高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆测试题，共27页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181178604" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc181178604 \h 2
\l "_Tc181178605" 题型一：椭圆的定义与标准方程 PAGEREF _Tc181178605 \h 2
\l "_Tc181178606" 题型二：椭圆方程的充要条件 PAGEREF _Tc181178606 \h 4
\l "_Tc181178607" 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 PAGEREF _Tc181178607 \h 5
\l "_Tc181178608" 题型四：椭圆上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc181178608 \h 6
\l "_Tc181178609" 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc181178609 \h 8
\l "_Tc181178610" 题型六：利用第一定义求解轨迹 PAGEREF _Tc181178610 \h 11
\l "_Tc181178611" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc181178611 \h 13
\l "_Tc181178612" 【高考真题】 PAGEREF _Tc181178612 \h 23
【题型归纳】
题型一：椭圆的定义与标准方程
1．（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为 .
【答案】
【解析】设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程得：
，解得，
所求椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
2．（2024·高二·北京海淀·阶段练习）两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离的和等于10的椭圆标准方程为 .
【答案】
【解析】两个焦点的坐标分别是，，椭圆的焦点在横轴上，并且，
由椭圆的定义可得：，即，由，，的关系解得，
椭圆方程是.
故答案为：.
3．（2024·高二·上海·期末）焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为 .
【答案】
【解析】设椭圆方程为，
因为点到两焦点的距离之和为8，所以，
又焦点在轴上的椭圆过点，
所以，
所以该椭圆标准方程为：.
故答案为：.
4．（2024·高二·山东青岛·期中）若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的2倍，则其标准方程为 ．
【答案】或
【解析】当椭圆焦点在轴，设椭圆方程为，
因为椭圆过点，
所以，
又因为长轴长是短轴长的2倍，
所以，
所以椭圆方程为；
当椭圆焦点在轴，设椭圆方程为，
因为椭圆过点，
所以，
又因为长轴长是短轴长的2倍，
所以，
所以椭圆方程为.
综上，椭圆的方程为或.
故答案为：或
5．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题知：，①
又椭圆经过点，
所以，②
又，③
联立解得：，
故椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
题型二：椭圆方程的充要条件
6．（2024·高二·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】命题等价于，解得.
故选：C.
7．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知表示椭圆，则，
解得.
故选：A.
8．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】由题意可知，则有如下，
，
共7种情况.
故选：C
9．（2024·高二·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则
，解得：，且，
所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
10．（2024·高二·重庆·阶段练习）经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．20
【答案】D
【解析】
为椭圆的两个焦点，
，
的周长为．
故选：D．
11．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，故AB经过椭圆的右焦点，
故的周长.
故选：D.
12．（2024·高二·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．10
【答案】C
【解析】由椭圆定义可得，
故，
又，
则由余弦定理得，
故，
故.
故选：C
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
13．（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．16D．25
【答案】D
【解析】因为，所以，
当且仅当时，取到最大值.
故选：D.
14．（2024·高三·云南·阶段练习）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．9B．16C．25D．50
【答案】C
【解析】由题意，当且仅当时等号成立，
所以，即，故最大值为.
故选：C
15．（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A
16．（2024·辽宁沈阳·三模）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（ ）
A．B．C．8D．63
【答案】B
【解析】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，
又因为，所以，PM为圆的切线，
，所以当PF最长时，切线长PM最大．
当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为．
此时的最大值为．
故选：B．
17．（2024·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，
故选：C.
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
18．（2024·高二·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部；
设为椭圆的上焦点，连接，
由椭圆定义可得，则，
所以，
当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示：
因此则的最小值为.
故答案为：
19．（2024·高二·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 .
【答案】
【解析】设椭圆的左焦点为，可得，
由椭圆定义知，
又由点在椭圆内，，直线交椭圆于，
因为，即，
当且仅当点共线时取等号，
当点与重合时，，则，
当点与重合时，，则，
所以的最大值和最小值为，可得.
