人教A版（2019）高中数学必修二 第六章平面向量及其应用之重难点02—极化恒等式专题讲义（原卷版+解析版）

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重难点02 极化恒等式（精讲） 目录 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc187332164" 1 【知识点梳理】  PAGEREF _Toc187332164 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332165" 1.1 平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：  PAGEREF _Toc187332165 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332166" 1.2 极化恒等式：  PAGEREF _Toc187332166 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332167" 2 【典型例题】  PAGEREF _Toc187332167 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332168" 2.1 题型一：定值问题  PAGEREF _Toc187332168 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187332169" 2.2 题型二：范围与最值问题  PAGEREF _Toc187332169 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc187332170" 2.3 题型三：求参问题以及其它问题  PAGEREF _Toc187332170 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc187332171" 3 【同步测试】  PAGEREF _Toc187332171 \h 4【知识点梳理】平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设 ，则， ① ②①②两式相加得：极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式①平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.②三角形模式：（M为BD的中点）ABCM【典型例题】题型一：定值问题【例1】（2024·全国·高三专题练习）在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ．【变式1-1】（2024·贵州毕节·统考一模）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ）A． B． C．1 D．2【变式1-2】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则A． B． C． D．题型二：范围与最值问题【例2】（2024·浙江湖州·高三期末）已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式2-1】（2024·江苏南通·高一统考期末）正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ）A． B．C． D．【变式2-2】（2024·陕西榆林·统考一模）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．题型三：求参问题以及其它问题【例3】（2024·浙江杭州·高一校联考期末）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ）A． B． C． D．【变式3-1】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ．【变式3-2】（2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则 ．【变式3-3】（2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测）设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是 ．【同步测试】一、单选题1．（2024·四川凉山·统考一模）已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．2．（2024·山东·高三校联考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．（2024·山西·高一统考阶段练习）如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·全国·高三校联考开学考试）如图，直角三角形中，，点是线段一动点，若以为圆心半径为的圆与直线交于两点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．5．（2024·广东清远·高三统考期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（    ）A．16 B．12 C．5 D．46．（2024·江西·校联考一模）已知△ABC是面积为的等边三角形，且，其中实数x，y满足，则的最小值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．77．（2024·江苏苏州·高一苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）半径为2的圆上有三点满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．8．（2024·湖北武汉·高三武钢三中校联考阶段练习）半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．9．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．10．（2024·广东·高三校联考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．11．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考期末）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、填空题12．（2024·黑龙江大庆·高一大庆一中校考期末）如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是 .13．（2024·江苏徐州·高三徐州市第三中学阶段练习）如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则 ．14．（2024·江苏南通·校联考一模）如图，在中，为中点，为上的两个三等分点，若，，则 ．15．（2024·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 .16．（2024·全国·高三专题练习）如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，， ，则的最小值为 ， 最大值为 .  17．（2024·广东·校联考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为 ．18．（2024·浙江杭州·高二校联考期末）在中，，点M为三边上的动点，PQ是外接圆的直径，则的取值范围是 19．（2024·全国·高三校联考阶段练习）在中，，，，已知为内切圆的一条直径，点在的外接圆上，则的最大值为 .20．（2024·全国·高一假期作业）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为 .21．（2024·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若－7，则的值是 ．三、解答题22．（2024·江苏苏州·高一统考期末）如图，在平行四边形中，是的中点，点分别在边上，且满足，.(1)当时，求证：；(2)若，且，求的值.23．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点，，分别在边，，上，且，，．  (1)若，用，表示；(2)求的取值范围．