高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念同步训练题，共25页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc184894568" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc184894568 \h 2
\l "_Tc184894569" 题型一：数列的有关概念和分类 PAGEREF _Tc184894569 \h 2
\l "_Tc184894570" 题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 PAGEREF _Tc184894570 \h 3
\l "_Tc184894571" 题型三：数列通项公式的简单应用 PAGEREF _Tc184894571 \h 6
\l "_Tc184894572" 题型四：递推公式的应用 PAGEREF _Tc184894572 \h 7
\l "_Tc184894573" 题型五：前项和公式与通项的关系 PAGEREF _Tc184894573 \h 9
\l "_Tc184894574" 题型六：数列单调性的判断 PAGEREF _Tc184894574 \h 11
\l "_Tc184894575" 题型七：求数列的最大项与最小项 PAGEREF _Tc184894575 \h 13
\l "_Tc184894576" 题型八：周期数列 PAGEREF _Tc184894576 \h 14
\l "_Tc184894577" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc184894577 \h 15
\l "_Tc184894578" 【高考真题】 PAGEREF _Tc184894578 \h 23
【题型归纳】
题型一：数列的有关概念和分类
1．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列
C．数列的第k项为
D．数列0，2，4，6，可记为
【答案】C
【解析】对A，数列可为常数数列，A错误；
对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误；
对C，当时，，C正确；
对D，数列中的第一项不能用表示，D错误.
故选：C
2．（2024·高二·辽宁朝阳·阶段练习）已知，则数列是（ ）
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．不确定
【答案】A
【解析】由题意可知，
即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列；
故选：A
3．（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）下列叙述正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．数列的一个通项公式为
C．数列是常数列
D．数列与数列是相同的数列
【答案】A
【解析】对于选项A，令，则，所以数列是递增数列.故选项A正确；
对于选项B，，所以不是数列的一个通项公式.故选项B错误；
对于选项C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列不是常数列.故选项C错误；
对于选项D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系，
数列与数列的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故选项D错误.
故选：A.
4．（2024·高二·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（ ）
A．数列可表示为集合
B．数列，，，与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列，可记为
【答案】C
【解析】由数列定义知A错；B中排列次序不同，错误；
C中第项为，正确；D中，错误.
故选：C
5．（2024·高二·黑龙江鸡西·期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
【答案】A
【解析】对于A，由数列定义知，A正确；
对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误；
对于C，数列的通项公式可以为，
也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误；
对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.
故选：A
题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式
6．（2024·高二·山东青岛·期中）数列的一个通项公式 ．
【答案】
【解析】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍，
则通项公式为.
故答案为：
7．（2024·高二·上海·课后作业）数列，，，，…的一个通项公式是 ．
【答案】（n为正整数）
【解析】把1写成的形式，观察分母发现是以3为开始的奇数列，
再观察分子中各数，可以发现：，且各项正负交替，
则，，，，…可以写成：
所以数列的通项公式为.
故答案为：（n为正整数）.
8．（2024·高二·全国·课后作业）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
（1）
1 6 11 16 ( )
（2）
1 4 7 10 ( )
（3）
3 8 15 24 ( )
【答案】 21 13 35
【解析】（1）设第个图形的点数为，第个图形有5个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算5次，则，
；
（2）设第个图形的点数为，第个图形有3个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算3次，则，
；
（3）设第个图形的点数为，由图可知，第个图形横方向上有个点，竖方向上有个点，则，
.
9．（2024·高二·全国·课后作业）写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数.
（1）1，2，3，4，…；
（2）11，102，1 003，10 004，…；
（3）9，99，999，9 999，…；
（4），2，，8，.
【解析】(1)通过观察数列可知，所以这个数列的一个通项公式是；
(2)通过观察数列可知，所以这个数列的一个通项公式是；
(3)通过观察数列可知，所以这个数列的一个通项公式是；
(4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即，所以它的一个通项公式是.
题型三：数列通项公式的简单应用
10．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）某种细胞分裂时，由 个分裂成 个， 个分裂成 个，，这样一个细胞分裂 次以后，得到的细胞数是个．
【答案】7
【解析】根据已知经过次分裂后，得到的细胞数是个，其中，
令，解得，
故答案为：7.
11．（2024·高一·湖南长沙·开学考试）按一定规律排列的数据依次为，，，，…按此规律排列，则第30个数是 ．
【答案】
【解析】，，，，…
所以第30个数为.
故答案为：
12．（2024·高二·湖北武汉·期中）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有 个点.

【答案】57
【解析】根据题意，图（1）中只有1个点，无分支；
图（2）除中间一个点外，有两个分支，每个分支由1个点；
图（3）除中间一个点外，有三个分支，每个分支由2个点；
图（4）除中间一个点外，有四个分支，每个分支由3个点，
则第个图形中除中间一个点外，有个分支，每个分支有个点，第个图形中有个点，
故第8个图形中有个点．
故答案为：57．
题型四：递推公式的应用
13．（2024·黑龙江吉林·二模）某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，.
