人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置巩固练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置巩固练习，共45页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc179279121" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc179279121 \h 2
\l "_Tc179279122" 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 PAGEREF _Tc179279122 \h 2
\l "_Tc179279123" 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 PAGEREF _Tc179279123 \h 3
\l "_Tc179279124" 题型三：切线与切线长问题 PAGEREF _Tc179279124 \h 4
\l "_Tc179279125" 题型四：弦长问题 PAGEREF _Tc179279125 \h 6
\l "_Tc179279126" 题型五：判断圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc179279126 \h 8
\l "_Tc179279127" 题型六：由圆的位置关系确定参数 PAGEREF _Tc179279127 \h 9
\l "_Tc179279128" 题型七：公共弦与切点弦问题 PAGEREF _Tc179279128 \h 11
\l "_Tc179279129" 题型八：公切线问题 PAGEREF _Tc179279129 \h 13
\l "_Tc179279130" 题型九：圆中范围与最值问题 PAGEREF _Tc179279130 \h 17
\l "_Tc179279131" 题型十：圆系问题 PAGEREF _Tc179279131 \h 20
\l "_Tc179279132" 题型十一：直线与圆的实际问题 PAGEREF _Tc179279132 \h 20
\l "_Tc179279133" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc179279133 \h 23
\l "_Tc179279134" 【高考真题】 PAGEREF _Tc179279134 \h 37
【题型归纳】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
1．（2024·高一·陕西宝鸡·期末）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交D．相离
【答案】B
【解析】的圆心为，
符合直线方程，故直线过圆心，
故选：B
2．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【答案】C
【解析】因为直线，即，
当时，，解得，
所以直线表示过定点，且除去的直线，
将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，
所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，
所以直线与圆相交．
故选：C．
3．（2024·高二·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【答案】B
【解析】由，所以直线恒过定点1，0，
因为，所以点1，0在圆的内部，
所以直线与圆相交．
故选：B．
4．（2024·高二·广东梅州·阶段练习）已知圆，则直线与圆C（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
【答案】A
【解析】可化为，
即该圆圆心为，半径为，
由可得该直线过定点0，1，
有，即该定点必在圆内，
故两者位置关系为相交．
故选：A．
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
5．（2024·高二·全国·课后作业）已知动直线截圆可得两段弧，当劣弧最短时，（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】圆化为，圆心坐标为，半径为4．
因为动直线经过定点，
定点恰好在圆内．
根据圆的性质，动直线与垂直时，动直线截圆所得的两段弧中，优弧最长，劣弧最短，
故，则．
故选：B．
6．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，故有，即，
由，则点为中点，
故，故有，
即有，整理得，
即．
故选：A．
7．（2024·高二·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】B
【解析】为直角，故在以为直径的圆上，
圆心为，半径为，
圆方程为，取得到或，
即点坐标为或．
故选：B．
8．（2024·高二·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】联立直线方程和曲线方程可得可得，
即，解得或，故方程组的解为或．
故选：C
题型三：切线与切线长问题
9．（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 ．
【答案】或
【解析】当直线斜率存在时，设切线的点斜式方程为：，圆心到直线的距离为，
化简得到，故；
另一条应为不存在的情况，即满足题意．
故答案为：或．
10．（2024·高二·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为 ．
【答案】或
【解析】当直线斜率不存在时，直线为，
此时圆心到的距离，故不符，
当直线斜率存在时，设直线为，
即，
此时圆心到的距离，
即，即或．
故答案为：或．
11．（2024·高二·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：圆的圆心为O0，0，半径，
因为，可知点在圆上，
又因为，可知切线方程的斜率，
所以切线方程为，即．
故答案为：．
12．（2024·高二·广东肇庆·阶段练习）从点向圆作切线，则切线长为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，
则，
所以切线长为．
故答案为：．
13．（2024·高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ．
【答案】
【解析】记圆，圆心为，半径，
则，
所以切线长为．
故答案为：3．
题型四：弦长问题
14．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 ．
【答案】
【解析】根据题意，圆，
即，其圆心为，半径，
若，则圆心到直线即的距离，
又由圆心到直线的距离，
则有，解可得：．
故答案为：．
15．（2024·高二·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ．
【答案】或
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
此时直线l截圆所得弦长为，满足题意，
设直线l的方程为，即．
由垂径定理，得圆心到直线l的距离，
结合点到直线距离公式，得，
化简得，解得，即直线l的方程为．
故答案为：或．
16．（2024·天津·一模）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为 ．
【答案】或
【解析】当直线斜率不存在时，直线为，
则有，即，
