人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精练，共34页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc185256973" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc185256973 \h 2
\l "_Tc185256974" 题型一：等比数列前n项和的有关计算 PAGEREF _Tc185256974 \h 2
\l "_Tc185256975" 题型二：等比数列前n项和在几何中的应用 PAGEREF _Tc185256975 \h 3
\l "_Tc185256976" 题型三：等比数列前n项和的性质 PAGEREF _Tc185256976 \h 5
\l "_Tc185256977" 题型四：递推公式在实际问题中的应用 PAGEREF _Tc185256977 \h 6
\l "_Tc185256978" 题型五：利用错位相减法求数列的前项和 PAGEREF _Tc185256978 \h 9
\l "_Tc185256979" 题型六：等比数列前n项和公式的实际应用 PAGEREF _Tc185256979 \h 11
\l "_Tc185256980" 题型七：等比数列中与的关系 PAGEREF _Tc185256980 \h 12
\l "_Tc185256981" 题型八：等比数列片段和的性质 PAGEREF _Tc185256981 \h 16
\l "_Tc185256982" 题型九：等比数列的奇数项与偶数项和 PAGEREF _Tc185256982 \h 17
\l "_Tc185256983" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc185256983 \h 19
\l "_Tc185256984" 【高考真题】 PAGEREF _Tc185256984 \h 30
【题型归纳】
题型一：等比数列前n项和的有关计算
1．（2024·高二·上海·随堂练习）已知等比数列满足，，若的前n项和，则 ．
【答案】5
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，
所以.
因为，所以，
所以，解得，
故答案为：5.
2．（2024·高二·上海·随堂练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则 ．
【答案】255
【解析】设等比数列的首项为，公比为，则显然，
因为，
所以，解得，
由，得，
所以.
故答案为：255.
3．（2024·高二·江西景德镇·期末）记为等比数列的前项和，若，则公比为 .
【答案】/-0.5
【解析】由，可得，
即，
故答案为：
4．（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）已知等比数列满足，，则其前项和 .
【答案】
【解析】设公比为，则，
则，解得，
.
故答案为：
题型二：等比数列前n项和在几何中的应用
5．（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和 .
【答案】
【解析】设第个正方形的边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，得出与满足的递推公式，可知数列为等比数列，并求出关于的表达式，可得出数列也为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用比数列的和可求出结果.设依次所作的第个正方形的边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，
则第个等腰直角三角形的腰长为，且.
第个正方形的边长为，
，，
，
且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以、、、、、…等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①、、、…、所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格.现有、、、…、纸各一张.若纸的宽度为，则纸的长度为 ；、、…、八张纸的面积之和等于 .
【答案】 8
【解析】可设的纸张的长度为，面积为，
的长度为，所以数列是以为公比的等比数列，
纸的宽度为，则，纸的长度为
所以纸的长度为
所以，纸的面积为，
又，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，这8张纸的面积之和等于.
故答案为：；.
7．（2024·安徽·高考真题）如图，在等腰直角三角形中，斜边 ，过点作 的垂线，垂足为；过点 作的垂线，垂足为 ；过点作 的垂线，垂足为；…，以此类推，设 ，，…， ，则 .
【答案】
【解析】，，，，，，，所以．
题型三：等比数列前n项和的性质
8．（2024·高二·山东烟台·期末）已知等比数列的前项和，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】时，，
又，数列等比数列，
∴，即，解得．
故选：D．
9．（2024·高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】等比数列的前项和为，，
当时，可得，可得，
当时，，则
因为为等比数列，所以，解得
故选：．
10．（2024·高二·福建泉州·阶段练习）在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A．B．60C．80D．160
【答案】C
【解析】在等比数列中，由公比，
可得构成公比为的等比数列，
设，则，
因为数列的前87项和，
所以，解得，所以.
故选：C.
题型四：递推公式在实际问题中的应用
11．（2024·高二·江苏淮安·期末）“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（ ）
A．63B．64C．127D．128
【答案】A
【解析】设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为，
由题意可得第次向外作的正方形面积和与第次向外作的正方形面积和相等，
即每次向外作的正方形面积和为，而，
故向外作了5次正方形
又，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，
则，
所以“勾股树”上所有正方形的个数为.
故选：A.
12．（2024·高二·山东青岛·期末）在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为10的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，10，．
(1)求，
(2)求数列中，，的递推关系
(3)记Sn是数列的前项和，证明：为定值．
【解析】（1）由题意知，长为3的序列中任何两个不相邻的序列为：，所以.
设长为的序列中任何两个不相邻的序列有个，考虑最后一个数：
若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个；
若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，满足要求的序列有个，
所以；
（2）考虑长度为的序列最后一个数：
若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个；
若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，则满足要求的序列有个，
所以；
（3）由（2）知，，所以，
所以，
所以数列是常数列，
所以为定值.
13．（2024·高二·湖北·阶段练习）京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米．
(1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系；
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数；
(3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据：，，，）
【解析】（1）（万立方米），
又即.
（2）若存在实数，使得数列为等比数列，
则存在非零常数，使得，整理得到，
而，故即.
当，则，
而，故即，
故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列.
