2024-2025学年高二数学同步精品试题（人教A版2019）第二章直线和圆的方程章末题型归纳总结（Word版附解析）

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第二章 直线和圆的方程章末题型归纳总结 模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：直线与线段相交问题经典题型二：直线方程综合应用经典题型三：直线与坐标轴围成的面积问题经典题型四：直线对称问题经典题型五：两直线的平行与垂直经典题型六：直线与圆的位置关系经典题型七：圆与圆的位置关系经典题型八：轨迹问题经典题型九：直线和圆的范围与最值问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：直线与线段相交问题【典例1-1】（2024·高二·福建福州·阶段练习）过点的直线与线段MN相交，，则的斜率k的取值范围为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】如图所示：则，若过点的直线与线段MN相交，所以.故选：B.【典例1-2】（2024·高二·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选：B．【变式1-1】（2024·高二·北京朝阳·阶段练习）已知三点，，，则过点 的直线 与线段 有公共点时（公共点包含端点），直线 的斜率 的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，过作 轴，交轴于，因为三点，，，直线的斜率，直线的斜率，所以结合图象，得直线的斜率的取值范围是．故选：B【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由图象结合题意可知：，观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大，斜率大于或等于直线的斜率；为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率；所以直线的斜率的取值范围是．【变式1-3】（2024·高二·河南漯河·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】可以看成是线段上的点与点连线的斜率，如图，易求得，，所以得取值范围为.故选：C.经典题型二：直线方程综合应用【典例2-1】（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．(1)求边所在直线的方程；(2)求的面积．【解析】（1）因为，所以设直线的方程为：，将代入得，所以直线的方程为：，联立，所在直线方程：，解得，设，因为为的中点，所以，因为在直线上，在上，所以，，解得，所以，，所以所在直线的方程为：，即.（2）点到直线的距离为：，又，所以.【典例2-2】（2024·高一·福建宁德·阶段练习）（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程.（2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程【解析】（1）由题意可知所求直线经过两点，则直线的斜率，所以直线方程为，即；（2）由题意可设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为，即.【变式2-1】（2024·高二·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：．(1)求直线经过的定点坐标；(2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．【解析】（1）由直线：，即，令，解得，故直线恒过定点；（2）设关于的对称点，则，关于的对称点，由直线的方程为，即，所以，解得，所以，由题意得、、、四点共线，，由对称性得，所以入射光线的直线方程为，即．【变式2-2】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为．(1)求直线的方程；(2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．【解析】（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即，而边中线所在的直线方程为，由，解得，则，设点，则点，于是，解得，即点，直线的斜率，所以直线的方程为，即.（2）由（1）知，，，由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或，当直线过时，直线的斜率为，方程为，即，当直线时，直线的斜率为，方程为，即，所以直线l的方程为或.【变式2-3】（2024·高二·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，.(1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形；(2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程.【解析】（1）如图所示，因为四边形是平行四边形，所以，设，则，解得，所以，又因为，所以，所以，所以四边形是矩形；（2），所以直线，即 ；设的角平分线与轴交于点，求得，所以，又为角平分线，所以，所以倾斜角，所以斜率，所以直线，即.【变式2-4】（2024·高二·安徽合肥·期中）中，边上的中线所在直线方程为，的平分线方程为．(1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程．【解析】（1）设，则的中点在直线上．，，即，又点在直线上，则，由可得，，即点的坐标为（2）设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上．由题知，得，，直线的方程为，即【变式2-5】（2024·高二·河南新乡·阶段练习）已知的三个顶点分别为．求：(1)边中线所在的直线方程；(2)的平分线所在的直线方程．【解析】（1）已知的三个顶点分别为，所以中点为，而，所以中线方程为．（2），所以，所以为钝角，且，设的平分线与轴的交点为，则，即的平分线所在的直线的倾斜角为，，解得（负根舍去），所以，所以的平分线的直线方程为，即.经典题型三：直线与坐标轴围成的面积问题【典例3-1】（2024·高二·河南漯河·阶段练习）设直线l的方程为(1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P；(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长；(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程.