高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列随堂练习题，共23页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc184983470" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc184983470 \h 2
\l "_Tc184983471" 题型一：等差数列的判断 PAGEREF _Tc184983471 \h 2
\l "_Tc184983472" 题型二：等差数列的通项公式及其应用 PAGEREF _Tc184983472 \h 3
\l "_Tc184983473" 题型三：等差数列的证明 PAGEREF _Tc184983473 \h 5
\l "_Tc184983474" 题型四：等差中项及应用 PAGEREF _Tc184983474 \h 6
\l "_Tc184983475" 题型五：等差数列的实际应用 PAGEREF _Tc184983475 \h 7
\l "_Tc184983476" 题型六：的应用 PAGEREF _Tc184983476 \h 9
\l "_Tc184983477" 题型七：等差数列性质的应用 PAGEREF _Tc184983477 \h 10
\l "_Tc184983478" 题型八：等差数列中对称设项法的应用 PAGEREF _Tc184983478 \h 11
\l "_Tc184983479" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc184983479 \h 12
\l "_Tc184983480" 【高考真题】 PAGEREF _Tc184983480 \h 22
【题型归纳】
题型一：等差数列的判断
1．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则，
对于①，因，，则为常数，故是等差数列；
对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列；
对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列；
对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列.
即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个，
故选：C.
2．（2024·高二·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ）
A．B．
C．（为常数）D．
【答案】A
【解析】因为数列为等差数列，设公差为，可得，
对于A中，例如：等差数列，则，
此时数列不是等差数列，所以A符合题意；
对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列，
所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意；
对于C中，数列中，可得（常数），
所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意；
对于D中，数列中，可得，
所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意.
故选：A.
3．（2024·高二·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若等差数列通项公式为，此时，，，，
不为常数，所以不是等差数列；
不为常数，所以不是等差数列，
为常数，所以是等差数列，
不为常数，所以不是等差数列.
故选：B
4．（2024·高二·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】设的公差为，
对于①，，
是等差数列，故①正确；
对于②，，
是等差数列，故②正确；
对于③，，是等差数列，故③正确；
对于④，若，则不是等差数列，故④错误；
故选：C．
题型二：等差数列的通项公式及其应用
5．（2024·高二·全国·课前预习）已知等差数列1，，，，…，．
(1)求该数列的通项公式与项数；
(2)是不是该数列的项？如果是，是第几项？
【解析】（1）因为，，
所以．
由，得．
（2）由(1)知，，
令，得．
所以是该数列的项，是第项．
6．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中，
(1)已知，，求和d；
(2)已知，公差，，求n；
(3)已知，，求的通项公式．
【解析】（1）因为，所以公差．
由，所以，
故，．
（2）由，，公差，，得，
解得．
（3）由已知可得，解得
所以．
7．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，，，是关于项数n的一次函数．
(1)求的通项公式，并求；
(2)若是由组成的，试写出的一个通项公式．
【解析】（1）设，则，解得，∴，∴．
（2）∵为5，9，13，17，…，∴．
8．（2024·高二·新疆阿克苏·期末）已知数列满足.
(1)由递推关系写出数列的前五项；
(2)求数列的通项公式.
【解析】（1），，
，，，.
（2）由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
.
题型三：等差数列的证明
9．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足．证明：数列是等差数列；
【解析】证明：令，又，则有
，
因为，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列
10．（2024·高二·上海·课堂例题）已知数列的前n项和是n的二次函数，且，，.
(1)求的表达式；
(2)求数列的通项公式并证明数列是等差数列.
【解析】（1）设.
∵，，.
∴解得
∴.
（2）∵，当时，
.
当时，也成立.∴，
当时，，
从而.
所以数列是一个等差数列.
11．（2024·高二·江苏·阶段练习）数列的前项和为，且，当时，.
(1)计算：，；
(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；
【解析】（1）由，，
令，得，又，所以，
令，得，又；
（2）因为当时，，
所以，
所以数列为等差数列，首项为，公差为，
所以，
所以，
于是，当时，
，
当时，，满足上式，
故.
题型四：等差中项及应用
12．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）已知等差数列中，分别是方程的两个根，则 ．
【答案】2
【解析】由分别是方程的两个根，得，
因为是等差数列，
所以．
故答案为：2
13．（2024·高二·上海·期中）设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数）
【答案】/
【解析】由等差数列可知，
又为，，，，其中一数，
不妨设，，
又，，三数依序也成等差数列，
即，即，
所以，
化简可得，则，，
又，所以，即或，
当时，，，
当时，，，与题干矛盾，
综上所述，则.