则，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线为，即，
由可得圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则有，即，
即，即．
故答案为：或．
17．（2024·高二·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 ．
【答案】
【解析】的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为．
面积为．
故答案为：．
18．（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一）
【解析】的圆心为，半径，
设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得或，
由，所以或，
解得或．
故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）．
题型五：判断圆与圆的位置关系
19．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含B．相切C．相交D．外离
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
则，故，所以两圆内含；
故选：A
20．（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外离C．外切D．内含
【答案】A
【解析】由于点和都在圆上，而在圆内部，
在圆外部，故两圆一定相交．
故选：A．
21．（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为；，
则圆的圆心为，半径为．
两圆心之间的距离，
且满足，可知两圆相交．
故选：A．
22．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．内含
【答案】D
【解析】圆：，所以圆心，半径为．
由点到直线距离公式得：，且，所以．
又圆的圆心，半径为：1．
所以，．
由，所以两圆内含．
故选：D
23．（2024·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外切C．外离D．内含
【答案】B
【解析】的圆心为，半径为1，
的圆心为，半径为1，
可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切．
故选：B
24．（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．相离
【答案】B
【解析】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心，
所以，，所以，故两圆外切，
故选B．
题型六：由圆的位置关系确定参数
25．（2024·高二·江苏南京·期末）已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（ ）
A．－1B．1C．0D．2
【答案】C
【解析】根据题意，点，若，则点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，设该圆为圆，
圆，若圆上存在点使得，则圆与圆有公共点，
则，解得，即的取值范围为0，4，
故的最小值为0．
故选：C．
26．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】说明在以为直径的圆上，
而又在圆上，因此两圆有公共点，
则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，
所以，即，又，解得．
故选：B
27．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知是圆上的一个动点，直线上存在两点，使得恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，已知圆O：的圆心为O0，0，半径，
若直线上存在两点A，B，使得恒成立，
则以为直径的圆要内含或内切圆，
点到直线l的距离，
所以的最小值为，
选B．
28．（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】由题意可得，化简得，
即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
由：（），可得，
故圆以为圆心，为半径，由两圆有且仅有三条公切线，
故两圆外切，即有，即．
故选：D．
题型七：公共弦与切点弦问题
29．（2024·高二·全国·课后作业）已知圆与圆相交，则相交弦的长为 ．
【答案】
【解析】设两圆相交弦所在直线为，则直线的方程为，
即到直线的距离，则相交弦的长为．
故答案为：
30．（2024·高二·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ．
【答案】
【解析】由，得，
化简得，
所以直线AB的方程为．
故答案为：
31．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为：
，
化简得：．
故答案为：．
32．（2024·高二·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】
由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点．
因为，，
则，
所以直线的方程为．
故答案为：．
题型八：公切线问题
33．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ．
【答案】3或
【解析】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切．
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
而两圆圆心距，即，
解得的值为3或．
故答案为：3或
34．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 ．（写出一条满足条件的即可）．
【答案】，，，，，，，，，，，，，，，（答案不唯一）
【解析】对于一个半径为的圆，若一条直线被该圆截得的弦与圆心构成面积为的三角形，则这意味着弦对应的圆心角满足，即或．
由于弦到圆心的距离，故或．
这就将命题转化为：直线到的距离是或，到的距离也是或．
分别以和为圆心，以为半径作圆和，以为半径作圆和．
则直线需要满足：与或相切，与或相切．
首先，由于，故不可能同时和一条竖直直线相切，从而的斜率一定存在．
①若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）．
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得．
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
②若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）．
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得．
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
③若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心．
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得．