【解析】（1）由得，令，解得，所以不论为何值，直线必过一定点.（2）由，令，得，令，得，由，解得，，当且仅当，即时等号成立，此时，，所以得周长为.（3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，即，均为整数，所以，均为整数，又斜率为正值即，即，，所以直线的方程为，，，.【典例3-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解析】当时，，曲线在点处的切线方程为，即，直线在轴，轴上的截距分别为，因此所求三角形的面积为．【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的斜率为2．(1)求；(2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．【解析】（1）易知直线过点，则直线的斜率为，解得．（2）由题可知直线的斜率为2，故设直线的方程为．易知直线与轴的交点坐标分别为，，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得．所以直线的方程为或．【变式3-2】（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）设直线l的方程为．(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程；(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．【解析】（1）由得，则，解得，∴不论a为何值，直线l必过一定点；（2）由，当时，，当时，，又由，得，，当且仅当，即时，取等号．，，∴直线方程为．（3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数，，， ∴直线l的方程为．【变式3-3】（2024·高一·浙江宁波·期末）已知直线.(1)求证：直线过定点；(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.【解析】（1）由，即，则，解得，所以直线过定点；（2）如图所示，结合图像可知，当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；当时，直线斜率存在，方程为，又直线不经过第二象限，则，解得；综上所述；（3）已知直线，且由题意知，令，得，得，令，得，得，则，所以当时，取最小值，此时直线的方程为，即.【变式3-4】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）已知直线.(1)若直线不经过第三象限，求的取值范围；(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.【解析】（1）直线可化为，要使直线不经过第三象限，则，解得，的取值范围为.（2）由题意可得中，取，得，取，得，，当且仅当时，即时，取“=”，此时的最小值为4，直线的方程为.经典题型四：直线对称问题【典例4-1】（2024·高二·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ）A．直线过,的中点 B．直线的斜率为C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是【答案】B【解析】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确；对于B，直线的斜率为，故B错误；对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确；对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确.故选：B.【典例4-2】（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆的圆心为，直线关于直线对称时，与直线垂直，所以直线的方程为，由解得，所以.故选：A.【变式4-1】（2024·高二·云南临沧·期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，结合的斜率为1，得直线的斜率为，所以，化简得①再由的中点在直线上，，化简得②联立①②，可得，所以圆心的坐标为，所以半径为3的圆的标准方程为.故选：C【变式4-2】（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.【变式4-3】（2024·高二·全国·期末）点在直线上，直线与关于点0,1对称，则一定在直线上的点为（    ）A． B． C． D．（1，0）【答案】C【解析】由题设关于0,1对称的点为，若该点必在上，∴，解得，即一定在直线上.故选：C.【变式4-4】（2024·高二·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ）A．2 B．6 C． D．【答案】A【解析】由于直线与直线关于点对称，所以两直线平行，故，则，由于点在直线上，关于点的对称点为，故在上，代入可得，故，故选：A【变式4-5】（2024·高二·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为不在直线l：上，所以可设直线l：关于点对称的直线方程为，则，解得或（舍去），故所求直线方程为：.故选：A【变式4-6】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为直线l：与直线关于直线对称，所以在方程中，用代，以代，得，化简，得，故选：A【变式4-7】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线过点，与轴交于点，直线与关于轴对称，则直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题得点关于轴的对称点分别为，，直线经过两点，故直线的方程为，即．故选：B.经典题型五：两直线的平行与垂直【典例5-1】（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知直线，若，则实数 .【答案】2【解析】由直线，因为，可得，即，解得.故答案为：.【典例5-2】（2024·高二·山东济南·阶段练习）已知，设直线：，：，若，则 .【答案】1【解析】因为，所以.故答案为：1【变式5-1】（2024·高二·江苏·专题练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 .