2024-2025学年高二数学同步精品试题（人教A版2019）第三章圆锥曲线的方程单元综合测试卷（Word版附解析）

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第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为抛物线的焦点为，准线为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选：D.2．阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于两点.若，则椭圆的半短轴的长度（    ）A．5 B．4 C．6 D．2【答案】D【解析】因为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为，所以，所以，因为过原点，结合椭圆对称性，可得线段，被原点互相平分，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，所以由椭圆的定义得，解得，所以，解得，所以椭圆的短半轴长为.故选：D.3．已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点是椭圆上一点，且，所以，解得，所以椭圆方程为，又点是椭圆上一点，所以，解得，所以椭圆的方程为.故选：B.4．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设，有，得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得，故选：D.5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（    ）A． B． C．3 D．5【答案】C【解析】由椭圆的定义可知，且，因为，所以，又，故，所以．故选：C6．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由椭圆定义得：，又因为，所以解得：，再由于，，结合勾股定理可得：，解得，所以椭圆的离心率为，故选：C.7．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，直线的方程为即，联立解得，所以，从而，的周长为，面积为，又，所以.故选：A8．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知，当直线的斜率为零时，得，不合题意；当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，联立，得，设，由得，而，即，解得，即．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】AC【解析】由点在抛物线上，可得点横坐标，因为，由抛物线定义得，解得或，故选：.10．下列关于曲线性质的描述正确的是（    ）A．关于轴对称 B．关于原点对称C．关于直线对称 D．所围成的图形的面积小于12【答案】ABD【解析】把曲线中的同时换成，方程变仍为，所以曲线关于轴对称，故A对；把曲线中的，同时换成，方程变仍为，所以曲线关于原点对称，故B对；把曲线中的，同时换成，方程变为：，所以曲线不关于直线对称，故C错；由可得，，所以所围成的图形的面积小于12，故D对，故选：ABD11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（    ）A．曲线C关于原点对称B．曲线C存在点P，使得C．直线与曲线C没有交点D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则【答案】CD【解析】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如下：对于A，由图可得A错误，故A错误；对于B，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C存在点P，使得，故B错误；对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确；对于D，设，设点在直线上，点在直线，则由点到直线的距离公式可得，，所以，又点Q是曲线C上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D正确；故选：CD.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ．【答案】【解析】∵，，∴，∴，又，，∴，由余弦定理，得，∴.故答案为： 13．已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则PC的最小值为 .【答案】/【解析】如图，设圆的半径为，则；又到的距离为，则到的距离为.所以C的轨迹是以O为焦点，以为准线的抛物线，顶点为，则14．定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，则下列说法中正确的是 ．（填上你认为的所有正确说法的序号）①双纽线关于原点中心对称；②双纽线上满足的点只有1个；③；④的最大值为．【答案】①②④【解析】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确；对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即0，所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确；对于③，根据三角形的等面积法可知，即，所以，所以③错误；对于④，因为，所以，由余弦定理得，所以，当且仅当时取得等号，所以的最大值为，所以④正确．故答案为：①②④．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.【解析】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.16．（15分）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．【解析】（1）由题意可知：，则，∵，∴，∴，∴椭圆（2），∴直线：，联立方程组得,设，则，点到直线的距离∴17．（15分）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．(1)求的方程；(2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．【解析】（1）因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线，此时，则曲线的方程为；（2）证明：设直线的方程为，，，联立，消去并整理得，此时，解得，由韦达定理得，，因为，所以，因为，所以，解得，设点为的中点，此时，所以直线的方程为，令，解得．故点为定点，坐标为．18．（17分）在平面直角坐标系中，已知双曲线，(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；(2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ(3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值.【解析】（1）由题意得，的左顶点坐标为，渐近线方程为，过点作的平行线，方程为，设该平行线与交于点，与轴交于点，联立，解得，故，中，令得，故，则围成的三角形为，其面积为；（2）设直线，∵直线与圆相切，∴，故，联立与得，，设，则，，所以，故OPOQ.（3）当直线⊥轴时，，，则，故到直线的距离为，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为y=kxk≠0，则直线的方程为，由，得，所以，同理可得，设O到直线的距离为，因为ON，所以，由于，故，所以，综上，O到直线的距离是定值.19．（17分）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点P(4,0)，则，得，又，所以，所以，所以椭圆C的方程为.根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即；（2）由题意，设点Q的坐标为(,)，因为点Q在直线上运动，所以，联立，得，，该方程无实数根，所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，又QM，QN都与椭圆C相切，所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为，将代入，整理得，又因为定点T的坐标与的取值无关，所以，解得，所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.当时，T是线段MN的中点，设，直线MN的斜率为，则，两式相减，整理得，即，所以当时，直线MN的方程为，即.