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
④若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心．
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得．
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，．
综上，满足条件的直线一共有16种可能：，，，，，，，，，，，，，，，．
故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，．（答案不唯一）
35．（2024·高二·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为，
故，故圆与圆外切，
将与相减得，
即两圆内公切线方程为，
两圆圆心所在直线方程为，即，
由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行，
设为，圆心到的距离为，解得，
故两圆的外公切线所在直线方程为和．
故答案为：（或之一也可以）
36．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．
【答案】
【解析】圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
圆心距，由，
所以两圆相交，则．
故答案为：
题型九：圆中范围与最值问题
37．（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）如果实数，满足，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率．
如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点．
其中圆心，半径
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为
则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，，
可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；
同理，的最小值为－1．
则的范围是．
故选：B．
38．（多选题）（2024·高二·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（ ）
A．点的坐标为B．的最小值是
C．的最大值是0D．
【答案】ACD
【解析】根据题意，圆的圆心为，半径．
对于A，直线，可化为，
所以直线经过点，斜率为，
因此直线过定点，A项正确；
对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值，
此时，可知的最小值是，故B项不正确；
对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确；
对于D，设的中点为，连接，则，
可得
，故D项正确．
故选：ACD．
39．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径．
，Px0，y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误．
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确．
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确．
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误．
故选：BC
40．（2024·高二·上海·课后作业）圆上的点到直线的距离最小值是 ．
【答案】
【解析】因为圆，化为标准方程为：，
其圆心为，半径为1，
因为直线，所以圆心到该直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离最小值是．
故答案为：．
题型十：圆系问题
41．已知圆与圆相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
【解析】（1），①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直线方程为．
（2）设圆的方程为
即
因为圆过原点，所以，
所以圆的方程为
题型十一：直线与圆的实际问题
42．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（ ）
A．1hB．C．2hD．
【答案】C
【解析】
如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，
以为圆心，为半径作圆，
则圆的方程为，
当台风进入圆内，则城市处于危险区，
又台风的运动轨迹为，
设直线与圆的交点为，，
圆心到直线的距离，
则，
所以时间，
故选：C．
43．（2024·高二·广东深圳·期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 ．

【答案】
【解析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，则， ，
设成功点，则，即，
化简得，因为点在矩形场地内，所以，
所以点的轨迹方程是．
当与圆相切时，则有，
所以，所以，又，
若电子狗在线段上总能逃脱，则点的横坐标取值范围为，
所以的取值范围是．
故答案为：；．
44．（2024·高二·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ．
（可用参考数据：．）
【答案】 3．32
【解析】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图，
则，
则圆的标准方程为：．
由题意设，代入圆的方程得，
解得，即，则．
故答案为：3．32；．
【重难点集训】
1．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线绕原点逆时针旋转与圆相交于两点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】直线绕原点逆时针旋转后，两条直线垂直，
所以旋转后直线的斜率为，直线方程为，
由题意得圆的圆心，半径，所以圆心到直线的距离，则．
故选：D.
2．（2024·高二·河北衡水·阶段练习）已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．16D．
【答案】C
【解析】因为圆，所以圆心为，
因为圆刚好被直线平分，
所以直线必过点，代入直线中得到，
所以，
当且仅当时取等，此时解得，故C正确.
故选：C
3．（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）圆和直线为圆C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆C关于直线l对称，则的最大值为20
B．若圆C关于直线l对称，则
C．存在实数a使得圆C与直线l相离
D．无论取a任何实数，圆C都和直线l相交
【答案】ABD
【解析】对于B，方程可化为，
所以的圆心为，半径为，
若圆C关于直线l对称，则，解得，故B正确；
对于A，设，则点到直线的距离满足：，
所以，解得，所以的最大值为20，故A正确；
对于C，点到直线的距离为，
若圆C与直线l相离，
则，但这不可能，（因为），故C错误；
对于D，由C选项分析可知，若，但这不可能，（因为），
所以恒成立，
所以无论取a任何实数，圆C都和直线l相交，故D正确.