【答案】【解析】由题意可知，动直线，经过定点，动直线即，经过定点，时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点，，．设，则，，由且，可得，，，，，，故答案为：.【变式5-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，若，写出一个满足条件的直线的方程为 ．【答案】（答案不唯一）【解析】因为，所以.因为，所以，即，由题意所求直线方程满足均可．取，得所求直线方程为：.故答案为：（答案不唯一）【变式5-3】（2024·高二·河南漯河·阶段练习）三条直线，与不能围成一个三角形，则 .【答案】或或【解析】当三条直线交于同一点时，，即交点为.将代入，得，解得；当直线与平行，则，解得；当直线与平行，则，解得.故答案为：或或【变式5-4】（2024·高二·云南文山·阶段练习）若直线与直线平行，则 ．【答案】2【解析】直线的斜率为2，而它和直线平行，故，故或，当时，直线即为直线，符合题意；当时，直线即为直线，两直线重合，不合题意；故，故答案为：2.【变式5-5】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线过点，直线过点，若直线，则 ．【答案】【解析】由题得，即，解得．故答案为：【变式5-6】（2024·高二·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）过,两点的直线与过、两点的直线垂直，则 .【答案】0或5【解析】两直线的方向向量分别为、，故，解得或，当时，,，、符合题意；当时，,，、符合题意.综上可知，或.故答案为：或.【变式5-7】（2024·高二·江苏·专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， .【答案】【解析】由题意，由，解得，故过定点．，由，解得，故过定点，故，距离的最大值为．此时，直线的斜率为，则，直线的斜率为，解得，故．故答案为：5经典题型六：直线与圆的位置关系【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线绕原点逆时针旋转与圆相交于两点，则（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】直线绕原点逆时针旋转后，两条直线垂直，所以旋转后直线的斜率为，直线方程为，由题意得圆的圆心，半径，所以圆心到直线的距离，则．故选：D.【典例6-2】（2024·高三·广东·阶段练习）已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（    ）A．2 B． C．2 D．【答案】B【解析】圆M的方程可化为，所以x轴与圆M相离.又，且和均为直角三角形，，为圆的半径，且，所以面积的最小值转化为求最小，当垂直于x轴时，四边形面积取得最小值，此时，所以四边形面积最小值为.故选：B.【变式6-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　）A． B．C． D．或【答案】D【解析】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，当直线与曲线相切时，则圆心到直线的距离为，可得（正根舍去），当直线过时，，如图，直线与曲线恰有1个交点，则或.故选：D.【变式6-2】（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）圆和直线为圆C上一点，则下列说法正确的是（    ）A．若圆C关于直线l对称，则的最大值为20B．若圆C关于直线l对称，则C．存在实数a使得圆C与直线l相离D．无论取a任何实数，圆C都和直线l相交【答案】ABD【解析】对于B，方程可化为，所以的圆心为，半径为，若圆C关于直线l对称，则，解得，故B正确；对于A，设，则点到直线的距离满足：，所以，解得，所以的最大值为20，故A正确；对于C，点到直线的距离为，若圆C与直线l相离，则，但这不可能，（因为），故C错误；对于D，由C选项分析可知，若，但这不可能，（因为），所以恒成立，所以无论取a任何实数，圆C都和直线l相交，故D正确.故选：ABD.【变式6-3】（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径，圆圆心为2,0，半径，所以有故选：C【变式6-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得圆的标准方程为，所以半径为，如图，过圆心作直线的垂线，由题意得垂线斜率为，故设其方程为，将带入其中，可得，解得，所以垂线方程为，因为求半径最小的圆，所以圆的圆心在直线上，而圆心到直线的距离为，故圆的半径为，设圆心，已知，解得，即圆心，故D正确.故选：D【变式6-5】（2024·高二·全国·专题练习）过点引圆的切线，则切线方程为（    ）A．B．C．x=2或D．x=2或【答案】D【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即，解得，∴所求切线方程为.综上，切线方程为或.故选：D.经典题型七：圆与圆的位置关系【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ）A．圆和圆关于直线对称B．圆和圆的公共弦长为C．的取值范围为D．若为直线上的动点，则的最小值为【答案】D【解析】对于A，和圆，圆心和半径分别是，则两圆心中点为，若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，但两圆心中点不在直线上，故A错误；对于B，到直线的距离，故公共弦长为，B错误；对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大为，故的取值范围为，C错误；对于D，如图，设关于直线对称点为，则解得即关于直线对称点为，连接交直线于点，此时最小，，即的最小值为，D正确.故选：D.【典例7-2】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（ ）A．外离 B．相交 C．外切 D．内含【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为0,3，半径为2，两圆的圆心距为，所以两圆外切.故选：C【变式7-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆与圆交于两点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】两圆方程作差可得直线的方程为：，即；由圆方程可得其圆心，半径，到直线的距离，.