高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时训练，共25页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc178779126" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc178779126 \h 2
\l "_Tc178779127" 题型一：圆的标准方程 PAGEREF _Tc178779127 \h 2
\l "_Tc178779128" 题型二：圆的一般方程 PAGEREF _Tc178779128 \h 3
\l "_Tc178779129" 题型三：点与圆的位置关系 PAGEREF _Tc178779129 \h 4
\l "_Tc178779130" 题型四：二元二次曲线与圆的关系 PAGEREF _Tc178779130 \h 5
\l "_Tc178779131" 题型五：圆过定点问题 PAGEREF _Tc178779131 \h 7
\l "_Tc178779132" 题型六：轨迹问题 PAGEREF _Tc178779132 \h 7
\l "_Tc178779133" 题型七：与圆有关的对称问题 PAGEREF _Tc178779133 \h 10
\l "_Tc178779134" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc178779134 \h 11
\l "_Tc178779135" 【高考真题】 PAGEREF _Tc178779135 \h 20
【题型归纳】
题型一：圆的标准方程
1．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为圆以为直径，所以圆心的坐标为，
半径为，
圆的标准方程为.
故选：B.
2．（2024·高二·北京海淀·期中）已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意设所求圆的方程为，
代入点，得，
所以所求圆的方程为．
故选：B．
3．（2024·高二·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设圆C的圆心坐标为，半径为，则圆C的方程为，
由点和点在圆C上，
可得①，②，
由①②可得，
故圆C的标准方程为.
故选：A.
4．（2024·高二·四川成都·期末）已知圆 的圆心为 ，且圆 与 轴的交点分别为 ，则圆 的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为圆与轴的交点分别为，所以圆心在直线上，即有，圆心，，所以圆的标准方程为．
故选：B．
题型二：圆的一般方程
5．（2024·高二·全国·课后作业）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，圆的半径，
所以圆的方程为，
所以圆的一般方程为.
故选：C.
6．（2024·高二·河北·学业考试）经过坐标原点，且圆心坐标为的圆的一般方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程．根据题意，圆的圆心为，且过原点，
且其半径，
则其标准方程为，
变形可得其一般方程是，
故选：C．
7．（2024·高二·全国·专题练习）已知，则的外接圆的一般方程为 .
【答案】
【解析】设外接圆的一般方程为：，
将三点坐标代入得：，
解得：，
所以的外接圆的一般方程为：．
故答案为：.
8．（2024·高三·内蒙古·阶段练习）若的三个顶点的坐标分别为，，，则该三角形的外接圆的一般方程是 ．
【答案】
【解析】设的外接圆的一般方程为．
∵的三个顶点的坐标分别为，，，
∴可得方程组解得
∴的外接圆的一般方程为．
故答案为：．
9．（2024·高二·江苏·阶段练习）已知顶点的坐标为，，，则其外接圆的一般方程为 .
【答案】.
【解析】设圆的方程为 ，
把△ABC的顶点坐标，，，代入可得：
，
解得： ，故所求的△ABC的外接圆的方程为：．
故答案为：.
题型三：点与圆的位置关系
10．（2024·高二·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误，
对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误，
对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误，
对于D，因为，所以在圆内，所以D正确.
故选：D
11．（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圆，即圆，则，解得．
过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得．
故．
故选：C
12．（2024·高三·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】点在圆内，
所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件.
故选：A.
题型四：二元二次曲线与圆的关系
13．（2024·高二·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】由题意可得：，解得或，
所以方程表示圆的充要条件是或.
故选：D.
14．（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：B
15．（2024·高二·山东青岛·期中）若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（ ）．
A．B．或C．D．
【答案】C
【解析】若方程表示的曲线为圆，
则，
即，
解得：，
故选:C．
16．（2024·高二·广东东莞·期中）方程表示圆，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】方程，即为，
若它表示圆，需满足，故.
