人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列练习题，共23页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc185254391" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc185254391 \h 2
\l "_Tc185254392" 题型一：等比数列的判断 PAGEREF _Tc185254392 \h 2
\l "_Tc185254393" 题型二：等比数列的通项公式及其应用 PAGEREF _Tc185254393 \h 3
\l "_Tc185254394" 题型三：等比数列的证明 PAGEREF _Tc185254394 \h 5
\l "_Tc185254395" 题型四：等比中项及应用 PAGEREF _Tc185254395 \h 6
\l "_Tc185254396" 题型五：等比数列的实际应用 PAGEREF _Tc185254396 \h 7
\l "_Tc185254397" 题型六：等比数列通项公式的推广及应用 PAGEREF _Tc185254397 \h 8
\l "_Tc185254398" 题型七：等比数列性质的应用 PAGEREF _Tc185254398 \h 10
\l "_Tc185254399" 题型八：灵活设元求解等比数列问题 PAGEREF _Tc185254399 \h 11
\l "_Tc185254400" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc185254400 \h 12
\l "_Tc185254401" 【高考真题】 PAGEREF _Tc185254401 \h 20
【题型归纳】
题型一：等比数列的判断
1．（2024·高二·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误；
对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误；
对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误；
对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；
故选：D
2．（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（ ）
A．数列一定是等比数列B．数列一定是等比数列
C．数列一定是等差数列D．数列一定是等比数列
【答案】D
【解析】因为数列是等差数列，设其通项公式为，
所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确;
因为数列为等比数列，设其通项公式为，
所以是定值，
所以数列一定是等比数列，选项正确;
因为，所以，
所以数列一定是等差数列，选项正确;
当时，，则不是等比数列，选项错误，
故选:.
3．（2024·高二·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设的公比为，的公比为，
对于A，令，则，
显然不是等比数列；
对于B，，故是等比数列；
对于C，，故是等比数列；
对于D，，故是等比数列.
故选：A.
4．（2024·高三·山东济宁·开学考试）“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若数列都是等比数列，设其公比分别为为常数)，
则，
所以当时，，为常数，
由等比数列的定义知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故充分性成立；
若数列是等比数列，设，
当，时，满足，
但都不是等比数列，故必要性不成立.
所以“数列、都是等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.
故选：A
题型二：等比数列的通项公式及其应用
5．（2024·高二·全国·课后作业）已知，是等比数列图象上的两点，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，，∴，∴，
∴．
故答案为：
6．（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中，
(1)已知，求
(2)已知，求.
【解析】（1）设公比为，则，所以，
解得，由，
所以可知或；
（2）设公比为q，由题意得：，
两式相除得：，所以，
又因为，所以，
解得.
7．（2024·高二·全国·课前预习）在等比数列中：
(1)若，，求和；
(2)若，，求．
【解析】（1）因为，则，解得，
当时，；
当时，．
综上所述：或.
（2）因为，则，即．
又因为，则，即．
两式相除得，所以．
题型三：等比数列的证明
8．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，．
(1)求，并猜想的通项公式（不需证明）；
(2)证明：数列是等比数列．
【解析】（1）由得．
结合可猜想数列的通项公式为．
（2）因为，
所以为正项递增数列，所以，
所以，
故数列是等比数列．
9．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数.
(1)证明：对任意实数，数列不是等比数列；
(2)试判断数列是否为等比数列.
【解析】（1）∵且，∴，．
假设存在一个实数，使数列是等比数列，
则，即，即，得，矛盾．
故对任意实数，数列不是等比数列．
（2）∵，
∴，
∵，
∴当时，，此时数列不是等比数列；
当时，，此时，数列是等比数列．
10．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列.
【解析】由，，可得．
因为，，所以，，
所以是首项为1，公比为3的等比数列．
题型四：等比中项及应用
11．（2024·高二·四川绵阳·期中）已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（ ）
A．或B．3或C．D．9或
【答案】B
【解析】不妨设这三个数分别为，且，
三个数的乘积为，
由三个数的平方和为91，
所以，解得，或，
又，所以，或，
故选：B
12．（2024·高二·福建厦门·期末）已知等比数列满足，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解析】因为数列是等比数列，所以，
所以或，因为，，
所以.
