人教A版 (2019)3.2 双曲线课堂检测

这是一份人教A版 (2019)3.2 双曲线课堂检测，共27页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181644540" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc181644540 \h 2
\l "_Tc181644541" 题型一：双曲线的定义 PAGEREF _Tc181644541 \h 2
\l "_Tc181644542" 题型二：双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc181644542 \h 3
\l "_Tc181644543" 题型三：双曲线方程的充要条件 PAGEREF _Tc181644543 \h 5
\l "_Tc181644544" 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 PAGEREF _Tc181644544 \h 6
\l "_Tc181644545" 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc181644545 \h 8
\l "_Tc181644546" 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc181644546 \h 11
\l "_Tc181644547" 题型七：求轨迹方程 PAGEREF _Tc181644547 \h 14
\l "_Tc181644548" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc181644548 \h 16
\l "_Tc181644549" 【高考真题】 PAGEREF _Tc181644549 \h 25
【题型归纳】
题型一：双曲线的定义
1．（2024·高二·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ）
A．5B．13C．5或9D．5或6
【答案】C
【解析】由题意可知，，，若，则或9．
故选：C
2．（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：当“为定值”，但“”时，“动点的轨迹不是双曲线”，不满足充分性；
必要性：以，为焦点的双曲线上的动点满足“为定值”，满足必要性；
因此“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的必要不充分条件．
故选：B.
3．（2024·高二·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．以上选项都不对
【答案】D
【解析】因为、，所以，
而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线.
故选：D
4．（2024·高二·全国·课后作业）相距的两地，听到炮弹爆炸的时间相差．若声速为每秒，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（ ）
A．圆B．双曲线C．椭圆D．直线
【答案】B
【解析】由已知条件可得．
根据双曲线的定义可知，点在以为焦点，实轴长为的双曲线上.
故选：B．
5．（2024·高二·福建福州·期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
【答案】B
【解析】对于 ，
，所以P点在双曲线的左支，则有 ；
故选：B.
题型二：双曲线的标准方程
6．（2024·高二·上海·假期作业）双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题意双曲线经过一点，渐近线方程为，
可设双曲线方程为，
将代入方程得，
故双曲线的方程为，标准方程为.
故答案为：.
7．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线上，则该双曲线的方程为 ．
【答案】或
【解析】因为，所以．
若焦点在轴上，则设方程为，
将点代入得，解得，即双曲线方程为；
若焦点在轴上，则设方程为，
将点代入得，解得，即双曲线方程为．
故答案为：或
8．（2024·高二·上海·阶段练习）一双曲线过点，一条渐近线的方程是，则其标准方程是 ．
【答案】
【解析】由一双曲线的一条渐近线的方程是，
则可设双曲线的方程为，
又该双曲线过点，则，即，
所以双曲线的方程为，
故其标准方程是．
故答案为：．
9．（2024·高二·河北张家口·阶段练习）求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)经过点，且与双曲线具有相同的渐近线；
(2)与椭圆共焦点，且过点.
【解析】（1）因为所求双曲线与双曲线具有相同的渐近线，
故设要求双曲线的标准方程为，
代入点，得，
则双曲线的方程为
（2）椭圆的焦点坐标为，在轴上.
所以设所求双曲线的方程为.
则，解得：，
即所求方程为：.
题型三：双曲线方程的充要条件
10．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则曲线表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；
若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是，此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，
故选：A
11．（2024·高二·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】D
【解析】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得；
若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解.
综上所述，.
故选：D.
12．（2024·高二·重庆·期末）若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为方程表示的曲线是双曲线，
所以，即或.
故选：D
13．（2024·高二·江苏·专题练习）已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】B
【解析】因为方程对应的图形是双曲线，则，
即或，解得或．
故选：B
题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
14．（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 .
【答案】3
【解析】
如图，由可知，
设，由定义
，
的面积为.