故选：A.
14．（2024·高二·广东广州·期末）蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记表示该雄蜂上溯第代祖辈数量，例如.那么，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，当时，，
A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，，
故，D错误.
故选：B
15．（2024·高二·浙江温州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，下列不是数列的项的是（ ）
A．35B．70C．145D．170
【答案】D
【解析】由已知可得，，，，，
所以，.
当时，累加法求和如下
，
，
，
，
两边同时相加可得，，
整理可得，.
对于A项，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故A项错误；
对于B项，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故B项错误；
对于C项，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故C项错误；
对于D项，令可得，，解得（舍去）或（舍去）.
所以，170不是数列的项，故D项正确.
故选：D.
16．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，…的递推公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为．
故选：C
题型五：前项和公式与通项的关系
17．（2024·高二·全国·课后作业）已知下面数列的前项和，求的通项公式．
(1)；
(2)．
【解析】（1）当时，，
当时，，
当时，，符合上式，
的通项公式是．
（2）当时，，
当时，，
当时，若，则，符合上式；若，则，不符合上式．
当时，的通项公式是；
当时，的通项公式是
18．（2024·陕西铜川·三模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求正整数的最大值.
【解析】（1）当时，，
当时，，
，
两式相减，得，
，
显然也符合上式，
数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
，
解得.
正整数的最大值为15.
19．（2024·高二·全国·课前预习）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.
【解析】，当时，;
当时，.
由于不适合.
故.
20．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列的前项之积为，且．求数列和的通项公式；
【解析】①，
②，
①-②可得，也满足上式，
③．
数列的前项之积为当时，，
代入③可得，
．
21．（2024·高二·广东梅州·期末）已知数列满足．
(1)求和；
(2)证明：数列为单调递增数列．
【解析】（1）因为①，
当时，，
当时，②，
由①②得，所以，
当时，，所以也满足，
当时，，
故，，.
（2）由（1）知，，易知，则，
又对一切恒成立，所以，
得到对一切恒成立，
所以数列为单调递增数列.
题型六：数列单调性的判断
22．（2024·高二·青海海西·期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立，
即对都成立，
所以．（或通过二次函数的对称性求解）
故选：D.
23．（2024·高二·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，恒成立，
即，恒成立，
所以，恒成立，
又在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以当时，
所以，即的取值范围是.
故选：B
24．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（ ）
A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列
【答案】C
【解析】数列，则，，
因此，数列是摆动数列.
故选：C
25．（2024·高二·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为数列是单调递增数列，
所以，即，化简得，
所以，
令，则在上递增，
所以，所以,
所以使“数列是单调递增数列”的充要条件是，
所以充分不必要条件是可以是.
故选：A.
题型七：求数列的最大项与最小项
26．（2024·广东广州·一模）已知数列的前项和，当取最小值时， .
【答案】3
【解析】因为，则当时，，
又当时，，满足，故；
则，
又在单调递减，在单调递增；
故当时，取得最小值，也即时，取得最小值.
故答案为：.
27．（2024·高二·陕西西安·期末）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 ．
【答案】
【解析】因为函数的对称轴是，时取得最小值，
而中，，时，，时，，
所以中的最小项的值为．
故答案为：．
28．（2024·高二·天津南开·专题练习）已知数列满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，但没有正整数解，
所以等号不等成立，，
，
所以的最小值为.
故答案为：
29．（2024·高三·北京·阶段练习）数列中，，则此数列最大项的值是 .
【答案】
【解析】因为，
故当或时，取得最大值.
故答案为：.
题型八：周期数列
30．（2024·高二·北京石景山·期末）在数列中，，，，则 ．
【答案】
【解析】由得，，
又由得，，，，，
由此可得数列为周期数列，周期为，
又因为，
所以，
故答案为：.
31．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）数列满足，且，则 .
【答案】
【解析】因为，所以,
因为,所以
所以,所以,
所以,可得.
故答案为：.
32．（2024·高二·全国·课后作业）若数列满足，且为其前项和，则 ．
【答案】
【解析】由题可得，
所以数列的周期为3，则．
故答案为：
33．（2024·高二·江苏南通·期中）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为 .
【答案】7
【解析】由题意可知：（公和），则，
可得，可知数列是以2为周期的周期数列，
可得，，所以公和.
故答案为：7.
【重难点集训】
1．（2024·高二·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，
因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为，
易知，一个周期内的三个数字之和为；
所以数列的前项的和为.
故选：C
2．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）在数列中，已知，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得， 数列为递增数列.
