人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程精练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程精练，共30页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc177645046" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc177645046 \h 2
\l "_Tc177645047" 题型一：点斜式直线方程 PAGEREF _Tc177645047 \h 2
\l "_Tc177645048" 题型二：斜截式直线方程 PAGEREF _Tc177645048 \h 3
\l "_Tc177645049" 题型三：两点式直线方程 PAGEREF _Tc177645049 \h 4
\l "_Tc177645050" 题型四：截距式直线方程 PAGEREF _Tc177645050 \h 5
\l "_Tc177645051" 题型五：中点坐标公式 PAGEREF _Tc177645051 \h 7
\l "_Tc177645052" 题型六：直线的一般式方程 PAGEREF _Tc177645052 \h 8
\l "_Tc177645053" 题型七：直线方程的综合应用 PAGEREF _Tc177645053 \h 9
\l "_Tc177645054" 题型八：判断动直线所过定点 PAGEREF _Tc177645054 \h 12
\l "_Tc177645055" 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 PAGEREF _Tc177645055 \h 12
\l "_Tc177645056" 题型十：直线方程的实际应用 PAGEREF _Tc177645056 \h 15
\l "_Tc177645057" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc177645057 \h 18
\l "_Tc177645058" 【高考真题】 PAGEREF _Tc177645058 \h 28
【题型归纳】
题型一：点斜式直线方程
1．（2024·高二·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，
则斜率，又，故，
设直线的的倾斜角为，则，
直线的斜率，
又直线经过点，
则直线的点斜式方程为：.
故答案为：.
2．（2024·高二·全国·课后作业）直线过点（,4），倾斜角为，则直线的点斜式方程为 ．
【答案】
【解析】因为倾斜角为，故直线斜率，
又直线过点（,4），所以直线的点斜式方程为.
故答案为：
3．（2024·高二·全国·课后作业）经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 .
【答案】
【解析】设直线的斜率为，
与直线平行的直线的斜率为，
与直线垂直的直线斜率为.
由得，
由两直线平行知.
所以所求直线方程为，即；
由两直线垂直知，
所以与直线垂直的直线的点斜式方程为.
故答案为：;
4．（2024·高二·全国·课后作业）直线l经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则l的点斜式方程为 ．
【答案】
【解析】依题意直线的倾斜角为或，
所以直线的斜率或，
所以直线方程为；
故答案为：
5．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为 ．
【答案】
【解析】因为，，所以，故，
又直线l经过点，故直线l的点斜式方程为.
故答案为：.
题型二：斜截式直线方程
6．（2024·高二·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 .
【答案】
【解析】设所求直线斜率为k，则，
即，又在y轴上的截距为4，
则直线为，与y轴交点为.
故答案为：；.
7．（2024·高二·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ．
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，
所以直线的方程，即.
故答案为：.
8．（2024·高二·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】斜率，
点斜式方程为，
斜截式方程为.
故选：A
9．（2024·高二·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为所求的直线与直线垂直，所以，得.
设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点，
求得,所以所求直线的斜截式方程为，
故选：B.
题型三：两点式直线方程
10．（2024·高二·全国·课后作业）一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（ ）
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
【答案】B
【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．
由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．
故选：B
11．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ．
【答案】
【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件，
当直线经过时，两点式方程为：，
于是直线的两点式方程为：.
故答案为：
12．（2024·高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为 ．
【答案】
【解析】过点，直线的两点式方程为
故答案为：
13．（2024·高二·全国·课后作业）经过点､的直线的两点式方程为 .
【答案】
【解析】因为直线经过点､，
由直线的两点式方程可得，可得，即，
所以直线的两点式方程为.
故答案为：.
题型四：截距式直线方程
14．（2024·高二·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（ ）
A．，2B．，2C．，D．，
【答案】B
【解析】直线，当时，，当时，，
所以直线在轴和轴上的截距分别为，2.
故选：B
15．（2024·高二·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为y=2x，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故C项正确.
故选：C.