故选：C.
13．（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知，，以下结论中错误的是（ ）
A．若三个数成等差数列，则
B．若五个数成等差数列，则
C．若三个数成等比数列，则
D．若三个数成等比数列，则
【答案】C
【解析】对于A，若三个数成等差数列，则，故A不符合题意；
对于B，若五个数成等差数列，则，
且当时，即成等差数列，故B不符合题意；
对于CD，若三个数成等比数列，则，即，故C符合题意，D不符合题意.
故选：C.
题型五：等比数列的实际应用
14．（2024·高二·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（ ）
A．第一种B．第二种C．第三种D．无法判断
【答案】C
【解析】第一种可以领取报酬元；
第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列，
则第二种可以领取报酬元；
第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列，
则第三种可以领取报酬元，
因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬．
故选：C．
15．（2024·高二·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设小明每个月所要还款的钱数为元，
根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：，
第二个月末所欠银行贷款数为：；
．．．，
第12个月末所欠银行贷款为：
；
由于分12次还清所有的欠款，所以，
解得.
故选：D．
16．（2024·高二·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（ ）
A．2200元B．1600元C．2400元D．3600元
【答案】B
【解析】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低，
所以6年后，价格降低为（元），
故选：B
题型六：等比数列通项公式的推广及应用
17．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列{an}中，公比q＝2，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，，则且q＝2，则，
而.
故选：B
18．（2024·高二·浙江·期末）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，
当公差时，如下图所示，
如图可知当时，，，，.
故选：D
19．（2024·高一·湖北·阶段练习）等比数列为递减数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【解析】，可得与为方程的两个根，又，解得，，再利用通项公式即可得出.∵等比数列为递减数列，，，
∴与为方程的两个根，
解得，或，，
∵，∴，，
∴，
则，
故选:A.
题型七：等比数列性质的应用
20．（2024·高二·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 .
【答案】
【解析】，可得，
所以，数列是公比为的等比数列，
因为，且，则，所以.
故答案为：.
21．（2024·高二·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 .
【答案】
【解析】由已知数列为等比数列，
则，
即，
所以，
又，所以，
故答案为：.
22．（2024·高二·贵州贵阳·竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为数列为正项等比数列，，
设，则，则，
由于是等比数列，所以也成等比数列，
因此
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
23．（2024·高二·河南周口·阶段练习）若等比数列满足，，则 ．
【答案】112
【解析】，故，解得，
故．
故答案为：112
24．（2024·高二·江苏扬州·期中）已知数列1，,9是等比数列，数列1, 9是等差数列，则=______．
．
【答案】
【解析】数列1,,9是等比数列，可得=1×9，
解得，
由于1，，9均为奇数项，可得，即，
数列1, 9是等差数列，可得,
则=．
故答案为．
25．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则 .
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
因为是与的等差中项，
所以，
所以，解得，
所以
故答案为：.
题型八：灵活设元求解等比数列问题
26．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求此四个数．
【解析】设前三个数为.
所以前三个数为
因为后三个数成等比数列，
所以，
所以或.
当时，不满足题意，所以舍去.
所以这四个数为.
27．（2024·高二·陕西延安·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为36，后三数成等比数列，其积为108.求这四个数.
【解析】设四个正数分别为a，b，c，d，根据等差数列和等比数列的性质可得，
解得，
所以这四个数分别为，12，，.
28．（2024·高二·全国·专题练习）已知三个数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，求这三个数．
【解析】不妨设这三个数分别为、、，则这三个数的乘积为，
这三个数的平方和为，整理可得，解得或.
若，则这三个数分别为、、；
若，则这三个数分别为、、；
若，则这三个数分别为、、；
若，则这三个数分别为、、.
综上，这三个数分别为、、或、、或、、或、、.
【重难点集训】
1．已知数列,均为正项等比数列，,分别为数列,的前项积，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】数列均为正项等比数列，设公比分别为；,分别为数列,的前项积，
，
,
则.