故答案为：3
15．（2024·高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ．
【答案】 4
【解析】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，
则右焦点的横坐标为，设点，
则，所以，点P到x轴的距离为4，
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，
由双曲线的定义，得，
所以．
故答案为：
16．（2024·高二·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
【答案】/
【解析】
由可得：，如图，设则①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②联立，解得：.
则三角形的面积为.
故答案为：.
17．（2024·高二·湖南永州·开学考试）点分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的面积为 ．
【答案】
【解析】结合题意可得：双曲线的实半轴长a=2，半焦距，
有，
在中，由余弦定理得，
即有，
因此，解得，
所以的面积为.
故答案为：.
题型五：双曲线上两点距离的最值问题
18．（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．D．
【答案】A
【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立；
因为，所以，所以成立，的最小值为16.
故选：A.
19．（2024·安徽蚌埠·三模）已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，
连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：
由双曲线的定义可知，，
又双曲线方程为，故，
又点坐标为，双曲线的渐近线为，
故点到渐近线的距离为，
故.
故选：B.
20．（2024·浙江金华·模拟预测）已知，为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】结合条件根据双曲线的定义求解出的长度，在中利用余弦定理求解出之间的关系，最后利用基本不等式求解出的最小值.由双曲线定义知，又，故
由双曲线定义知，得，
在中，，
由余弦定理得即，
，
，当且仅当即时取等号.
故选：D.
题型六：双曲线上两线段的和差最值问题
21．（2024·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，
圆半径为，
，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
所以，又由双曲线的定义，，
所以，即的最小值为，
故答案为：．
22．（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】由已知可得，，，
所以，，，.
如图，设双曲线左焦点为，
因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上.
根据双曲线的定义可得，，
所以，.
所以，.
由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值.
又，所以，
所以，有最小值，
即有最小值.
故答案为：.
23．（2024·高二·安徽淮南·期末）已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，A是圆上的一点，点M在双曲线的右支上，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
∵双曲线的方程为，
右焦点坐标为，连接，
由双曲线的定义，得，
∴，
因为点是圆上的点，设圆心为，则，半径为2，
∴，
∴，
当点M，A在线段上时上式取等号，即的取值范围为.
故答案为：.
24．（2024·高二·天津滨海新·期末）设点P是曲线上一动点，点Q是圆上一动点，点，则的最小值是
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为，圆的圆心为，如图所示：
由双曲线的定义得，所以，
所以，当且仅当P，Q分别为线段FM与双曲线的右支，圆的交点时取等号．
故的最小值为
故答案为：
25．（2024·高二·福建漳州·期中）设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为 ．
【答案】9
【解析】由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，B三点共线时使得取最大值．设两圆和圆心分别为A，B，
则A，B正好为双曲线两焦点，
，
即最大值为9，
故答案为：9．
题型七：求轨迹方程
26．（2024·高二·河北张家口·阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】当圆与圆均外切时，，
所以，
则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为，
则，
则，
所以轨迹方程为.
故答案为：.
27．（2024·高二·浙江金华·阶段练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设，，
则，即，
又，则，
整理得，
即点M的轨迹方程为.
故答案为：
28．（2024·高三·全国·专题练习）已知是一个动点，与直线垂直，垂足A位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为原点）的面积为.求动点的轨迹的方程..
【解析】设，依题意，，
显然，则四边形为矩形，其面积为，
又点分别在第一、第四象限，则有，且，
所以动点的轨迹的方程是.
29．（2024·高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
【解析】，即，故，，设，，．
则，，，，
由得即，
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，
两式相减得，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
综上所述：点的轨迹方程是．
【重难点集训】
1．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，所以为双曲线的右支，
为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则，
所以．所以，
当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为．
故选：D.
2．在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以.
根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外），
即，又，所以，所以方程为.
故选：B.