故答案为：.
题型五：等差数列的实际应用
14．（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 .
【答案】65
【解析】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个；
当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个；
当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个；
当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个；
当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以.
故答案为：
15．（2024·高三·福建福州·开学考试）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个.
【答案】 ； .
【解析】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假，
所以有，
若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有，
此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为，
设共有项，所以有；
若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有，
此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为，
设共有项，所以有，
所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天，
故答案为：；
16．（2024·高二·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱．
【答案】
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，
则根据题意有，
解得，所以戊所得为.
故答案为：.
17．（2024·高三·山东临沂·阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ，这9节竹子的总容积为 .
【答案】 升 升
【解析】将自上而下各节竹子的容积分别记为，，…，，
依题意可得，，
即①，②，，得，解得，
把代入①，得，
故升.
题型六：的应用
18．（2024·全国·高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求公差．
【解析】（1）由题意得，解得，故．
所以．
（2）由，得，∴．
由，解得或，∴或．
所以公差为3或．
19．（2024·高二·上海·课后作业）在等差数列中，
(1)已知，，求，；
(2)已知，，求；
(3)已知，，求．
【解析】（1）在等差数列中，由，得：，解得，
所以.
（2）设等差数列的公差为，由，得：，解得，
所以.
（3）设等差数列的公差为，由，得：，解得，
所以.
20．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中,已知,,求.
【解析】设数列的公差为,由题意,得,解得.
故. 所以.
21．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）在等差数列中，已知，.
（1）求出首项与公差，并写出通项公式；
（2）中有多少项属于区间？
【解析】设等差数列的公差为d，
由，，
得，
解得，
.
（2）由，
得，
，
共三项.
题型七：等差数列性质的应用
22．（2024·高二·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（ ）
A．9B．16C．22D．25
【答案】C
【解析】因为，所以，
又，，
所以或或或或或或或或，
所以的值可能是，，，，.
故选：.
23．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得等差数列的前四项，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记减1的项为a，加1的项为b，
因为，可知变化的两项为1，4或2，3，
若，可得0，3，6，9，为等差数列，
此时首项为0，公差为3，所以；
若，可得2，3，6，7，不为等差数列；
若，可得1，2，7，8，不为等差数列；
若，可得1，4，5，8，不为等差数列；
综上所述：数列的通项公式为.
故选：D.
24．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列是等差数列，，，则过点，的直线斜率为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【解析】由数列是等差数列，知是关于n的“一次函数”，
其图象是一条直线上的等间隔的点，
因此过点，的直线斜率即过点，的直线斜率，
所以所求直线的斜率．
故选：A
25．（2024·高二·全国·课后作业）已知在等差数列中，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由题可得，解得，
故．
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
题型八：等差数列中对称设项法的应用
26．（2024·高二·全国·课后作业）已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
【解析】设四个数为,则
所以解得，，
此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
27．（2024·高二·陕西延安·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为36，后三数成等比数列，其积为108.求这四个数.
【解析】设四个正数分别为a，b，c，d，根据等差数列和等比数列的性质可得，
解得，
所以这四个数分别为，12，，.
28．（2024·高三·全国·专题练习）已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式.
【解析】法一：根据题意，设等差数列的前三项分别为，
则，即,解得或.
因为数列为单调递增数列，所以，从而等差数列的通项公式为.
方法二：由于数列为等差数列，因此可设前三项分别为，可得，即
，解得或.
因为数列为单调递增数列，所以,从而.
【重难点集训】
1．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（ ）
A．B．1012C．D．1013
【答案】A
【解析】因为等比数列满足，所以，
设,
,
,
所以，
,
.
故选：A.
2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知等差数列，则是成立的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】当时，由等差数列下标和性质得显然成立，故充分性成立，设首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立，无法推出，可得必要性不成立，即则是成立的充分不必要条件.
故选:B
3．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【解析】因为，整理得，且，
可知是以首项为3，公差为1的等差数列，
所以，可得，
当时，可得，
且符合上式，所以，
则，
解得，即的最大值为8．
故选：B．
4．（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（ ）
A．命题①与②均为真命题
B．命题①为真命题，命题②为假命题
C．命题①为假命题，命题②为真命题
D．命题①与②均为假命题
【答案】A
【解析】由等差数列的通项公式，不妨设.
①“对任意正整数，都有成立”即d