故选：B.【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ）A． B．1 C． D．0【答案】C【解析】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得．故选：C.【变式7-3】（2024·高二·全国·课后作业）若圆与圆相切，则（    ）A．6 B．3或6 C．9 D．3或9【答案】D【解析】圆的圆心为、半径为，圆的圆心为2,0、半径为3，则两圆的圆心距；当圆与圆内切时，，解得；当圆与圆外切时，，解得．故选：D.【变式7-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆和圆，则圆和圆的公切线条数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】我们将圆的一般方程化为标准方程，得到，故它的圆心为，半径，由题意得，半径，则由两点间距离公式得，故两圆圆心距为5，满足，故两圆外切，圆和圆的公切线条数为3，故C正确.故选：C【变式7-5】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，若点是以为直径的圆上的动点，且点关于点的对称点的轨迹满足方程，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】记以为直径的圆为圆，在方程中，，记该方程表示的圆为圆．由，得圆的方程为，整理得．圆，圆心．依题意可知，圆与圆关于点中心对称，因为关于对称的点为，所以圆的圆心为，所以，得．故选:D.【变式7-6】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由圆，圆，两式作差得，，即，所以两圆的公共弦所在直线方程是.故选：B.【变式7-7】（2024·高二·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ）A．相切 B．外离 C．相交 D．内含【答案】C【解析】因为可化为,则，半径，因为可化为，则，半径，则，因为，所以两圆相交.故选：C.经典题型八：轨迹问题【典例8-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ．【答案】【解析】设，则有，化简得，即点的轨迹方程是.故答案为：.【典例8-2】（2024·高二·上海·随堂练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ．【答案】【解析】设Mx,y，由，得，可得：，即，整理得，故动点的轨迹方程为.故答案为：.【变式8-1】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，的顶点，，则点的轨迹方程为 ．【答案】【解析】设直线的方程为，因为，所以直线斜率存在且不为0，即点不在轴上，即，即；同理直线的方程为，联立消去得，故点的轨迹方程为.故答案为：.【变式8-2】（2024·福建莆田·三模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 .【答案】 【解析】设Mx,y，则，整理得（或）.设Px1,y1，则，故.令，则=.故答案为：；.【变式8-3】（2024·高二·全国·课后作业）平面直角坐标系中，已知点，圆O：与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点．若线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 ．【答案】【解析】连接，设点Mx,y，∵M是弦的中点，∴，又∵，，∴，即，联立，解得或，又∵M在圆O的内部，∴点M的轨迹方程是，故答案为：．【变式8-4】（2024·高二·全国·单元测试）已知的方程是的方程是，动点到和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是 ．【答案】【解析】设Px,y，点到和所引的切线长为，：的圆心为，半径为的圆心为，半径为则，，，，即．故答案为：【变式8-5】（2024·高二·湖北武汉·期中）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 .【答案】【解析】将动直线整理为，联立，可得，所以动直线过定点.又，所以点在以为直径的圆上运动，设，则，，即.故答案为：【变式8-6】（2024·高二·福建龙岩·期中）由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为 .【答案】【解析】如图所示，因为，可得，又因为，所以，设，则，即.故答案为：.经典题型九：直线和圆的范围与最值问题【典例9-1】（2024·高二·陕西西安·期中）已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，，O为坐标原点，那么的最小值为 ．【答案】【解析】直线l与x轴、y轴分别交于，,可设直线的截距式：，直线l过点，，且，，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.【典例9-2】（2024·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为 ．【答案】/【解析】直线：即，过定点直线：即，过定点又，故，则点在以线段为直径的圆上，即点的轨迹为，即，假设存在点，使恒成立，设则，整理得，与的轨迹对照得，解得，即存在点，使，即，所以，即的最小值为.故答案为：.【变式9-1】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.(1)求圆的为程；(2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．【解析】（1）选条件①．设圆的方程为，将，代入可得，解得，则圆的方程为．选条件②．直线恒过点．因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，所以圆的方程为，即．选条件③．设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆的方程为，即．（2）设，，因为为线段的中点，所以，因为点是圆上的动点，所以，所以的轨迹方程为．【变式9-2】（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线过定点．(1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；(2)设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程．