故选：A．
17．（2024·高二·北京·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方程化为：，
因方程表示圆，于是得，解得，
所以的取值范围是：.
故选：A
题型五：圆过定点问题
18．（2024·高二·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 .
【答案】、
【解析】由由得，故，解得或.
故填：、.
19．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 .
【答案】
【解析】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆.
由，解得
即定点坐标为.
故答案为
题型六：轨迹问题
20．（2024·高二·上海·随堂练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设Mx,y，由，得，
可得：，即，
整理得，故动点的轨迹方程为.
故答案为：.
21．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，二次函数与轴的交点为，则以为斜边的的顶点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】令，解，得A-2,0，B4,0．
设，由于直角三角形斜边上的中点为，
如图所示，则半径为，即得圆的方程为．
又点为的顶点，所以，故的轨迹方程为．
故答案为：.
22．（2024·高二·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设连线的中点为，则，
则，即.
故答案为：
23．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________
①过点；
②圆恒被直线平分；
③与轴相切.
(1)求圆的为程；
(2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
【解析】（1）选条件①．设圆的方程为，
将，代入可得
，解得，
则圆的方程为．
选条件②．
直线恒过点．
因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为，即．
选条件③．
设圆的方程为，
由题意可得，解得，
则圆的方程为，即．
（2）设，，
因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
所以的轨迹方程为．
24．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知点，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹方程：
(2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程；
【解析】（1）依题意，设点，又，
因为，即，
化简可得，即，
所以动点P的轨迹方程为；
（2）设，又，
因为，所以，
即，得，
由（1）知，所以，
整理得动点Q的轨迹方程为.
题型七：与圆有关的对称问题
25．（2024·高二·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，
则圆心在直线上，故代入解得，
故选：D．
26．（2024·高二·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，则的中点的坐标为，
直线的斜率.
由圆与圆关于对称，得的斜率.
因为的中点在上，所以，即.
故选：C.
27．（2024·高一·江西宜春·阶段练习）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．20
【答案】D
【解析】圆的圆心坐标为，
圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有，
，
当时，有最小值20.
故选：D
28．（2024·高二·山西运城·阶段练习）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由圆可得标准方程为，
即圆心为，
因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心，
即，整理得（，），
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：A．
【重难点集训】
1．（2024·高二·全国·课后作业）已知动直线恒过定点，圆，则以为圆心，半径与圆半径相等的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】动直线，可化为，故恒过定点，
又易得圆的半径为2，则以为圆心，以圆的半径为半径的圆的标准方程是．
故选：D.
2．（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，解得，.
因为在上，所以，解得，经检验，符合题意.
故选：B
3．（2024·高一·浙江台州·专题练习）如图，在中，，，点是内部一点，且满足，则点在运动过程中所形成的图形的长是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知，，
则，
即，
设中点为，则，且，
如图建立平面直角坐标系，则，，，
设Mx,y，
由，
则，
化简可得，
即点在以为圆心，为半径的圆上，
则、在圆上，
令，则，，
即圆与轴交于，两点，，
且，及
所以点在内的轨迹为，
其长度为，
故选：B.
4．（2024·高三·江西新余·专题练习）已知集合，，则：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合表示半径为1的圆形除去圆心，
集合表示半径为1的圆形除去与坐标轴重合的部分，
故选：B.
5．（2024·高二·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（ ）
A．
B．（除去两点）
C．（除去两点）
D．（除去两点）
【答案】B
【解析】设点，
由，得，
即，
又点与点不重合且不共线，所以需除去两点．
故选：B．
6．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，即求的最小值.
设，则，
整理，得点的轨迹方程为.
又点在圆上，
所以，解得，所以，
所以，
即的最小值为.
故选：.
7．（2024·高二·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，方程为：，对应的图象为选项A，
当时，方程为：，对应的图象为选项B，
当时，方程为：，
得，对应的图象为选项C，
选项D图形是四条线段，没有方程与之对应，
故选：D
8．（2024·高一·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（ ）
A．3B．7C．D．
【答案】A
【解析】化简可得，即在圆上，
则表示为圆上点到直线距离的倍，
圆心到直线距离为，
则的最小值为.
