2024-2025学年高二数学同步精品试题（人教A版2019）第三章圆锥曲线的方程章末题型归纳总结（Word版附解析）

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第三章 圆锥曲线的方程章末题型归纳总结 目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题题型一：求轨迹方程题型二：焦点三角形问题题型三：线段和差最值问题题型四：离心率取值与范围问题题型五：直线与圆锥曲线的位置关系题型六：三角形与四边形面积问题题型七：圆锥曲线定点定值问题题型八：斜率问题题型九：中点弦问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题题型一：求轨迹方程【典例1-1】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .【答案】【解析】设圆的半径为，则，则，所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．则，所以，所以动圆的圆心的轨迹方程为．故答案为：.【典例1-2】（2024·高二·山东临沂·阶段练习）已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为 .【答案】【解析】由题意，设，则，所以，代入圆的方程，整理得，即.故答案为：.【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 .【答案】【解析】设点的坐标为，因为，,所以，化简得.故动点的轨迹方程为.故答案为：【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程.【解析】易得定点，圆的标准方程为，所以圆的圆心为2,0，半径为.因为圆与圆外切，所以，所以由双曲线定义知：动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支.因为，所以.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式1-3】（2024·高二·全国·课堂例题）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程.【解析】设Px,y，，因为为的中点，所以，即，又因为点在曲线上，所以，所以．所以点的轨迹方程为即.题型二：焦点三角形问题【典例2-1】（多选题）（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（    ）A．若的周长为6，则B．若当时，的内切圆半径为，则C．若存在点，使得，则D．若的最大值为2b，则【答案】ABD【解析】对于A,由椭圆，可得，因为的周长为6，所以，解得，因为，所以，解得，故A正确；对于B，由，可得，当时，由余弦定理可得，则，解得，所以，又的内切圆半径为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正确；对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，所以，所以，解得，所以存在点，使得，则，故C错误；对于D，设，，又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b，故时取最大值，所以，解得，故D正确.故选：ABD.【典例2-2】（多选题）（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（    ）A．椭圆的离心率为B．的周长为C．面积的最大值为D．【答案】ABD【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，对于A，椭圆的离心率为，故A正确；对于B，的周长为，故B正确；对于C，，设，则面积的最大值为，故C错误；对于D，设，，因此，故D正确.故选：ABD.【变式2-1】（多选题）（2024·高二·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，M1,1，则下列说法正确的是（    ）A．存在点使 B．的周长为16C．的最大面积为12 D．的最大值为【答案】BCD【解析】由，得.对于A：假设存在点使得，则，所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，由可知，圆与椭圆没有交点，所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误；对于B：的周长为，故B正确；对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，所以，故C正确；对于D： ，又M1,1，所以，所以，故D正确.故选：BCD.【变式2-2】（多选题）（2024·高二·重庆·阶段练习）设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ）A．若且，则双曲线的两条渐近线的方程是B．若，则的面积等于C．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3D．以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切【答案】BCD【解析】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误；，故选项B正确；把点坐标代入的方程得：，选项C正确；如图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确.故选：BCD【变式2-3】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）设为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是上的一点，且，若的内切圆半径为，设内切圆圆心，则（    ）A． B．为直角三角形C．的面积为 D．