【解析】（1）因为直线恒过定点，若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为，若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为，则求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．（2）设，，则，得到，所以，又点在上，所以，整理得，故的轨迹方程为.【变式9-3】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆G经过点，，且_____.(1)求圆G的一般方程：(2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）方案一：选条件①.设圆的方程为，则，解得，则圆G的方程为.方案二：选条件②直线恒过点1,0.因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为1,0，又圆G经过点，所以圆的半径，所以圆G的方程为，即.方案三：选条件③设圆G的方程为，由题意可得，解得，则圆G的方程为，即.（2）设Mx,y，因为M为线段的中点，所以，因为点P是圆G上的动点，所以，即，所以M的轨迹是一个圆.【变式9-4】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知直线与圆交于A，两点，则的最小值为 ．【答案】2【解析】由知直线过定点，当直线和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，最小，此时．根据弦长公式得的最小值为．故答案为：2【变式9-5】（2024·高二·浙江金华·阶段练习）已知直线，动直线被圆截得弦长的最小值为 ．【答案】【解析】由圆可得：圆心，半径.由直线可得：直线过定点.因为所以点在圆内，直线与圆相交，则过点且与垂直的弦的弦长最短，且弦长的最小值为.故答案为：【变式9-6】（2024·高二·江苏南京·期中）已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 .【答案】【解析】设线段MN的中点为，圆：的圆心为，半径为，则圆心到直线MN的距离为，所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为.所以.故答案为：【变式9-7】（2024·高二·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 .【答案】【解析】由得，故圆的圆心为，半径为1，当时，，当时，，如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数，令，即，则圆心到该直线的距离满足，两边平方整理得，解得，故此时的最小值是，又，故的最小值为.故答案为：.【变式9-8】（多选题）（2024·高二·广东中山·阶段练习）下列结论正确的是（    ）A．已知点在圆上，则的最大值是4B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是【答案】AD【解析】A选项，因为点在圆上，所以，当时，取得最大值4，故A正确；B选项，由，所以，即直线过点，因为直线和线段相交，故只需或，故B错误；C选项，圆的圆心到直线的距离，而点是圆外一点，所以，所以，所以直线与圆相交，故C错误；D选项，与点的距离为1的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距，满足，解得，故D正确.故选：AD【变式9-9】（多选题）（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）下列结论正确的是（    ）A．已知点Px,y在圆：上，则的最大值是B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相交D．若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是【答案】ACD【解析】对于A，因为点Px,y在圆：上，故可设，，，所以，所以，即点的坐标为时，取最大值，最大值是，A正确；对于B，方程可化为，所以直线过定点，直线的斜率为，因为直线和以，为端点的线段相交，所以或，其中，，所以实数的取值范围为，B错误；对于C：因为是圆外一点，所以，圆的圆心坐标为，半径为，所以圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，C正确；到点的距离为的点的轨迹方程为，因为圆上恰有两点到点的距离为，所以圆与圆相交，又，所以，又， 所以，故的取值范围是，D正确.故选：ACD.【变式9-10】（多选题）（2024·高二·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ）A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2C．的最大值为 D．的最大值为【答案】ACD【解析】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示，对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确；对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误；对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大，当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确；对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确．故选：ACD．【变式9-11】（多选题）（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）已知是圆上任一点，，则下列说法正确的是（    ）A．圆心的坐标为 B．点在圆内C．的最大值为 D．过的最短弦长是【答案】ACD【解析】将圆的方程化为标准方程，圆心，如图所示：对于A：圆心C的坐标为，故A正确；对于B：因为，所以点在圆C外，故B错误；对于C：因为，所以，即，故C正确；对于D：因为，所以点在圆内，当弦垂直于时弦长最短，又，最短弦长为，故D正确.故选：ACD.【变式9-12】（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ）A．的最大值为5B．的最大值为C．直线与圆相切时，D．