故答案为：.
20．（2024·高二·四川成都·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为 .
【答案】7
【解析】由题意且，又，可得，
所以椭圆方程为，而，即Q在椭圆内，如下图，
若为右焦点，由，则，
所以，而，
所以的最大值为7.
故答案为：7
21．（2024·高三·江苏·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为 ．
【答案】12
【解析】由椭圆可知，，
椭圆在圆内，而圆的圆心为，半径为，
易知，所以椭圆与圆相离，
而，故，
要求的最大值，只需求的最大值，
而Q在圆上，
只需求的最大值，当共线时（如图），最大，
此时，即为的最大值，
则的最大值为，
则的最大值为，
故答案为：12
题型六：利用第一定义求解轨迹
22．（2024·高二·吉林辽源·期末）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意得，化简解得，即，
所以点的轨迹方程为：.
故答案为：.
23．（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】 内含
【解析】依题意，圆心，半径，圆心，半径，
所以，则两圆内含；
设动圆的圆心，半径为，则，
，
依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中，
又，
所以的轨迹方程为.
故答案为：内含；.
24．（2024·高二·河北石家庄·期中）已知两点，，动点在轴上的射影为，，则动点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】因为，，设动点，所以在轴上的射影为，
所以，
所以，
所以，
化简为，
故答案为
25．（2024·高二·海南海口·期中）在圆上任取一点P，过点P作y轴的垂线PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设点的坐标为，点的坐标为，依题意，，，
由点在圆上，得，因此，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
26．（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）已知点M到定点的距离与到定直线l：的距离之比为，求点M的轨迹方程．
【解析】设点P的坐标为，
由题意，得，
左、右平方，得，
整理，得，
所以点M的轨迹方程为．
【重难点集训】
1．（2024·高二·江西·阶段练习）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆：和：的圆心、半径分别为，
由可知圆内含于圆内，
设动圆半径为,
由题意，，,
两式相加可得,
故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，
所以，
所以椭圆方程为.
故选：C
2．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设是点到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是集合.
由此得，将上式两边平方并化简，得，
即.
所以动点的轨迹方程为.
故选：B.
3．（2024·高二·全国·课后作业）已知点为椭圆上一点，过原点的直线交椭圆于两点，为椭圆上另一动点，若，则（ ）
A．2B．C．0D．1
【答案】C
【解析】设点Ax1,y1，则，
即，又，
则，
因为，所以．
故选：C.
4．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（ ）
A．直线B．圆C．双曲线D．椭圆
【答案】D
【解析】由题意，记圆半径为．不妨令圆的半径为，圆的半径为，且，
则动圆与圆内切，与圆外切，可得：，
两式相加得：，且，故圆心的轨迹为椭圆．
故选：D．
5．（2024·高二·北京·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以可以转化为到的距离，
同理，可以转化为到的距离，
因为，
所以到两定点和的距离之和为，
所以在以点和为焦点的椭圆上，
设椭圆的标准方程为：，
则，，
即，
又，
所以，
所以椭圆的方程为：，
由，
得，
解得，.
故选：D.
6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知，，，即，，则，
因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
所以
（当且仅当时，等号成立）．
故选：D.
7．（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）设P是椭圆上的点，F1，F2为其两焦点，则满足的点P的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】
在椭圆中，，所以.
当P为椭圆虚轴的顶点时，最大，因为，
所以，所以，则这样的点P有四个．
故选：D.
8．（2024·高二·山东青岛·期末）点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（ ）
A．与无关B．
C．D．
【答案】C
【解析】设点，，
因为动点在椭圆上，则，
因为点到直线的距离为，所以，
又F0,1，
所以
．
故选：C．
9．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）设点，的坐标分别为，动点满足：，则下列说法正确的有（ ）
A．点的轨迹方程为
B．
C．存在4个点，使得的面积为
D．
【答案】AD
【解析】对于A，由得，，
所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，即，
则，故点Px,y的轨迹方程为，A正确.