故选：ABD.
4．（2024·高二·全国·课后作业）已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得圆的标准方程为，所以半径为，
如图，过圆心作直线的垂线，由题意得垂线斜率为，
故设其方程为，将带入其中，
可得，解得，所以垂线方程为，
因为求半径最小的圆，所以圆的圆心在直线上，
而圆心到直线的距离为，
故圆的半径为，
设圆心，已知，解得，
即圆心，故D正确.
故选：D
5．（2024·高二·河南漯河·阶段练习）台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题得示意图
以城市为圆心作一个半径为的圆，只要台风经过圆内，即段，城市处于危险地区；
台风从地向移动,其中为中点，所以
所以
所以
又因为台风速度为
所以城市处于危险地区内的时长为
故选：
6．（2024·高二·天津·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设可得圆的圆心坐标为，半径为，
动直线可化为：，
故该直线恒过定点，因为，
故定点在圆的内部，故圆心到动直线的距离的最大值为，
故的最小值为，
故选：B.
7．（多选题）（2024·高二·浙江杭州·阶段练习）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线l与圆C有两个交点
C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1
D．圆C与圆恰有三条公切线
【答案】ABD
【解析】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确；
对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确；
对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为，
而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误；
对于D，圆的方程化为，
其圆心为，半径为3，两圆圆心距为，
两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.
故选：ABD.
8．（多选题）（2024·高二·广东中山·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．已知点在圆上，则的最大值是4
B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
【答案】AD
【解析】A选项，因为点Px,y在圆上，
所以，
当时，取得最大值4，故A正确；
B选项，由，所以，即直线过点，
因为直线和线段相交，故只需或，故B错误；
C选项，圆的圆心到直线的距离，
而点是圆外一点，所以，
所以，所以直线与圆相交，故C错误；
D选项，与点的距离为1的点在圆上，
由题意知圆与圆相交，
所以圆心距，满足，解得，故D正确.
故选：AD
9．（多选题）（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C．圆：与圆：恰有三条公切线，则
D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
【答案】BCD
【解析】直线，
所以，所以，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
圆，圆心为到直线的距离为，
所以直线与圆相交，平行于直线l且距离为的直线分别过圆心以及和圆相切，
所以圆上有且仅有个点到直线的距离为，故B正确；
由：可得，圆心，，
由：可得，
圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，
即，解得：，故C正确；
设，所以，
因为、，分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，
所以点，在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为
.
整理可得：，与已知圆C：，相减可得.
消去可得：，即，
由解得，所以直线经过定点，故D正确.
故选：BCD.
10．（多选题）（2024·高二·重庆·开学考试）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，圆与圆有2条公切线
B．当时，是圆与圆的一条公切线
C．当时，圆与圆相交
D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
【答案】BD
【解析】由可知圆心为，半径为1；
由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为；
对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误；
对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切，
所以是圆与圆的一条公切线，即B正确；
对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误；
对于D，当时，，此时两圆相交，
圆的一般方程为，与圆的方程相减可得，
化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确.
故选：BD
11．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）在直角坐标系中，已知，动点满足，则面积的范围为
【答案】
【解析】设点，则
由已知得，
所以，即
故点的轨迹方程为，即，其圆心，半径为．
直线AC的方程为，即
圆心到直线AC的距离
则点到边AC的距离的最小值为，最大值为
又
则面积的最小值为，最大值为，
所以面积的范围为．
故答案为：．
12．（2024·高二·天津南开·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上运动，若恒为锐角，则正实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】设以为直径的圆的圆心为A，
由题意可知，
所以的中点，半径为，
又圆得圆心为，半径，
由恒为锐角可知两圆外离，如图，
所以，即，
解得.