的离心率为【答案】BD【解析】如图，设点在第一象限，如图，设的内切圆与三边相切于点，则，，由双曲线的定义得，设，所以，所以，A错误；设的中点为，由，知．因为，，所以为直角三角形，B正确；在中，，C错误；在中，，由为直角三角形， ，知，由，得，D正确．故选：BD【变式2-4】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ）A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为C．存在点使得 D．的取值范围是【答案】AD【解析】对于A，易知当点位于的上（下）顶点时，的面积最大为，A正确；对于B，设，则，又点在上，则，即，所以，由得，所以，因此不可能为，B错误；对于C，满足的点在以为原点，1为半径的圆上，易知其与椭圆无公共点，因此不存在上的点，使得，C错误；对于D，由椭圆的定义可得，，易知，则，D正确．故选：AD题型三：线段和差最值问题【典例3-1】（2024·高二·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ．【答案】4【解析】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则，则，则的最小值为4.故答案为：4.【典例3-2】（2024·高二·甘肃白银·期中）已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为 ．【答案】7【解析】曲线可变形为令，解得，可知曲线恒过点，因为在抛物线上，则，解得，所以的方程为，可知的焦点为F1,0，准线为，又因为，可知点在抛物线内，设点在准线上的投影为，则，因为，当且仅当与的准线垂直时，等号成立，所以点到的焦点与到点的距离之和的最小值为7．故答案为：7.【变式3-1】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，是抛物线上的两点，若，则的中点到轴距离的最小值为 .【答案】3【解析】易知抛物线的焦点为F0,1，准线方程为，过两点作准线的垂线，垂足分别为，如下图所示：由可知，当且仅当三点共线时，等号成立；则有，可得；所以的中点到轴距离为，当且仅当三点共线时，等号成立；即的中点到轴距离的最小值为.故答案为：【变式3-2】（2024·高二·河北秦皇岛·开学考试）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ．【答案】8【解析】由双曲线的方程可得，，则，设双曲线的右焦点，则，圆的圆心，半径，由题意可得，当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号，即的最小值为．故答案为：．【变式3-3】（2024·高二·河北保定·期中）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，过点P作与l夹角为30°的直线，该直线交l于点A，是双曲线C的左焦点，则的最小值为 ．【答案】【解析】设右焦点为，如图：连接，过点做于点，结合题意：为直角三角形，且，所以，因为到渐近线的距离为，结合双曲线的定义可得：.故答案为：.【变式3-4】（2024·高二·全国·课堂例题）双曲线C：的左、右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，点P关于原点的对称点为Q，则 .【答案】4【解析】由题意.如图，连接，，则点Q在双曲线C的左支上，由双曲线的对称性知，，，所以四边形为平行四边形，所以，所以由双曲线的定义得.故答案为：4【变式3-5】（2024·高二·上海·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当周长最大时，直线的方程为 .【答案】【解析】椭圆方程：，，，，如图所示设椭圆的左焦点为，，则，，如图，当，，共线时取等号，的周长，当且仅当三点，，共线时取等号．则直线的方程：，整理得.故答案为：【变式3-6】（2024·高二·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 .【答案】【解析】由题意，点为椭圆的左焦点，由于满足：，故在椭圆内部，设椭圆的右焦点为，连接，由于动点在椭圆上，则，从而，因为，当共线，且在线段上时取等号，故的最小值为，故答案为：【变式3-7】（2024·高二·江苏扬州·期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为 .【答案】【解析】设，，则，，由已知可得，，即，整理可得，.所以，点的轨迹方程为（）.所以，，，，所以.则为椭圆的左焦点，设右焦点为，根据椭圆的定义有，所以，所以，.①当时，根据三边关系可知有，当且仅当三点共线时，等号成立，即位于图中点时，有最大值为，所以，；②当时，根据三边关系可知有，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，即位于图中点时，有最小值为，所以，.综上所述，.故答案为：.【变式3-8】（2024·高二·浙江金华·阶段练习）已知Q是圆上任意一点，F是椭圆上的左焦点，M是椭圆上任意一点，则的最小值 .【答案】【解析】因为圆，化为标准式为，即圆心，半径，且椭圆，则，设椭圆的右焦点为，则，所以，当且仅当四点共线时，取得等号，所以的最小值为.故答案为：题型四：离心率取值与范围问题【典例4-1】（2024·高二·江苏扬州·期中）已知双曲线C:（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为 .【答案】/【解析】如图所示，由题意可知，，，，，设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，又，，解得，.故答案为：.【典例4-2】（2024·高二·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ．【答案】【解析】因为动点满足，所以在以为直径的圆上.又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，所以，则，即，同除得，解之得.