∵，
∴，，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
.
故选：B.
3．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）若数列满足，且，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】,
所以，
所以，
所以数列周期为3，由，可得，
所以.
故选：D
4．（2024·高二·广东佛山·期中）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22B．30C．37D．46
【答案】B
【解析】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，
第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，
则第个“拐角数”为．
对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意；
对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，
则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意；
对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意．
故选：B.
5．（2024·高二·全国·课后作业）已知的前n项和为，，当时，，则的值为（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
【答案】D
【解析】由题意可知：当时，可得，
因为，则，即，
当时，则，
两式相减可得，即，
可得，，，
所以．
故选：D.
6．（2024·高二·北京大兴·期中）已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以当时，，当时，，
所以，显然的最小值是，
又，，则，
所以的最小值是；
故选：A
7．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，解得.
故选：C.
8．（2024·高二·江西景德镇·期末）对于数列，若存在正整数，使得，则称是“谷值数列”，是数列的“谷值点”.现有数列，其通项，则该数列所有“谷值点”之和为（ ）
A．3B．9C．10D．12
【答案】B
【解析】由题意可知，，，，
，，，，，，
函数，在单调递增，且时，，
且，所以从10开始，不会是“谷值点”，
只有，所以数列只有1个“谷值点”，谷值点为9.
故选：B
9．（多选题）（2024·高二·福建·期中）斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由题设，，，A错；
由，则，故，B对；
由，结合B的结论有，，，，
所以，C对；
，D对；
故选：BCD
10．（多选题）（2024·广东肇庆·一模）将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（ ）
A．37B．58C．67D．79
【答案】ACD
【解析】不妨设第n（）个“拐弯数”为，
不难发现，，，，…，
所以（），
利用累加法得，
因而，
当时，也符合上式，
所以（）.
代入选项验算可知A，C，D三个选项正确.
故选：ACD.
11．（多选题）（2024·高二·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】，
，
数列是以为周期的周期数列；
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，，
，C正确；
对于D，，，
，D错误.
故选：ABD.
12．（2024·高二·上海·期中）在数列中，，且，则 ．
【答案】8
【解析】由题意可得，
所以，，……，，
累加得，
所以，
故答案为：8
13．（2024·高二·北京房山·期末）设无穷数列的通项公式为.若是单调递减数列，则的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一，即可）
【解析】由可得，
又是单调递减数列，可得，
即，
整理得恒成立，
即恒成立，
∴，
又因为，所以，
即取值范围为，
故答案为：（答案不唯一，即可）
14．（2024·高二·广东广州·期末）若数列满足，，则 .
【答案】
【解析】当时，，
当时，①，
②，
①②得，即，
所以.
15．（2024·高二·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式：
(1)；
(2)；
(3)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…．
【解析】（1）数列的奇数项为负，偶数项为正．把看成，则各项的绝对值的分母依次为可写成，
分子依次为可化为，可写成．
所以数列的一个通项公式为．
（2）数列可写成，，所以数列的一个通项公式为．
（3）将数列变形为，，
所以数列的一个通项公式为．
16．（2024·高二·全国·课后作业）在各项均为正数的数列中，且.
(1)当时，求与的值；
(2)求证：当时，.
【解析】（1），，
，得.
又，，得.
，，.
（2）要证当时，，由题意，故只需证，
即证，即证，.
即证，即证.
当时，由题意，
则，
当且仅当时，等号成立，得证.
∴当时，.
17．（2024·高二·全国·课前预习）已知数列满足，，求.
【解析】因为，
所以.
所以
.
又也符合上式，
所以，.
【高考真题】
1．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】[方法一]：常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确．
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确．
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】数列是单调递增数列，
可知当，时，单调递增，即或，解得；
当时，单调递增恒成立，
且，即；
解得，
所以若数列是单调递增数列，则，
故选：A．
3．（2024·北京海淀·三模）已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的个数为（ ）
①既有最小值，又有最大值，
②满足的n的值共有6个；
③使取得最小值的n为7；
④有最小值，无最大值；
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】对于①中，由数列的通项公式为，
可得，当时，数列的各项小于1，且是单调递减数列；
当时，数列的各项大于1，且是单调递减数列，
所以，数列的最小项为，最大项为，所以①正确；
对于②中，当时，满足；
当时，满足；当时，，
所以，满足时，，共有4个值，所以②不正确；
对于③中，当时，，随着的增大而增大，且；
当时，，随着n的增大而减小，
且，
当时，为正数，所以，
综上所述，使得取得最小值的为7，所以③正确；
对于④中，由上述中的讨论，可得在中，只有为负数，且，
所以存在最小值或，
从第8项开始，为正数，结合，可知随着的增大而增大，所以无最大值，
所以④正确．
故选：C．