（3）由（2）可得是首项为，公比为的等比数列，
故即，此时为递增数列.
令，则，
当时，，
当时，，
故至少到年才能达到公司速生林木保有量的规划要求.
14．（2024·高二·甘肃白银·期末）某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．
(1)用表示，并求使数列是等比数列的实数．
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，经过次技术更新后，，
则，
即．
设，则，
令，解得．
又，
所以当时，是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，则，．
所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为．
对于任意，所以，
即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上．
题型五：利用错位相减法求数列的前项和
15．（2024·高二·山东·期中）记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】（1）由题意，
所以，当时，，
两式作差得，
所以，则数列为常数数列，
且，所以；
（2），
所以，①
②
①-②得
所以
16．（2024·高二·四川成都·期末）已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）由，，令得，解得，
设的公差为，
因为，所以，
所以，
故的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以①，
②，
①②得，
化简得，
所以．
17．（2024·高二·宁夏吴忠·期末）已知递增的等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）设等比数列公比为，
由题意有，解得，
所以．
（2），
所以，
，
．
题型六：等比数列前n项和公式的实际应用
18．（2024·高二·广东深圳·期末）一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 .
【答案】/
【解析】依题意可得，第3次着地时，乒乓球经过的总路程为.
故答案为：
19．（2024·高三·辽宁大连·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 .
（参考数据：）
【答案】5
【解析】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为，
第次操作，去掉的线段长度为，
，则，
由的最大值为5.
故答案为：5
20．（2024·高二·浙江·阶段练习）某牧场2015年初牛的存栏数为1200头，以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出90头牛，那么在2024年初牛的存栏数是多少 .（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】1434
【解析】记2015年为第一年，2015年初牛的存栏数为，则2024年为第10年，2024年初牛的存栏数为，
而第年初牛的存栏数，
设，则，解得，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
.
故答案为：1434.
题型七：等比数列中与的关系
21．（2024·高三·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）由，则当时
两式相减得，所以.
将代入得，，
所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）.
，
因为当时，当时，
所以当时，，
当时，.
故.
22．（2024·高三·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）当时，，解得.
当时，，相减得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，验证时成立，
故；
（2），，
故.
，
两式相减可得：
，
所以，.
令，，，
故，且，，，
是从第二项开始单调递减数列，.
故.
23．（2024·高三·江苏宿迁·阶段练习）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，求证：．
【解析】（1）当时，，两式相减得，，
又，，．
所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以．
（2）证明：，
因为，
所以
，
因为，所以．
24．（2024·高三·福建福州·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】（1）法一：由，得
设等比数列的公比为q，
所以
解得或（舍去）．
所以．
法二：因为，①
所以当时，，②
①－②得，
所以等比数列的公比．
由①式得，得，
所以．
（2）法一：，
故，，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以．
法二：
．
25．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求证数列的前项和．
【解析】（1）因为
所以，当时，，，
两式相减可得，即，又所以，
所以可得，，
又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）因为题（1）中是以1为首项，3为公比的等比数列.
所以继而可得，
所以，，
所以，
所以，
又可得，所以，
所以
题型八：等比数列片段和的性质
26．（2024·高三·江西赣州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，，，则 ．
【答案】
【解析】由于，故.
从而，即，故.
所以.
故答案为：.
27．（2024·高三·全国·专题练习）若等比数列的前项和为，且，则 .
【答案】511
【解析】因为等比数列中成等比数列，
所以成等比数列，所以，
即，解得.
故答案为：511
28．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列中，若前10项的和是10，前项的和是，则前项的和是 ．
【答案】
【解析】等比数列的前项和为，而，则成等比数列，
因此，即，所以.
故答案为：
29．（2024·高二·甘肃张掖·阶段练习）设等比数列的前项和为，则 .
【答案】1
【解析】设等比数列的公比为，
由可知，
因为，，
所以，且，解得，
故答案为：1
30．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，且，则 ．
【答案】42
【解析】由等比数列满足，可得等比数列的公比，
根据等比数列的性质，可得也为等比数列，
即，可得，解得．
故答案为：.
题型九：等比数列的奇数项与偶数项和
31．（2024·高三·全国·专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为
【答案】10
【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数.设等比数列项数为项，公比为，则，，
由，
解得，因为是公比为的等比数列，则 ，
即，解得，
故答案为:10.
32．（2024·高三·河北邢台·阶段练习）已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，①
所以当时，，
又，所以.
当时，，②
①式减去②式得，所以.
又，，所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.
设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，
所以，即的通项公式为.
（2）因为，设数列的前项和为，
则，
，
因此，.
33．（2024·高三·广东深圳·阶段练习）已知数列满足，
(1)记，写出，，并证明数列为等比数列；
(2)求的前项和．
【解析】（1）显然为偶数，则，．
所以，即．
且．
所以是以5为首项，2为公比的等比数列，
于是，，．
（2）记，则
从而数列的前项和为：
34．（2024·湖南湘西·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前20项和．
【解析】（1）当时，，
∴，
∴等比数列的公比.
当时，由得，即，解得，
∴.