故答案为：【变式4-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率为 ．【答案】3【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为，因为四边形为平行四边形，所以与互相平分，因为的中点坐标为，所以的中点坐标为，因为，所以点，因为，所以点在渐近线上，所以，化简得，所以离心率.故答案为：3【变式4-2】（2024·高二·上海·单元测试）已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ．【答案】/【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径，该圆与直线相切，则圆心到直线的距离，整理可得，所以．故答案为：【变式4-3】（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ．【答案】【解析】圆，双曲线的渐近线为，圆与双曲线的渐近线有公共点，圆心到渐近线的距离，，，即，．故答案为：．【变式4-4】（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．  【答案】【解析】设另一个焦点，连接，设则再根据双曲线的定义可知：由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，所以由勾股定理得：，化简得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案为：.【变式4-5】（2024·高二·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ．【答案】/【解析】由椭圆可得，由双曲线可得，所以，又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立；所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立；故答案为：【变式4-6】（2024·高二·湖北武汉·期末）如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则 【答案】【解析】由题意可得，所以，设，的斜率为，中点，因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【变式4-7】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 .【答案】【解析】由双曲线的定义，为双曲线右支上任意一点，可得，即，则，当三点共线时，取得最大值，由点为双曲线右支上任意一点，可得直线的斜率小于渐近线的斜率，即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为.故答案为：.题型五：直线与圆锥曲线的位置关系【典例5-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点．【解析】由消去得，，（*），因为在椭圆之外，所以，即，所以，方程（*）有两个不等的实根，即直线与椭圆有两个不同的公共点；【典例5-2】（2024·高二·全国·随堂练习）能否从图形的直观分析中判断出直线：与椭圆C：的交点个数？若存在交点，则求出交点坐标；若不存在交点，则求椭圆C上的点到直线l的最小距离．【解析】联立直线与椭圆方程组成方程组，即，整理得，，因为，所以直线与椭圆无交点.设与直线平行的直线为：，联立直线与椭圆方程组成方程组，得，整理得，，当与椭圆相切时，即，解得：，椭圆C上的点到直线的最小距离即为直线与直线之间的距离，椭圆C上的点到直线的最小距离为.【变式5-1】（2024·高三·江西抚州·期中）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆C上.点P为圆上任意一点，O为坐标原点.(1)求椭圆C及圆M的标准方程；(2)设直线l经过点P，且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A，点A关于原点的对称点为B，试判断直线与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.【解析】（1）由对称知：都在椭圆C上，若在椭圆上，则，显然方程组无解.若三点在椭圆上，由在椭圆上则，代入点得：，则所以椭圆C方程为，则圆M方程为.（2）直线与椭圆C相切.证明如下：由题意可得，点B在圆M上，且线段为圆M的直径，所以，当直线轴时，此时直线过椭圆长轴的顶点，直线的方程为，则直线的方程为，显然直线与椭圆C相切.同理，当直线轴时，直线也与椭圆C相切.当直线与x轴既不平行也不垂直时，设点，直线的斜率为k，则，直线的斜率为，所以直线方程为：，直线方程为：，由，消去y得：.因为直线与椭圆C相切，所以，即   ①.同理，由直线与椭圆C的方程联立，消去y得：即   ②因为点P为圆上任意一点，所以，即   ③.将③代入①式，得将③代入②式，得所以此时直线与椭圆C相切，综上所述，直线与椭圆C相切.【变式5-2】（2024·高三·全国·专题练习）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点．若①，②，③，④，问此时直线共有几条？由此你能探索总结出一般性结论吗？若能，请给予归纳；若不能，请说明理由．【解析】由双曲线，可得，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点，若交点位于双曲线的两支时，此时最短距离为，过左焦点的直线，若与轴垂直时，可得，所以，当时，这样的直线不存在；当时，这样的直线仅有1条；当时，这样的直线仅有2条；当时，这样的直线仅有4条，由此归纳出一般性结论如下表所示：【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数．【解析】由方程组，消去，可得（*），（i）当，即时，方程（*）为，此时直线与双曲线仅有一个交点．（ii）当，即时，，①若，即且时，直线与双曲线有两个交点．