3．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．B．32C．D．
【答案】A
【解析】由双曲线，可得，则且，
设是双曲线的右焦点，连接，
因为分别为的中点，，
在直角中，可得，
又由双曲线的定义，可得，
所以.
故选：A.
4．若椭圆与双曲线（，，，均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【解析】由曲线方程及其对称性，不妨设在第一象限，分别为左右焦点，则，
所以，即.
故选：B.
5．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由可知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线上支，
设双曲线的方程为，可知，，
所以，，，
所以双曲线的方程为.
故选：D.
6．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由圆M：，得圆心，半径，
由圆N：，得圆心，半径．
设圆P的半径为r，则有，．
两式相减得，
所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，
又，所以C的方程为．
故选：B．
7．已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，由于，，且，，
设，则，故，
所以，即，则，，，，
在中由余弦定理.
故选：B
8．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】双曲线，，则长轴长为，焦距为，
为双曲线右支上的动点（非顶点），为双曲线的两个焦点，
设的内切圆与分别切于，如图所示，
则根据双曲线的定义及圆的性质可知：，
又，得，故为双曲线的右顶点.
同上分析，当双曲线方程为时，
为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），
设的内切圆与分别切于，
可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标.
所以此时的内切圆恒过定点.
故选：B.
9．（多选题）对于曲线，下面说法正确的是（ ）
A．若，曲线的长轴长为2
B．若曲线是椭圆，则的取值范围是
C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3
【答案】CD
【解析】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误；
B选项，，解得或，B错误；
C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确；
D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，
故，解得，
又，解得，D正确.
故选：CD
10．（多选题）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】AB
【解析】因为方程表示的曲线是双曲线，
由，显然，
即，则，
其中表示点到定点的距离，
表示点直线的距离，又点不在直线上，
则表示平面内一点到定点的距离与到直线的距离之比，
依题意可得，解得，结合各选项可知，只有A、B符合题意.
故选：AB
11．（多选题）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹为椭圆
B．若，则点的轨迹为双曲线
C．若，则点的轨迹为一条直线
D．若，则点的轨迹为圆
【答案】BCD
【解析】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误；
对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确；
对于选项：设，
由，可得，
化简得，表示一条直线，故C正确；
对于选项D：由，可得，
则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确.
故选：BCD.
12．等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是 .
【答案】
【解析】等轴双曲线的对称轴为直线，
联立得或，
故双曲线的顶点坐标为：和，
故，所以，
所以焦点坐标是和，
所以等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是.
故答案为：.
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ．
【答案】a
【解析】由题知，
设内切圆与x轴的切点为，与内切圆的切点分别为，
由双曲线定义有，得，
由圆的切线长定理知，，即 ，
即，
设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，
所以，
故答案为：
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 .
【答案】
【解析】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，
可知，则，即，
又因为，得解得，故双曲线方程为.
故答案为：.
15．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点，焦点在轴上；
(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点；
【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上，
所以可设双曲线的标准方程为，
由，经过点，
可得，解得，
故双曲线的标准方程为；
（2）设所求双曲线的方程为．
双曲线过点，
，
解得或（舍去）．
双曲线的标准方程为．
16．已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”．
(1)若和都成立，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【解析】（1）当为真时，则有，
整理得：，解得或；
当为真时，则有，解得或；
又因为和都为真，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为；
（2）当为真时，则有，解得，
又因为是的必要不充分条件，
所以或，
所以或，
解得或，
所以的取值范围.
17．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系.
(1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由；
(2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程.
【解析】（1）由题意可得，，，
，，
路线的长度：，
路线的长度：，
因为，则路线的长度最短.
（2）设点，已知，
可得，
所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则，即，又因为，，
则点的轨迹方程为.
【高考真题】
1．（2024年天津高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））设双曲线的两个焦点为，，一个顶点为，则的方程为 .
【答案】
【解析】由题意知：，，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以C的方程为.
考点：本小题主要考查双曲线的方程的求解、的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.