圆心到直线的距离最大为4【答案】BC【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.，是圆上的点，所以的最大值为，A选项错误.如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，B选项正确.直线，即，过定点，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，解得，所以C选项正确.圆心到直线的距离，当时，，当时，，所以D选项错误.故选：BC【变式9-13】（多选题）（2024·高二·江西新余·开学考试）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（    ）A．的最大值为B．的最小值为C．存在点使D．过点作圆的切线，则切线长为【答案】AD【解析】对于A，设，则点到直线的距离，解得，得的最大值为，故A正确；对于B，令，则点到直线的距离，解得，得的最小值为，故B错误；对于C，假设存在点使，设Px,y，则，化简得，因此满足的点在圆上，此圆圆心为，半径为，而，因此与圆外离，所以不存在点使，故C错误；对于D，圆的圆心为，半径为，则过点作圆的切线，则切线长为，故D正确.故选：AD.【变式9-14】（多选题）（2024·高二·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ）A．点的坐标为 B．的最小值是C．的最大值是0 D．【答案】ACD【解析】根据题意，圆的圆心为，半径．对于A，直线，可化为，所以直线经过点，斜率为，因此直线过定点，A项正确；对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值，此时，可知的最小值是，故B项不正确；对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确；对于D，设的中点为，连接，则，可得，故D项正确．故选：ACD．【变式9-15】（多选题）（2024·高二·安徽六安·期末）已知圆，下列说法正确的是（    ）A．过点作直线与圆交于两点，则范围为B．圆上有4个点到直线的距离等于1C．圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为D．过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点【答案】ABC【解析】圆的圆心为O0,0，半径，对于选项：因为，可知点在圆内，可得圆心到过点的直线的距离，所以，故正确；对于选项B：因为圆心到直线的距离，作且与的距离均为1，如下图所示：由图可知此时到的距离均为1，所以圆上有4个点到直线的距离等于1，故B正确；对于选项C：圆的圆心，半径为，则，若圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交，则，即，解得，所以实数的取值范围为，故C正确；对于选项D：设，则，可得，以为圆心，为半径的圆的方程为，整理得，由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线，可得，整理得，令，解得，所以直线必过定点，故D错误；故选：ABC.【变式9-16】（多选题）（2024·高二·四川成都·期末）已知曲线，直线，点A为曲线C上的动点，则下列说法正确的是（    ）A．直线l恒过定点B．当时，直线l被曲线C截得的弦长为C．若直线l与曲线C有两个交点，则m的范围为D．当时，点A到直线l距离的最小值为【答案】BC【解析】A选项，直线变形为，令，解得，故直线过定点，A错误；B选项，当时，直线，两边平方得，为以2,0为圆心，2为半径的上半圆，半圆与直线相交，如图所示，圆心到直线的距离为，弦长为，B正确；C选项，由B选项可知，当时，有两个交点，当时，仅有一个交点，当直线与曲线相切时，点到直线的距离为2，故，解得（舍）或，所以m的范围为，C正确；D选项，当时，直线，如图所示，由图可知，当A为原点时距离最小，且最小值为，D错误.故选：BC．模块三：数学思想方法①分类讨论思想【典例10-1】（2024·天津市市辖区·其他类型）过点引直线，使，到它的距离相等，则这条直线的方程是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D 【解析】由题意得，线段AB的中点为分两种情况讨论：①过且与直线AB平行的直线满足题意，其方程为，整理得②过点与线段AB的中点的直线满足题意，其方程为，整理得故满足条件的直线方程是或，故选【典例10-2】（2024·四川省绵阳市·单元测试）已知直线与直线垂直，则实数a的值为（    ）A．0 B．0或6 C．或2 D．【答案】B 【解析】直线与直线垂直，①时，它们的斜率之积等于，可得，解得②时，直线和垂直，符合题意，或6，故答案选：【变式10-1】（2024·重庆市市辖区·月考试卷）在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数a，点A关于直线的对称点仍在上，点M，N的坐标分别为，，若上存在点P，使，则正数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C 【解析】直线化为：，令，解得，直线经过定点由是上一点，对任意实数a，点A关于直线的对称点仍在上，的圆心为，点M，N的坐标分别为，，上存在点P，使，则点P在以原点O为圆心，为半径的圆上，若两圆外切，则解得若两圆内切，则，解得故选：【变式10-2】古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元前公元前190年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为（    ）A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．1或5【答案】D 【解析】设，由，得，整理得，又点P是圆C：上有且仅有的一点，所以两圆相切．圆的圆心坐标为，半径为2，圆C：的圆心坐标为，半径为 r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得，故选【变式10-3】（2024·广东省肇庆市·单元测试）如已知点，直线将三角形ABC分割成面积相等的两个部分，则b的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A 【解析】由题意可得，三角形ABC的面积为，由于直线与x轴的交点为，由直线将分割为面积相等的两部分，可得，故，故点M在射线OA上．