②若，即时，直线与双曲线只有一个交点．③若，即或时，直线与双曲线没有交点．由以上讨论可知，当且时，直线与双曲线有两个交点；当或时，直线与双曲线只有一个交点；当或时，直线与双曲线没有交点．【变式5-4】（2024·高二·江苏·课后作业）已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A, B两点，当a为何值时，点A, B在双曲线的同一支上？当a为何值时，点A, B分别在双曲线的两支上？【解析】联立得.由题意知解得且.若点A, B在双曲线的同一支上，则>0，解得或，所以或若点A, B分别在双曲线的两支上，则，解得.【变式5-5】（2024·高二·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？【解析】由，得.当时，方程化为一次方程，该方程只有一解，原方程组只有一组解，∴直线与抛物线只有一个公共点；当时，二次方程的判别式，当时，得，，∴当或时，直线与抛物线有两个公共点；由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；由得或，此时直线与抛物线无公共点．综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点；当或时，直线与抛物线有两个公共点；当或时，直线与抛物线无公共点．【变式5-6】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．  (1)求曲线C的方程．(2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论．【解析】（1）设P的坐标为，则点Q的坐标为．因为，所以.所以．∴点P的轨迹方程为．（2）直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为，点A的坐标为．因为，所以．所以点B的坐标为．所以直线PB的斜率为．因为所以．所以直线PB的方程为代入，得.因为所以直线PB与曲线C相切．题型六：三角形与四边形面积问题【典例6-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知椭圆的焦距为，且过点．(1)求的方程．(2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值．【解析】（1）椭圆的焦距，；椭圆过点，，又，（舍）或，，椭圆的方程为：.（2）由（1）知：F1-1,0，F21,0，设，Ax1,y1，Bx2,y2，由题意可设直线，其中，，由得：，，；同理可得：；，，（当且仅当，即时取等号），面积的最大值为.【典例6-2】（2024·高二·四川凉山·期中）已知中心在原点，焦点在轴的椭圆与双曲线有共同的焦点，且过椭圆的焦点作的弦中，弦长的最小值为，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为2，椭圆和双曲线的离心率之比为．(1)分别求椭圆和双曲线的离心率．(2)若为椭圆和双曲线在第一象限的交点，求三角形的外接圆的面积．【解析】（1）设椭圆方程为：（），双曲线的方程为：（）根据椭圆与双曲线有共同的焦点，则①由过椭圆的焦点作的直线中，弦长的最小值为，则②由椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴之差为2，则③再根据椭圆和双曲线的离心率之比为，则④解得，，，椭圆的离心率．双曲线的离心率．（2）因为为椭圆和双曲线在第一象限的交点，，故，，在三角形中，记为，由余弦定理有．故，则三角形的外接圆的直径为，半径为三角形的外接圆的面积为．【变式6-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．(1)求点的轨迹的方程；(2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）【解析】（1）设，则，化简得：，所以点M 的轨迹E的方程为.（2）设，，，则切线为，切线为，将点分别代入得，所以直线为，点到的距离，当时，．另一方面，联立直线与得，所以，则，当时，．所以．故时，最小值为.【变式6-2】（2024·高二·天津和平·期中）如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，焦点，其中，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．(1)求椭圆的离心率；(2)证明：；(3)设三角形的面积为，四边形的面积为，若的最小值为1，求椭圆的标准方程．【解析】（1）因为，则，所以，则.（2）因为，则，∴椭圆的方程为，由，整理得：，由 可得，则点的坐标是，故直线的斜率为，∵直线的斜率为∴，∴.（3）由（2）知， ， ∴. ∴当时，，∴ ， ∴椭圆方程为.【变式6-3】（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．【解析】（1）由题意知，解得，则椭圆的方程为．（2）易知四边形为平行四边形，设Ax1,y1,Bx2,y2，联立直线与椭圆消去并整理得，由韦达定理得，因为与平行，所以这两条直线的距离，则平行四边形的面积．【变式6-4】（2024·高二·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2.(1)求椭圆的方程；(2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值.【解析】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为.（2）如图所示，因为四边形是平行四边形，所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称.设Px1,y1，则且，，所以直线的方程为y=y1x1+2x+2，令，得，即.又，直线的方程为，令，得，即.四边形面积为，①，因为点在椭圆上，所以且，所以②，将②代入①得，所以当时，.所以四边形面积的最小值为.