故选：A
2．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．5D．
【答案】B
【解析】由和可得，
故，
故选：B
3．等比数列中，已知，，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
【解析】因为数列是等比数列，
所以，，，成等比数列，
且公比为，所以．
故选：A
4．在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，
即，解得或（舍去）．
因为，所以，即，所以，
所以或或
所以的值为或或，所以的最小值为．
故选：A．
5．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”已知是“和差等比数列”，，，则满足使不等式的的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【解析】依题意，，化简得，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
令，即，又，则，
即，所以满足使不等式的的最小值是8.
故选：A.
6．高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（ ）
A．1010B．2024C．1012D．2020
【答案】C
【解析】根据可得，
所以；
由等比数列性质可得，
因此可得.
故选：C
7．数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
【答案】D
【解析】当时，取，则，显然不是严格增数列，
所以“”不能推出“数列是严格增数列”；
当数列是严格增数列时，设，
当时，是摆动数列，不符合要求，所以，
若，则，
若，则，
所以“数列是严格增数列”不能推出“”；
综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件，
故选：D.
8．已知数列，，，则（ ）
A．8B．16C．24D．64
【答案】D
【解析】因为，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以数列为等比数列，（），所以.
故选：D.
9．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列
B．若数列为等比数列，其公比，则数列是递减数列
C．若数列为等差数列，则数列为等比数列
D．若数列的前n项和为，且，则数列是等差数列
【答案】ACD
【解析】对于A，由，可得，故单调递增，正确；
对于B，取，此时，由于，此时数列是递增数列，错误；
对于C：等差数列公差为，由，为常数，故数列为等比数列，正确；
对于D：由，令，可得：，
可得：
即：，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，正确，
故选：ACD
10．（多选题）已知数列是等差数列，是等比数列，.（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【解析】设等差数列的公差为，
当时，，故A正确；
当公差时，是常数列，，但与不一定相等，故B不正确；
设等比数列的公比为，
若“”，则，故C正确；
当公比时，是常数列，，但与不一定相等，故D不正确.
故选：AC.
11．（多选题）已知等比数列中，，，则（ ）
A．公比为B．
C．当时，D．的前10项积为1
【答案】ABD
【解析】对于A项，设等比数列的公比为，
由，得，解得，故A正确；
对于B项，，则，故B正确；
对于C项，，当时，，则，故C错误；
对于D项，由，可得的前10项积为，故D正确．
故选：ABD.
12．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ．
【答案】 /
【解析】设级雪花曲线的边长为，则数列是首项为，公比为的等比数列，
故级雪花曲线的边长为；
设级雪花曲线的边数为，则数列是首项为，公比为的等比数列，
故级雪花曲线的边数为，则级雪花曲线的周长为，
故答案为：；．
13．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 .
【答案】
【解析】由，得，又，
故数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，
则不等式可化为，令，
当时，；当时，；
又，
则当时，，当时，，
所以，则，即实数的最小值为.
故答案为：.
14．已知数列满足，若，则的通项公式为 .
【答案】
【解析】当时，，因为，所以，
当时，，
则，即，，
所以是从以首项公比为3的等比数列，
则，
此时，令，，
所以，
故答案为：.
15．已知数列满足且成等比数列，
(1)求的通项公式：
(2)设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值．
【解析】（1）由知为等差数列，设的公差为，则，
成等比数列，所以，即，
解得，又，所以的通项公式为；
（2）由（1）得，
所以当时，取得最小值，最小值为
16．已知数列是递增的等比数列，并且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是数列的前n项和，证明：．
【解析】（1）设数列的公比为，
由，，得，两式相除，
得，即，
解得或（舍去），
所以，所以．
（2）证明：，
所以，
所以，
所以．
因为，所以，所以．
17．1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分．第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了．以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理．问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？
【解析】设最初的桃子数为，5只猴子分剩的桃子数依次为，
由题意得 ①，
设，
即，
对照①式，得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以，
所以，即．
由于为整数，所以的最小值为，
所以的最小值为．
即最初至少有3121个桃子，从而最后至少剩下（个）桃子．
18．已知数列的各项均为正实数，，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列满足，求数列的前项和的最小值.
【解析】（1）∵，∴，其中，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，，
∴，
∵，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴，数列为递增数列，
∴当时，有最小值，最小值为.
【高考真题】
1．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【解析】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
5．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【解析】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．