（2）由题意得，当为奇数时，，
当为偶数时，，
∴，
，
∴
.
【重难点集训】
1．已知数列是首项大于的等比数列，记的公比为，前项和为. 设命题甲：；命题乙：对任意的，恒成立，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】．
当时，，可知．
所以“”是“对任意的，”的充分条件．
又当时，．
若n为偶数，则；
若n为奇数，则．所以，当时，对任意的，恒成立．
综上，“”是“对任意的，恒成立”的充分不必要条件，
故选：A．
2．已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （ ）
A．949B．1160C．1276D．2261
【答案】A
【解析】由题意：，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以.
所以，
.
所以.
故选：A.
3．已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不妨取，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
所以，，
整理可得，解得.
故选：C.
4．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，，
，
，
，
，
由等比数列的前项和公式，得，
所以的通项公式.
故选：A
5．若等比数列满足，则（ ）
A．B．1012C．D．1013
【答案】A
【解析】等比数列满足，则，
所以，对任意的的正整数，
，
令，
则，
故.
故选：A.
6．数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为①，
当时，②，由①②得，
又，满足，所以，
由，得到，
所以，
故选：C.
7．在数列中，已知，则的前10项和为（ ）
A．2040B．2046
C．4040D．4046
【答案】B
【解析】因为，所以，
，，
，，
则的前10项和为.
故选：B.
8．为等比数列的前n项和，已知，，且公比，若存在常数，使得数列是等比数列，则的值为（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】D
【解析】因为，又，
所以，又，
所以，
，解得：，
所以，
假设存在常数，使得数列为等比数列，
则，即，解得：，
此时，，即数列是等比数列，
所以存在，使得数列为等比数列.
故选：D
9．（多选题）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．中存在连续三项成等差数列
C．中存在连续三项成等比数列D．数列的前项和
【答案】ABD
【解析】数列中，由，得，
则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即，
对于A，，A正确；
对于B，，，即成等差数列，B正确；
对于C，假定连续三项成等比数列，则，
整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误；
对于D，，则，
两式相减得，
因此，D正确.
故选：ABD
10．（多选题）已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（ ）
A．是等比数列B．是等差数列
C．D．存在实数，使得为等比数列
【答案】AC
【解析】，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
，所以，故C正确；
，
，，所以数列是等比数列，故B错误；
因为，所以，
设，
，，，
若是等比数列，则，
即
解得：，
所以，
，，所以数列不是等比数列，
即不存在实数，使数列是等比数列，故D错误.
故选：AC
11．（多选题）已知数列满足，且，则下列正确的有（ ）
A．
B．数列的前项和为
C．数列的前项和为
D．若数列的前项和为，则
【答案】ACD
【解析】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等差数列，
故，即，则，故A正确；
对B，，故数列的前项和为，故B错误；
对C，，则前项和为
，故C正确；
对D，，
则，
又易得随的增大而增大，故，即，故D正确.
故选：ACD
12．（多选题）已知数列的首项为1，前和为，且，则（ ）
A．数列是等比数列B．是等比数列
C．D．数列的前项和为
【答案】BD
【解析】因为①，
所以，
当时，②，
由①②得，即，
又，
所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误；
对于C；当时，，所以，故C错误；
对于B，当时，，
当时，，符合上式
所以，
则，所以数列是等比数列，故B正确；
对于D，由C选项知，
所以数列的前项和为，故D正确.
故选：BD.
13．已知数列满足，且，，其前项和为，若对任意的正整数，恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由已知，
则，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则，，，
所以，
则，
则，
又恒成立，
即，
即，，
又，，单调递减，
则当时，取得最大值为，
即，，
即，
故答案为：.
14．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； .
【答案】 574
【解析】因为，，
则，且，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，即，
可得
，
所以.
故答案为：；.
15．已知数列满足，，则该数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
则，，…
，，
累加得
，
又因为，所以．
也满足该式，故
故答案为：.
16．已知为等差数列的前项和，且，
(1)求的通项公式；
(2)若是等比数列，且，，求的前项和
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则，得，
所以；
（2）设等比数列的首项为，公比为，
所以，所以，，
所以，
所以.
17．已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为；
(3)若对任意恒成立．求实数的取值范围．
【解析】（1）由，则，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，
所以.
（2）由，则，
所以，
所以.
（3）由（1）（2），则，整理得恒成立，
令，则，
当时，当时，当时，
所以，即的最小值为，
综上，.
18．已知数列，，，为数列的前项和，且.
(1)令.
（i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（ii） 求数列的前项和；
(2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）（i）时，
，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
故，故；
（ii）当时，，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则.
所以，，
，①
，②
①②得，
因此，.
（2）因为，
所以，
，
，恒成立，即，
所以，，
令，则，
由，即，解得，
因为，所以，，
故数列中，最大，所以，，
因此，实数的取值范围是.
19．已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）等比数列各项均为正数，可设其公比为，
，解得：（舍）或，
.
（2）由（1）得：，
，，
两式作差得：，
，
由得：，
为递减数列，，，
即实数的取值范围为.
【高考真题】
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【解析】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
3．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【解析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【解析】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
5．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解析】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．