题型七：圆锥曲线定点定值问题【典例7-1】（2024·高二·浙江·期中）已知直线与抛物线相交于两点.(1)求AB（用表示）；(2)过点分别作直线的垂线交抛物线于两点.（i）求四边形面积的最小值；（ii）试判断直线与直线的交点是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由.【解析】（1）由，得.设，则，（2）（i）显然，设，则，得，同理，，（方法一）设的中点为，则，点到直线的距离为，所以四边形面积（方法二）令，则，，所以当时取最小值为（ii）在定直线上由（i）得直线的斜率，的中点，所以直线的方程为，即，由，消去得所以直线与直线的交点在定直线上.【典例7-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形.(1)求拋物线的方程；(2)如图，抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标.【解析】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，，所以.故抛物线.（2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率，设，由且，因为位于轴同侧，所以，则，由得，所以，又点F0,1，直线和的倾斜角互补，所以，所以，所以，即，解得，所以直线恒过定点.【变式7-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．【解析】（1）设Mx,y，到定直线的距离为则，故，平方后化简可得，故点的轨迹的方程为：（2）由题意，,设直线的方程为，,，,，由，可得，所以，．则，，所以；当直线的斜率不存在时，，此时，综上，为定值．【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知，点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)设与轴交于两点（A在点左侧），直线交于两点（均不在轴上），设直线的斜率分别为，若，证明：直线过定点．【解析】（1）易知圆的圆心为，半径为4，由题得，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆，不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为，其中，所以的方程为．（2）易知直线的斜率不为0，设的方程为，，联立，得，则，又可知点，所以，由得，又，所以，即，又，代入得，整理可得，因为两点不在轴上，所以，所以，化简得，所以，直线的方程为，故直线恒过定点．【变式7-3】（2024·高二·广西·期末）设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4.(1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程.(2)证明：线段的垂直平分线过定点.【解析】（1）∵曲线，由题可得直线的斜率不为0，设直线方程为：，，，联立，化为：，，，，解得，，解得，直线的方程为：，即.（2）设线段的中点为，，，则线段的垂直平分线的方程为：，化为：，可得直线经过定点.【变式7-4】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆的圆心的轨迹与轴交于两点，位于轴右侧的动点满足，并且直线分别与交于两点．(1)求轨迹的方程及动点的轨迹方程；(2)直线是否过定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）设动圆圆心为，半径为，而圆的圆心，半径，圆的圆心，半径由动圆与圆外切，得，由动圆与圆内切，得，则，即点的轨迹是以为焦点，长轴长等于12的椭圆，显然该椭圆的长半轴长，半焦距，则短半轴长，所以轨迹的方程为；显然，设，由，得，当时，，当时，点符合要求，所以动点的轨迹方程是.（2）依题意，，设点，显然，即，当点不在轴上时，，则，设直线，由消去得，，，由，得，即，整理得，则，化简得，解得或，当时，直线过点，不符合题意，则，满足，直线过定点，当点在轴上时，直线与轴重合，也过点，所以直线过定点.题型八：斜率问题【典例8-1】（2024·高二·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程．【解析】（1）由题意得，解得，，椭圆方程为.（2）设直线：，，联立并整理得，，，，解得，符合，直线方程为，即．【典例8-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的一条渐近线方程为，若过点的直线交于两点，设的斜率为.(1)求的取值范围；(2)若交的两条渐近线于两点，且，求.【解析】（1）由题意可得，则，所以双曲线方程为．当直线斜率不存在时显然不符合题意，设直线的斜率为，设，联立得，且由得，所以的取值范围为且，（2）由题知点恰好为线段的两个三等分点，设，由得，同理可得，易知，即，则，其中，由（1）可得，则，故，解得．【变式8-1】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点.(1)求C的方程；(2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系．【解析】（1）由题意知，，由双曲线定义得，所以，所以C的方程为．（2）设点，则，即，由，则①，又②，因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即．【变式8-2】（2024·高二·河南·期中）已知A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，过点作直线HA，HB分别交于另一点D，C.(1)求直线HA，HB的一般式方程;(2)求直线CD的斜率.【解析】（1）由题意可得，又，故，整理得直线HA的一般式方程为；，整理得直线HB的一般式方程为；（2）设，联立，整理得，故，由得，代入，得，即；联立，整理得，故，由，得，代入，得，故，则.