高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程同步测试题，共13页。试卷主要包含了直线始终平分圆，则的最小值为，方程表示的曲线是，已知圆M，下列说法中，正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线经过两直线和的交点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】联立，解得，
将点代入到直线，得，故.
故选：C.
2．已知两直线和，若，则（ ）
A．B．8C．D．2
【答案】A
【解析】由题可知，
.
故选：A.
3．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，而，
故直线的取值范围为，
故选：A.
4．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为线分别与轴，轴交于两点，
所以，所以，
由，可得圆的圆心为，半径为，
因为点在圆上，所以圆心到直线的距离为，
故到直线的距离的范围为，
则.
故选：A.
5．直线始终平分圆，则的最小值为（ ）
A．B．20C．D．5
【答案】B
【解析】圆的圆心为，
由直线始终平分圆，得，则，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为20.
故选：B
6．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点 关于直线 的对称点 ，
则 的中点为 ， ，
故 ，解得 ，
要使从点 到军营总路程最短， 即为点 到军营最短的距离，
由点与圆上点的距离的最小值为点与圆心距离减去半径知，
“将军饮马”的最短总路程为 ，
故选 ：B
7．方程表示的曲线是（ ）
A．两个圆B．一个圆和一条直线
C．一个半圆D．两个半圆
【答案】D
【解析】方程可化为，
因为，
所以或，
若时，则方程为,是以为圆心，以1为半径的左半圆；
若时，则方程为，是以为圆心，以1为半径的右半圆;
总之，方程表示的曲线是以为圆心，以1为半径的右半圆与以为圆心，以1为半径的左半圆合起来的图形.
故选：D
8．已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（ ）
A．2B．C．2D．
【答案】B
【解析】圆M的方程可化为，
所以x轴与圆M相离.
又，且和均为直角三角形，
，为圆的半径，且，
所以面积的最小值转化为求最小，
当垂直于x轴时，四边形面积取得最小值，
此时，所以四边形面积最小值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若三条直线不能围成一个三角形，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ACD
【解析】当三条直线交于一点时不能围成三角形：由，
解得和的交点的坐标为，
由在上可得，解得，
因为与的相交，所以当三条直线有两条直线平行时不能围成三角形，
当时，，解得，
当时，，解得，
显然与不可能重合.
综上，或或，这三条直线不能围成三角形，
∴实数的取值可以是或或.
故答案为：ACD.
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距是1
B．当m变化时，圆恒过定点有且只有一个
C．过，两点（，）的所有直线的方程为
D．直线关于点对称的直线方程是
【答案】CD
【解析】对A：直线中，令得，所以直线在轴上的截距为，故A错误；
对B：令得：或，所以当变化时，圆恒过定点和，故B错误；
对C：根据直线两点式方程的概念知，C正确；
对D：设点关于点的对称点为，则，
由点在直线上，得，故D正确.
故选：CD
11．已知圆与圆交于两点，P是圆上的一动点，则（ ）
A．直线的方程是B．线段中垂线方程为
C．线段的长度是D．点P到直线的距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由，
所以直线的方程是，故A正确；
对于B，因为直线的方程是，
所以线段中垂线方程可设为，圆化为标准式为，
所以由圆的对称性可知线段中垂线过圆心，故，
所以线段中垂线方程为，故B正确；
对于C，圆心到直线的距离是，
又圆，故圆半径为，
所以线段的长度是，故C错误；
对于D，圆化为标准式得，
所以圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离是，
所以圆上的点P到到直线的距离的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知点在圆上，点，当最小时， .
【答案】
【解析】设圆的圆心为，半径为4，
如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接，
则，，而，
由勾股定理得，
所以当最小时，.
故答案为：.
13．是函数图象上任意一点，过向直线和轴分别作垂线，垂足分别为，则 .
【答案】
【解析】设，，则，即，解得，
所以，，则，，
所以．
故答案为：
14．若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ．
【答案】
【解析】由题意可设经过点的圆的方程为，
整理得，则圆心为．
圆①，圆②，
由①-②得，，即直线的方程为．
因为为直径，圆心在直线上，所以，解得，
故以为直径的圆的方程为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知直线：及圆：.
(1)若直线与圆相切，求的值；
(2)若直线与圆相交于，两点，且弦AB的长为，求的值.
【解析】（1）圆心，半径为，
由题意得：，解得或.
（2）如图：
设点到直线的距离为，利用勾股定理得：，
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
16．（15分）
已知直线.
(1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由；
(2)求原点到直线距离的最大值；
(3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程.
【解析】（1）直线可化为，
令，解得，，即直线恒过定点；
（2）当时，原点到直线的距离最大，此时最大值；
（3）设直线的方程为，，
因为直线过定点，所以，
由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得，
故面积，即面积的最小值为4，
此时直线方程为，即．
17．（15分）
已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上．
(1)求公共弦AB的长度；
(2)求圆E的方程；
(3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．
【解析】（1）圆，所以圆的圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
公共弦；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心，
由题意得，，即，到的距离，
所以的半径，
所以圆的方程：；
（3）
当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，
所以，四边形的面积；
当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，
设直线为：，
则直线为：，
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，
，，
设，
当或1时，正好是轴及垂直轴，
面积，
当时，最大且，或1时，最小，
四边形面积的最大值17，最小值．
18．（17分）
已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________
①过点；
②圆恒被直线平分；
③与轴相切.
(1)求圆的为程；
(2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
【解析】（1）选条件①．设圆的方程为，
将，代入可得
，解得，
则圆的方程为．
选条件②．
直线恒过点．
因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为，即．
选条件③．
设圆的方程为，
由题意可得，解得，
则圆的方程为，即．
（2）设，，
因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
所以的轨迹方程为．
19．（17分）
蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆的方程为，直线与圆M交于，，直线与圆交于，．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点．
(1)当，，，时，分别求线段和的长度；
(2)①求证：．
②猜想OP和OQ的大小关系，并证明．
【解析】（1）当，，，时，
圆：，
直线：，由或，故，；
直线：，由或，故，.
所以直线:，令得，即；
直线:，令得，即.
所以：.
（2）①由题意：.
由，
则，是该方程的两个解，由韦达定理得：，
所以.
同理可得：，所以.
②猜测，证明如下：
设点，.
因为三点共线，所以：，
又因为点在直线上，所以；点在直线上，所以.
所以；
同理因为三点共线，可得：.
由①可知：，
所以.
即，所以成立.