线不平行，不符合题意.
当时，由于，所以，解得或（舍去）
当时，两条直线的方程分别为和，
，之间的距离为.
17. 已知数列满足，且点在直线上
（1）求数列的通项公式；
（2）数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值．
解：（1）由点在直线上得，
所以数列是以首项为，公差为2的等差数列，
故，即．
（2），
所以
，
要使对恒成立，，即，又，所以的最小值为5．
18. 如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点.
（1）在线段上找一点，使平面，并说明理由；
（2）若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.
解：（1）如图所示：
当点为的中点时，平面，证明如下：
设为中点，连接.
因为在三棱柱中，，
分别为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形.
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）如图所示：
取中点，连接.
因为，，
所以为正三角形，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为为等边三角形，所以.
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
依题意得
，
所以，.
设平面的法向量，
则由，得，
令，得.
取平面的法向量，
设平面与平面所成二面角的大小为，
则.
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
19. 已知直线与抛物线相切于点A，动直线与抛物线C交于不同两点M，N（M，N异于点A），且以MN为直径的圆过点A.
（1）求抛物线C的方程及点A的坐标；
（2）当点A到直线的距离最大时，求直线的方程.
解：（1）联立，消得，
因为直线与抛物线相切，
所以，解得或（舍去），
当时，，解得，所以，
所以抛物线C的方程为，点A的坐标为；
（2）显然直线的斜率存在，
可设为，
由，消得，
则，
，
，
因为以MN为直径的圆过点A，
所以，
即，
整理可得，
所以，
化简得，
所以，
所以或，
即或，
当时，直线，
即，所以直线过定点（舍去），
当时，直线，满足，
即，所以直线过定点，
当直线与垂直时，点A到直线的距离最大，
又，所以，
所以直线的方程为.