【变式8-3】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，双曲线C的离心率为2，右焦点为F，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程；(2)若经过右焦点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，点N满足，求直线ON的斜率的取值范围.【解析】（1）根据题意得，得，        ∴双曲线C的方程为；（2）∵，∴，∴，     设点，设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，     整理得，则，整理得，         由根与系数的关系得，于是注意到，于是，解得，     又点N满足，即，整理得，        两式消除得，代入消去m得，         因此点N的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，         其渐近线斜率为，∴直线的斜率范围为.【变式8-4】（2024·高二·广西梧州·阶段练习）已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5.(1)求的方程；(2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率.【解析】（1）设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，则，当三点共线且点在线段上时，取得最小值， 则，整理得，解得或，因为，所以，故的方程为.（2）设过点的直线.联立，消元得，则，由，得代入韦达定理得：化简得，得或.故的斜率为4或.题型九：中点弦问题【典例9-1】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围；(3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？【解析】（1）设双曲线的标准方程为代入，，得，解得，∴双曲线的标准方程.（2）如图：设直线方程：，联立得， 直线与双曲线有两个交点，所以或或.（或：且）.（3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得，若P为AB中点，则，此时，所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点..【典例9-2】（2024·高二·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上．【解析】（1）因为，所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，由，得，所以的方程为．（2）证明：设两点的坐标分别为，则两式相减并整理得，，设，依题意可得所以，即，所以，即，所以点在直线上．【变式9-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.(1)求双曲线的方程;(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2，所以，，所以双曲线的方程为；（2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知，若线段的中点为，则直线的斜率存在，设为，且，，可得直线的方程为，与双曲线方程联立，可得，设Ax1,y1,Bx2,y2，则，解得，经检验符合题意.【变式9-2】（2024·高二·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．【解析】（1）因为，所以，故抛物线的方程为．（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即．【变式9-3】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程(2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．【解析】（1）因为，所以，故抛物线C的方程为；（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，则，两式相减得，整理得，因为的中点为，故，所以，所以直线的方程为，即.【变式9-4】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率.【解析】（1）设，由题意可知：，两边同时平方，得所以的方程为或.（2）由题可知曲线为，设，，则.由得，所以的斜率为.模块三：数学思想方法①分类讨论思想【典例10-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（ ）．A． B．C． D．【答案】B【解析】如图所示，设，则，，，化简得，或（舍去），即在以O为圆心的圆上，轨迹方程为，如上图所示，易知曲线过定点，记为，若，最多与圆有一个交点，不符合题意，可排除C、D选项；若，先判定与相切的情况，则圆心到直线的距离为，由图形可知当时，曲线与有四个交点.故选：B【典例10-2】（2024·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆中所有 “好弦” 的长度之和为（    ）A．162 B．166 C．312 D．364【答案】B【解析】由已知可得 ， 所以，即椭圆的右焦点坐标为，对于过右焦点的弦，则有：当弦与轴重合时，则弦长，当弦不与轴重合时，设，联立方程，消去x得：，则，故，∵，则，可得，即，∴，综上所述：，故弦长为整数有，由椭圆的对称性可得：“好弦” 的长度和为 ．故选 ：B．