对于B，D，将-1,1的坐标代入椭圆方程左边得，所以点在椭圆内部，
如图所示，所以，当且仅当点运动到点处时，等号成立，故B错误；
，
因为，所以，
当且仅当点运动到点处时，等号成立，故D正确.
对于C，，其中为点到直线的距离，若，则，
由于当点为椭圆的右顶点时，取得最大值3，故满足条件的点只有一个，C错误.
故选：AD.
10．（多选题）（2024·高二·广东肇庆·阶段练习）已知，是椭圆C：的上、下焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．的周长等于B．时，满足的点有2个
C．的最大值为D．面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，椭圆的长轴长为，焦距为，则的周长为：，由，所以的周长小于，故A不正确；
对于B，当时，则，满足的点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于椭圆短轴两端点，即使得的点为椭圆短轴的端点，故B正确；
对于C，设，，，则，由椭圆的定义知：，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，所以C正确；
对于D，由椭圆几何性质，焦点三角形面积仅当P点在短轴顶点时最大，为，故D正确.
故选：BCD
11．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·期末）平面直角坐标系数Oxy中，已知，则使得动点P的轨迹为圆的条件有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】设，则，
对于A，由得，
此时动点P的轨迹为圆，A正确；
对于B，由得，
则，该式无意义，此时点P不存在，B错误；
对于C，由得，
整理得，即，
此时动点P的轨迹为圆，C正确；
对于D，由可知，动点P到两定点的距离之和为3，
且，此时动点P的轨迹为椭圆，D错误，
故选：AC
12．（2024·高二·上海杨浦·阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ．
【答案】或
【解析】由题意可知，
即其圆心为，
因为椭圆的焦距为，
所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为或，
若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为，
所以相应椭圆方程为；
若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为，
所以相应椭圆方程为.
故答案为：或.
13．（2024·高二·江西赣州·阶段练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 .
【答案】
【解析】设，，根据椭圆定义得 ，
所以 ，当且仅当时取等号，
所以直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为.
故答案为：
14．（2024·高二·福建三明·阶段练习）如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ．
【答案】2
【解析】由题意，延长交于，连接，如下图：
因为为的角平分线且，所以，
则，即，
在中，易知分别为的中点，即为中位线，
所以.
故答案为：.
15．（2024·高二·黑龙江牡丹江·阶段练习）求下列曲线方程：
(1)求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程.
(2)已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程．
【解析】（1）方法一：由题意得.
因此所求椭圆的焦点坐标为，.
由椭圆定义得，
即，所以.
故所求椭圆的标准方程为.
方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，
所以其焦点在x轴上，且.
设所求椭圆的标准方程为，则①.
又点在所求椭圆上，所以，即②.
由①②得，，故所求椭圆的标准方程为.
方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为.
将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）.
故所求椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切，设圆的半径为，
则，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设点的轨迹方程，
所以，则，
所以点的轨迹方程为.
16．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）（1）已知点A，B的坐标分别为，2,0，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程；
（2）如图，已知圆和定点，P为圆O外一点，直线PQ与圆O相切于点Q，若，求点P的轨迹方程．
【解析】（1）设Mx,y，则，，
，
化简整理得，，
所以点的轨迹方程为：.
（2）设Px,y，依题意，则，
即，即，
整理得.
17．（2024·高二·全国·假期作业）已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.求直线与直线交点的轨迹方程.
【解析】依题意，，
设点，由，得，即，
由，得，即，
当时，直线，直线，
联立消去参数得，即，
当时，得交点，满足上述方程，
所以直线与直线交点的轨迹方程:不含点.
【高考真题】
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】A
【解析】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
4．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
6．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国大纲卷））已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：，，
由椭圆定义得.①
在中，.②
由①②得，则，
所以椭圆C的方程为.
故选：C.
7．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
【答案】．
【解析】由题意，在线段的垂直平分线上，则，
所以，又，
所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，
，，，则，
所以轨迹方程为．
故答案为：．