16．（2024·高二·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（ ）
A．2x+y-5=0B．x+2y-4=0
C．x-2y=0或x+2y-4=0D．x-2y=0或2x+y-5=0
【答案】C
【解析】当截距为0时，设直线的方程为：，
因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：；
当截距不为0时，设直线方程为，
因为直线过点（2，1），所以，则，
所以直线方程为，即，
综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0，
故选：C
题型五：中点坐标公式
17．（2024·高二·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即.
故选：D
18．（2024·高二·江苏徐州·期中）直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】因A、两点在x轴和轴上，设，
因是线段的中点，则，
故直线的截距式方程为：.
故答案为：.
19．（2024·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为 ．
【答案】
【解析】设直线与和，分别交于点和，
因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，
所以和，则，
可得直线的方程为，即.
故答案为：.
20．（2024·高二·湖北·阶段练习）直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为 .
【答案】.
【解析】由题意，设，由中点坐标公式得，则，则直线l的方程为：.
故答案为：.
题型六：直线的一般式方程
21．（2024·高二·江苏徐州·开学考试）过点且斜率为1的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可得直线为，化简得.
故选：D
22．（2024·高二·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为直线经过点且斜率为，
所以直线方程为，即.
故选：D.
23．（2024·高二·江苏淮安·期末）直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 .
【答案】
【解析】直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
当时，，当时，，
所以直线与，轴围成的三角形面积为.
故答案为：
24．（2024·高二·上海·随堂练习）若原点在直线上的射影为，则直线的一般式方程为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
则直线的方程为，即.
故答案为：
25．（2024·高二·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线的方程．
(1)经过点和；
(2)平行于向量，并且经过点．
【解析】（1）由已知条件可知直线的一个方向向量，
直线的一个法向量．
因此可设直线的一般式方程为，
代入，得，
所求直线的方程为．
（2）所求直线平行于向量，
所求直线的斜率为．
又直线经过点，
所求直线的方程为，整理得．
题型七：直线方程的综合应用
26．（2024·高一·广西桂林·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求：
(1)所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程.
【解析】（1）由，，得直线的斜率为，
所以所在直线的方程为，即.
（2）由（1）知，直线的斜率为，而，
则边上的高所在直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
27．（2024·高二·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为.
(1)求BC边上的中线AD所在直线方程；
(2)求BC边上的高AE所在直线方程.
【解析】（1）由题意可知，作出图形如图所示
因为，所以BC的中点为，
因为在BC边上的中线上，
所以所求直线方程为，即.
即BC边上的中线所在直线的方程为.
（2）由题意可知，作出图形如图所示
因为，
所以直线BC的斜率为，
因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，
所以BC边上的高所在直线的斜率为，
因为在BC边上的高上，
所以所求直线方程为，即.
即BC边上的高所在直线的方程为.
28．（2024·高二·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 .
【答案】
【解析】直线，即，
所以直线过定点.
直线，即，
所以直线过定点.
所以，
由于，所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
29．（2024·高二·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，，点是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)求过点且与直线垂直的直线方程．
【解析】（1）设点的坐标为，则，
由题意，，又，
故，解得，，，
所以点的坐标为，
则，
所以直线的方程为，
即；
（2）设所求直线为，
点是线段的中点，则，
直线的斜率为，
由于直线与垂直，故直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即．
题型八：判断动直线所过定点
30．（2024·高二·福建厦门·期中）不论k为何实数，直线恒过一个定点，这个定点的坐标是 .
【答案】
【解析】直线即，令，得，
所以直线恒过定点.
故答案为：.
31．（2024·高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 .
【答案】（－1，－1）
【解析】解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由
得
所以定点坐标是（－1，－1）.
【考查意图】直线过定点.
32．（2024·高二·全国·课后作业）直线经过的定点是 ．
【答案】
【解析】由，
则，得，直线过定点.