【变式10-1】（2024·上海浦东新·高二海市建平中学校考阶段练习）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】当斜率不存在时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设为k，则直线方程为，联立，得，①当时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意；②当时，令，解得，即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选：C【变式10-2】（2024·全国·高二专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；由，消去整理得．①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； ②当即时，由，解得，此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的的所有取值为或，故选：D【变式10-3】（2024·重庆渝中·高二重庆市求精中学校校考阶段练习）过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线的条数是（    ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】当不存在时，直线不满足条件；设直线，与双曲线方程联立可得 ，即 ，当时，即，当时，方程无解，不符合题意，当时，方程只有一解，满足条件；当时，，即 解得：或（舍去），综上可知，满足条件的有或，共2条直线.故选：B②转化与化归思想【典例11-1】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，椭圆：()的右焦点为F，离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且，，．若，则离心率e的最小值是 ．  【答案】【解析】∵点P是上第一象限内任意一点且，∴，设直线OP的斜率为k，则．由可得，故，∴，∵，故，∴，解得，∵对任意的恒成立，故，整理得到对任意的恒成立，故只需，即，即，故离心率e最小值为．故答案为：【典例11-2】（2024·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 【答案】6【解析】圆的方程为，圆心，半径，设，则，，到圆心的距离，又 当时，取得最大值，的最大值为： ，故答案为：．【变式11-1】（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ．【答案】.【解析】设点，由得点，而点P为椭圆上的任意一点，于是得，整理得：，所以点M的轨迹方程是.故答案为: 【变式11-2】（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ；【答案】【解析】设动圆的半径为，由已知得：圆可化为标准方程：，即圆心，半径，圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知：，两式相加得，，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以轨迹的方程为.故答案为：【变式11-3】（2024·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线C：的准线为l，圆E：，点P，Q分别是抛物线C和圆E上的动点，点P到准线l的距离为d，则的最小值为 .【答案】4【解析】抛物线C：的准线为，焦点圆E：，圆心，半径，由抛物线的定义知，所以，由圆的性质知，即所以，当且仅当三点共线时，等号成立.又，所以故答案为：4.【变式11-4】（2024·河北邢台·高二统考阶段练习）已知的顶点都在抛物线上，若重心的纵坐标为，则 .【答案】/0.5【解析】设坐标分别为，又点都在抛物线上，则，则，同理，所以.故答案为：.③数形结合思想【典例12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 .【答案】/【解析】由题意可得，，，，，为双曲线右支上一点，，又 ，，则的周长为．故答案为：．【典例12-2】（2024·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为 .【答案】【解析】由双曲线的定义可得，所以取的中点，连接,又因为为等边三角形，则,在直角三角形中，,即，解得：，即，故答案为：.【变式12-1】（2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ．【答案】/【解析】由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则，∴，，，．故答案为：【变式12-2】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为 ．【答案】/【解析】设，，，根据双曲线的定义可知：，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．故答案为：.【变式12-3】（2024·福建福州·高三统考开学考试）已知双曲线C：的左焦点为F，两条渐近线分别为，．点A在上，点B在上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称、若，则C的离心率为 ．【答案】2【解析】依题意，的方程为，，设垂足为P，根据三角函数对应关系，,，因为，的方程为，即，则，故，因为点F，A关于直线对称，，又，关于y轴对称，所以的倾斜角为，故，则，则，所以离心率．故答案为：.【变式12-4】（2024·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .【答案】/【解析】由题意知，.设双曲线的右焦点为，由是双曲线右支上的点，则，则，当且仅当三点共线时，等号成立.又，则.所以，的最小值为.故答案为：.【变式12-5】（2024·全国·高三专题练习）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为 .【答案】11【解析】由题意可得，，所以,因为，所以;因为，所以.故答案为：11.焦点弦长直线的条数不存在1条3条2条4条不存在2条4条不存在1条2条3条4条