故选：A
9．（多选题）（2024·高二·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．当最大时，的面积为2
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示，
对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确；
对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误；
对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大，
当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确；
对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确．
故选：ACD．
10．（多选题）（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知直线，，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在m的值，使得与 不互相垂直
B． 和分别过定点0,2和
C．存在m的值，使得和关于直线对称
D．若和交于点M，则OM的最大值是3
【答案】BC
【解析】对于A，因为，故无论取何值，与 都互相垂直，故A错误；
对于B，直线，当时，恒成立，故过定点，
当时，恒成立，故过定点B-2,0，故B正确；
对于C，在上任取点，关于直线的对称点坐标为，
代入的方程得：，当时，方程恒成立，
故存在，使得和关于直线x+y=0对称，故C正确；
对于D，由选项AB知，,故点的轨迹是以为直径的圆(除原点外），
故圆心为，半径,
故的最大值为,故D错误.
故选：BC
11．（多选题）（2024·高二·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．若点在圆上，则直线的斜率为
C．点在圆外
D．若是圆上任一点，则的取值范围为．
【答案】ACD
【解析】将把转化为标准方程,
则，如图所示：
对于A：圆心C的坐标为，故A正确；
对于B：当点在圆上，则有，
化简得，解得.
即，所以直线的斜率为，故B错误；
对于C：因为，所以点在圆外，故C正确；
对于D：因为， ，
所以，即，故D正确.
故选：ACD.
12．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ．
【答案】
【解析】设平面内的动点Px,y，由得，
所以，
化简得，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以周长是.
故答案为：.
13．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题；平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．现有，，则的最大面积为 ．
【答案】12
【解析】以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，
设，由，得，
整理得，因此点的轨迹方程为，，
显然上的点到轴，即直线距离的最大值为4，
所以面积的最大值为.
故答案为：12
14．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，若直线过的外接圆的圆心，则 ；若点在的外接圆内，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设的外接圆方程为，，
则，解得，
于是的外接圆方程为，即，其圆心，
由点在直线上，得，解得，
由点在的外接圆内，得，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：；
15．（2024·高二·全国·随堂练习）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，求线段的中点M的轨迹方程．
【解析】设,由中点坐标公式可得,
可得，
由于在圆上运动，所以，
即，
所以M的轨迹方程为.
16．（2024·高二·湖南益阳·阶段练习）已知直线：，：，且满足，垂足为C.
(1)求m的值及点C的坐标.
(2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程.
【解析】（1）显然，可得，，
由，可得，即，解得，
所以直线：，直线：，
联立方程组，解得，所以点．
（2）由直线：，直线：，可得，，
所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径，
所以的外接圆方程是．
17．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，，，动点M在内部且满足．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)求的最小值．
【解析】（1）由，，，则有，，
因为，，所以.
在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），
所以，解得：.
设E为AC的中点，有，又，所以钝角的外接圆的圆心为O，
又点M在内部，所以点M的轨迹为：.
（2）设Mx,y，则有.
由，
所以当时有最小值.
【高考真题】
1．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
2．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
3．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
4．（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））以点为圆心且与直线相切的圆的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，圆的半径，故所求圆的方程为.
故选C
5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标III卷））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
6．（2024年上海市1月春考数学试题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）

【答案】
【解析】如图，以为原点建系，易知，连接，
不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为，
化简得，所以圆心为，半径为，且经过点
即，化简得，
解得，
结合题意可得，故圆的周长为.
故答案为：
7．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
9．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为 .
【答案】
【解析】设圆的一般方程为.
因圆心在直线上，
所以，即.①
又因点，在圆上，
所以，②
由①②，解得，，，
所以圆的一般方程为.
故答案为：.
10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：，则圆的方程为.