故答案为：
题型九：直线与坐标轴形成三角形问题
33．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，
(1)求三角形面积取最小值时直线的方程；
(2)求取最小值时直线的方程．
【解析】（1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，
由基本不等式可得，
所以，，
当且仅当即时，取得最小值，
所以面积，
所以当，时，面积最小，
此时直线的方程为，即，
（2）因为，，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以当，时，的值最小，
此时直线的方程为，即．
34．（2024·高一·浙江宁波·期末）已知直线.
(1)求证：直线过定点；
(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
【解析】（1）由，即，
则，解得，
所以直线过定点；
（2）
如图所示，结合图像可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程为，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上所述；
（3）已知直线，且由题意知，
令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，取最小值，
此时直线的方程为，即.
35．（2024·高二·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.
【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为.
当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:.
综上所述，直线的方程为或.
（2）,
∵不经过第二象限,∴,解得.
∴实数a的取值范围是.
（3）令,解得,解得;
令,解得,解得或.
综上有.
∴
,
当且仅当时取等号.
∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即
题型十：直线方程的实际应用
36．（2024·高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．
【解析】依题意，设l与t的关系式为：，是常数，
于是得，解得，
则l与t的关系式为，当时，，
所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m.
37．（2024·高二·全国·课后作业）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
【解析】如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，
则点A(0，300)，B(x，700)．
设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，
故点B(300，700)．
设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，
则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.
令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，
故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
38．（2024·高二·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，．
（1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程；
（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到）
【解析】（1）由题意得，
所以线段所在直线的方程为，即；
（2）设，则草坪的占地面积
故当时，，此时．
39．（2024·高二·上海浦东新·期中）足球比赛中，攻方队员在守方队员的逼抢下，其行进路线可看作一条直线，已如球门两根立柱的坐标分别为，，直线过两点，．球场的长度、宽度分别100，60（单位：米）．
现攻方队员在行进过程中寻求机会射门，其位置用点表示，
（1）若以攻方队员与球门中心（为坐标原点）的距离最近为标准，求点的坐标；
（2）若以攻方队员对球门范围的视角最大（即最大）为标准，求点的坐标．
（结果保留一位小数）
【解析】建立平面直角坐标系如下图所示，由于直线过两点，，故直线的方程为，化简得.
（1）当直线时，攻防队员与球门中心的距离最近，直线的方程为.由解得.
（1）设，则，
①当，时，轴，.
②当，时，轴，.
③当且时，，.当且仅当，即时，取得最大值，也即取得最大值，此时.
【重难点集训】
1．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【解析】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，
有，
故,当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为
故选:
2．（2024·高二·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，即，
所以直线恒过定点.
故选：C.
3．（2024·高二·广东广州·期中）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线的斜率，则该直线的倾斜角为.
故选：B.
4．（2024·高二·全国·课前预习）若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线的倾斜角为，
直线的斜率，
直线的一个方向向量为，则直线的一个法向量为．
故选：B.
5．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．不能表示过点Mx1,y1且斜率为k的直线方程
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C．直线与y轴的交点到原点的距离为b
D．设，，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是
【答案】A
【解析】对于选项A：由可知，所以不过点,，故选项A正确，
对于选项B：当时，在轴、轴上的截距分别为0的直线不可用表示，故选项B错误，
对于选项C：直线与轴的交点为，到原点的距离为，故选项C错误，
对于选项D：直线方程可化为，恒过定点，画出图形，如图所示，
，，
若直线与线段有交点，则，或，
即或，故选项D错误，
故选：A．
6．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为直线，
所以可将直线方程变形为，
，解得，，
由此可得直线系恒过点
到直线的最远距离为，此时直线垂直于，，
直线的斜率为，
，，
直线的一般方程为．
故选：A
7．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（ ）
A．若，则，B．若，则，
C．若，则，D．若，则，
【答案】C
【解析】易知，由直线，可得，
根据图象可得，，
若，则，；
若，则，．
故选：C
8．（2024·高二·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【解析】可化为①，
要使与两坐标轴能围成三角形，则且，
由①令得；令得，
依题意，
，所以或,
所以或，
设，则或，
则或
解得或，
即或，
即或，
所以这样的直线有条.