设直线和BC的交点为N，则由，可得点N的坐标为①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线，求得②若点M在点O和点A之间，此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即 ，可得，求得 ，故有③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，的面积等于，即，即，化简可得由于此时，， ．两边开方可得，，化简可得 ，故有综上，可得b的取值范围应是 ，故选【变式10-4】（2024·江苏省南通市·同步练习）“曼哈顿距离”是赫尔曼．闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：若点，点Q为圆C：上一动点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D 【解析】设Q为，，①当，即，，由范围可得的最大值为1，此时的最大值为；②当，即，，，由范围可得，的最小值为，此时的最大值为，综上所述，的最大值为，故选②转化与化归思想【典例11-1】（2024·山东省菏泽市·单元测试）圆P：关于直线对称的圆Q的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A 【解析】圆P：的圆心为，设其关于直线的对称点为，则，解得1000，故圆Q的方程是故选【典例11-2】（2024·全国·其他类型）在平面直角坐标系xOy 中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的取值范围是．（    ）A． B．C． D．【答案】B 【解析】设，，则，整理得，，解得舍去或，所以点P的轨迹方程为，若直线与相切时，，解得或，当曲线与圆有四个交点时，对应的k满足题意，当时，如图所示，二者一个交点，存在一个点P，不符合题意，当时，如下图所示，此时二者有三个交点，存在三个点P，不符合题意，当时，如图所示，二者有两个交点，存在两个点P，不符合题意，当时，如图所示，二者没有交点，不存在点P满足题意，当时，二者有四个交点，存在四个点P，满足题意，综上，故选：【变式11-1】（2024·广东省·模拟题）过直线上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A 【解析】因为圆C的半径为，所以当时，最小，因为圆C的圆心为，所以，所以的最小值为【变式11-2】（2024·天津市·阶段练习）圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C 【解析】因为圆心到直线的距离为，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个，故选【变式11-3】（2024·北京市市辖区·期中考试）过直线上一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（    ）A． B． C．3 D．【答案】B 【解析】圆C：的圆心，半径，由于，，，可得四边形PACB的面积为，又，要求四边形PACB的面积的最小值，只需求的最小值，即求的最小值．而的最小值为C到直线的距离由点到直线的距离公式可得，所以的最小值为，则四边形PACB的面积的最小值为故选：【变式11-4】（2024·湖北省黄石市·单元测试）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程等于 A． B．6 C． D．【答案】A 【解析】作出点P关于直线OB的对称点C，作出点P关于直线AB的对称点D，则N，M，D三点共线，N，M，C三点共线，即N，M，D，C四点共线，得，易得，，直线 AB的方程是，设，则得，即，故选③数形结合思想【典例12-1】（2024·安徽省淮南市·月考试卷）已知点，，若直线l：与线段AB相交，则k的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B 【解析】，，直线l：，直线l过定点，由图象可知，k的取值范围是而所以k的取值范围是故选【典例12-2】（2024·安徽省·单元测试）过作圆的弦，其中弦长为整数的弦共有（    ）A．74条 B．72条 C．37条 D．36条【答案】B 【解析】根据题意，圆即，则圆心为，半径，设其圆心为M，则，过最短的弦为过点A且与MA垂直的弦，其长度为，有1条；又由过最长的弦为过点A的直径，其长度为50，有1条；则弦长在之间且为整数的弦有条，则弦长为整数的弦有72条．故选：【变式12-1】（2024·江苏省淮安市·月考试卷）直线l的倾斜角为，点在直线l上，直线l绕点按逆时针方向旋转后到达直线的位置，此时直线与平行，且是线段AB的垂直平分线，其中，，则m等于（    ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】直线l的倾斜角为，点在直线l上，直线l绕点按逆时针方向旋转后到达直线的位置，直线的倾斜角为，则直线的斜率，当时，直线AB的斜率不存在，此时的斜率为0，不满足；当时，由，，则直线AB的斜率，线段AB的垂直平分线的斜率为，直线与平行，，即，解得故选【变式12-2】（2024·浙江省温州市·同步练习）设点，，若点在线段AB上，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．以上都不对【答案】A 【解析】如图，取点，则的取值范围等价于直线PQ的斜率k的取值范围，因为点，，点在线段AB上，则直线PQ的斜率满足：或，又，，所以或，即的取值范围为故选【变式12-3】（2024·湖北省黄石市·单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点Q为x轴上一点，，且，若点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C 【解析】由题意可得圆是关于P，Q的阿波罗尼斯圆，且，则，设点Q的坐标为，则，整理得，，由已知该圆的方程为，则，解得，点Q的坐标为，，由图象可知，当点M位于或时取得最小值，且最小值为故选：【变式12-4】（2024·江苏省南通市·同步练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）A． B．5 C． D．【答案】A 【解析】如图所示，设将军在河边D处饮马，连接AD，BD，则“将军饮马”的总路程为设点关于直线的对称点为，则，解得，，即连接DC，AC，则，所以，所以“将军饮马”的最短总路程为故选：【变式12-5】（2024·浙江省·期中考试）已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（    ）A．5 B．6 C． D．【答案】C 【解析】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以 m的最小值为点与点之间的距离，即此时点P为与的交点．故选