故答案为：
13．（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】曲线，即
直线过定点，
如图：B-2,1，，
当直线与曲线有一个交点时，
则直线夹在了直线与直线之间，而，
所以此时k的取值范围是1,+∞，
当直线与曲线相切时也只有一个交点，
则圆心0,1到直线的距离为：
，解得，
所以实数k的取值范围是：.
14．（2024·高二·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ．
【答案】
【解析】由题意可设经过点的圆的方程为，
整理得，则圆心为．
圆①，圆②，
由①-②得，，即直线的方程为．
因为为直径，圆心在直线上，所以，解得，
故以为直径的圆的方程为．
故答案为：．
15．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为
【答案】.
【解析】取中点为，连接，如图所示：
则，又，，
故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为，
因为，，
所以，即，则.
故答案为：.
16．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线：与动点的轨迹交于两点，记动点轨迹的对称中心为点，则当面积最大时，求直线的方程．
【解析】设，
由题意可得，整理可得，
可知动点的轨迹是以圆心为，半径为的圆，
由，可得．
则由，解得，所以直线过定点，
因为，所以点在圆的内部．
作直线，垂足为，
设，因为，
所以，
所以，
所以．
所以当，即时，．
此，且，可知直线的斜率为，
所以直线的方程为.
17．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）已知点，圆：．
(1)求圆过点的最短弦所在的直线方程；
(2)若圆与直线相交于，两点，为原点，且，求的值．
【解析】（1）过点的最短弦就是圆心与连线垂直的直线，
圆的圆心，则，
所以过点的最短弦所在的直线方程为，即．
（2）消去得，
化简后为．
因为圆与直线交于，两点，
所以，
即，解得．
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，．
因为，所以，即．
由得．
从而，解得．
18．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上．
(1)求公共弦AB的长度；
(2)求圆E的方程；
(3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．
【解析】（1）圆，所以圆的圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
公共弦；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心，
由题意得，，即，到的距离，
所以的半径，
所以圆的方程：；
（3）
当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，
所以，四边形的面积；
当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，
设直线为：，
则直线为：，
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，
，，
设，
当或1时，正好是轴及垂直轴，
面积，
当时，最大且，或1时，最小，
四边形面积的最大值17，最小值．
19．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知点与直线l：，圆C：
(1)一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程；
(2)过P点作圆的切线，求切线方程．
【解析】（1）设点关于直线：的对称点坐标为，
则有，解得，即，
直线的方程为：，即，
因反射光线过点，而反射光线所在直线过点，
所以反射光线所在直线方程为.
（2）圆C：即圆C：的圆心为，半径为，
过点且斜率不存在的直线为，显然到直线的距离，故满足题意；
设过点且斜率存在的直线的直线与圆C：相切，
则，解得，此时所求直线为，即；
综上所述，满足题意的切线方程为或.
20．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）（1）求圆心在直线上，与直线相切于点的圆C的方程.
（2）若过点作圆的切线，求切线的斜率.
【解析】（1）依题意，，则直线的斜率为，方程为，即，
由，解得，则圆的圆心，，
所以所求圆的方程为：.
（2）圆的圆心，半径，
当切线的斜率不存在时，，点到切线的距离为2，不等于半径，不满足题意；
当切线的斜率存在时，设，即，
则，解得，
所以切线的斜率为.
21．（2024·高二·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：
(1)求圆C的方程．
(2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．
【解析】（1）因为和，线段的中点为0,2，且，
则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上，
又已知圆心在轴上，令，得，
故圆心为，半径，
则圆圆C的方程为.
（2）由圆心2,0到直线的距离，.
故线段的长度为.
【高考真题】
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，AB的最小，
此时.
故选：C
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，
，此时.
故选：C
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【解析】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.
5．（2021年北京市高考数学试题）已知直线（为常数）与圆交于点M，N，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，MN取得最小值为，解得.
故选：C.
6．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
7．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
8．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
9．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
11．（2022年新高考全国I卷数学真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【解析】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
12．（2021年天津高考数学试题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
【答案】
【解析】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.