故选：D
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
直线斜率为2，有，则.
依题意有或，
当时，，即，
解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合；
当时，，即，
解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合.
故选：BC
10．（多选题）（2024·高二·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．方程与方程可表示同一直线
C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
D．过两点的直线都可用方程表示
【答案】AD
【解析】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确；
对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误；
对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或，
所以直线方程为或，故C错误；
对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点Px1,y1、Qx2,y2的直线，故D正确；
故选：AD.
11．（多选题）（2024·高二·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点B．若，则或
C．若，则或2D．当时，始终不过第三象限
【答案】ACD
【解析】选项A：：，令，得，过点，A正确；
选项B：当时，，重合，故B错误；
选项C：当时，由，得或2，故C正确；
选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：ACD
12．（2024·高二·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，，故直线不过原点，
则直线一定通过三个象限，
而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限，
得到，解得.
故答案为：
13．（2024·高二·全国·课后作业）直线l过原点，且垂直于向量．若角的终边落在直线l上，则 ．
【答案】/
【解析】因为直线l过原点，且垂直于向量，
所以直线l的方程为，
当时，取终边上的点，可得，
当时，取终边上的点，可得，
所以若角的终边落在直线l上，则，
．
故答案为：
14．（2024·高三·全国·专题练习）若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 .
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
15．（2024·高二·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：.
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长.
【解析】（1）证明：由可得：，
令，
所以直线过定点．
（2）由（1）知，直线恒过定点，
由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为，
令x=0，得；令，得，
所以面积 ，
当且仅当，即时，面积最小，
此时，，，
的周长为.
所以当面积最小时，的周长为.
16．（2024·高二·广西·开学考试）已知直线，直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【解析】（1）因为，所以，
整理得
解得或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
故.
（2）因为，所以
解得或.
17．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线过定点．
(1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；
(2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．
【解析】（1）直线，则直线过定点，
①当，时，设的方程为．
点在直线上，．
若，则，
直线的方程为，
若，则，，
直线的方程为；
②当时，直线过原点，且过点，
直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或或；
（2）令，则；令，则，
直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，，
为坐标原点，设的面积为，
则，
当且仅当时，即时取等号，
故的最小值为24，此时，
直线．
18．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线.
(1)求证：直线过定点；
(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，即，
则，解得，
所以直线过定点；
（2）
如图所示，结合图像可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程为，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上所述.
19．（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.
(1)当时，求直线的方程；
(2)当的面积为时，求直线的方程.
【解析】（1）设直线的方程为，且
由，得，由直线过点，得，解得，
所以直线的方程为.
（2）设直线的方程为，且直线不经过原点，
由题意知，，，解得或，
所以直线的方程为或.
20．（2024·高二·浙江·阶段练习）已知，由确定两个点.
(1)写出直线的方程（答案含）；
(2)在内作内接正方形，顶点在边上，顶点在边上.若，当正方形的面积最大时，求的值.
【解析】（1）由题意知当直线斜率存在时，，
当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为.
直线的方程为.
（2）由和四边形为正方形可知，
，
因为点在直线上，
所以，
所以，
而正方形的面积最大，即最大，
所以当时，，此时图中阴影部分的面积最大.
【高考真题】
1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为，
再将该直线向右平移1个单位可得：，即.
故选：A.
2．（2003 年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））在同一坐标系中，表示直线与正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项，A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确.
故选：C
3．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷IV））过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得直线的斜率为，
则过点且垂直于直线的直线斜率为，
直线方程为，
化为一般式为．
故选：A．
4．（2004年普通高等学枚招生考试数学（文）试题（全国卷II））已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为，
所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.
故选：B
5．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率，
所以直线与轴的交点为，
所以直线的点斜式方程可得：，
即．
故选：D
6．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ．
【答案】
【解析】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
则直线的方程为，
直线过点，，
，
，
，即，
当且仅当， 即 时取等号，
面积最小值为.
故答案为：.
7．（2004 年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ．
【答案】/
【解析】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为，
则，所以.
故答案为：.