初中数学北师大版（2024）九年级下册1 锐角三角函数复习练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册1 锐角三角函数复习练习题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（﹣2，﹣2），∠ABC＝60°，则k的值是（ ）
A．4B．6C．4D．12
2．在中，，a，b，c分别表示的对边，那么下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在，，，若，则BC等于（ ）．
A．6B．C．D．
4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则
A．B．C．D．
5．如图，在正方形中，E是对角线上一点，将线段绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接．
下列结论：
①若，则；
②；
③若，则；
④若，则．
其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．在中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（ ）
A．B．C．D．1
9．如图，点，，均在正方形网格纸中的格点上，则的值是（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）
A．B．3C．D．
11．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，在△ABC中，∠A=90°．若AB=12，AC=5，则csC的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，与交于点，那么 ．
14．如图，网格中每个小正方形的边长均相等，点、、都在格点上，则的值为 ．
15．如图，点M，N分别是正方形的边上的点，且M为边的中点．已知，则 ．
16．在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与轴正半轴的夹角为，那么 ．
17．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是 ．
三、解答题
18．计算：
19．如图1，图2所示，正方形网格中每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形；请按要求画出符合条件的格点三角形．
(1)在图1中，画出以为直角边的等腰直角三角形；
(2)在图2中，画出以为一边的等腰三角形；且保证一个内角的正切值为并直接写出的面积
20．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米）
21．小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：
(1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________；
(2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P；
②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度．
22．综合与实践：
主题：制作长方体包装盒．
素材：一张边长为的正方形纸板．
步骤1：如图1，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下作等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分．
步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点О处，如图2，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．

猜想与计算：
(1)四边形的形状为______；
(2)若该长方体包装盒的底面积为，求该长方体包装盒的体积．
23．如图1，已知：四边形中，，．

(1)求证：；
(2)如图2，当时，F是上一点，E是上一点，交于H，交于点G，，，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的长．
24．如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
《1.1锐角三角函数》参考答案
1．D
【分析】根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（﹣2，2），
∴OA＝2，
∴BO＝＝，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x，
∴直线BD的解析式为y＝x，
∴点B的坐标为（2，2），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴，
解得，k＝12，
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2．A
【分析】根据锐角三角函数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：如图，

∵，
∴，故A选项错误，符合题意；
∵，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，故D选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦；锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦；锐角的对边与邻边的比叫做该锐角的正切是解题的关键．
3．C
【分析】根据直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半，的到边AC=6，再有勾股定理得到BC的长度．
【详解】解：在，，
∵，，
∴AC=6,，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数（正切的定义），属于基础题型．
4．C
【分析】根据网格结构找出∠C所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】如图，
∠C所在的直角三角形的对边是4，邻边是8，
所以，tan∠C=．
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
5．B
【分析】证明△ABE≌△CBE和可得 AE=CE，，，根据三角形内角和定理可判断①正确；在Rt△中，运用勾股定理可得，在Rt△中运用勾股定理可得，从而可判断②正确；③证明可得，故可判断③错误；连接AC交BD于点O，计算可得CO=9，根据正弦定义可判断④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD，
在△ABE和△CBE

∴△ABE≌△CBE
∴AE=CE
由旋转可知，，
∴，
又
∴
∴
又
∴
∴，
①若，则，
∴
∵
∴
∴，故①正确；
②∵，
∴
在Rt△中，
∴
在Rt△中，
∴，故②正确；
③若，则 ,
∴同①可得
∴
∴，故③错误；
④连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，且是等腰直角三角形，
∵
∴
∵EC=10
∴
∴正确的结论有3个，
故选：B
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，旋转的性质，解直角三角形等知识，解决本题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．C
【分析】先根据勾股定理求得AC，再根据正弦的定义求解即可；
【详解】∵在中，，,，
∴，
∴；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键．
7．A
【分析】先根据勾股定理求出，再根据正弦公式：，求解即可．
【详解】解：，，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及求解正弦函数值，熟记正弦求值公式是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据判别式的意义得到，即可求出．
【详解】解：根据题意得，
解得：．
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了求正弦值，取格点，勾股定理求得的长，进而根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，取格点，

在中，
∴
∴，
故选：A．
10．A
【分析】根据勾股定理解得AB，AO，BO的长，再由即可解答．
【详解】解：由图可知，AB=2，AO=，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理与网格、正弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
11．D
【分析】根据三角函数的定义计算判断即可．
【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意；
B、由，故该项错误，不符合题意；
C、由，故该项错误，不符合题意；
D、由，故该项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键．
12．A
【详解】∵∠A=90°，AC=5，AB=12，
∴BC==13，
∴csC=，
故选A.
13．
【分析】要求∠APD的正切值，要把∠APD放在直角三角形中，构造直角三角形，连结正方形的对角线AE，EF、FB，故有AE =EF=FB=CD，直角三角形构成△AEG，下面解决AE与EG的关系，发现G在EF上，EF=AE，只要G为EF中点，为此证△AGE≌△BGF，在Rt△AGE中tan∠AGE可求即可．
【详解】如图连结AE、EF、FB，EF与AB交于G，
由正方形知AE=EF=EB=DC，∠AEG=∠GFB=90º,∠AGE=∠BGF,
∴△AGE≌△BGF(AAS)，
EG=FG=AE，
∵EF∥DC，
∴∠AGE=∠APD，
在Rt△AGE中tan∠AGE==2,
∴tan∠APD=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查网格中求角的正切值问题，关键是把给的角转移到三角形中，掌握正方形性质，全等三角形性质，三角函数．
14．/
【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解．
【详解】解：如图，取格点D，连接，
由格点及勾股定理知：，，，
，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：．
15．13
【分析】延长交于点E，过点E作于点F，根据，可得，再证明，可得，
设，则，可得，，，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点E，过点E作于点F，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵M为边的中点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或1（舍去），
∴．
故答案为：13
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明和是解题的关键．
16．
【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形的性质及勾股定理即可求解.
【详解】由题意可知OA=
∴
故答案为
【点睛】此题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟知余弦的定义.
17．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinα＝，进而求出即可．
【详解】解：如图所示：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
∴sinα＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键．
18．
【分析】本题考查实数的混合运算，理解，，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
【详解】原式．
19．(1)见解析
(2)，图见解析
【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形，解直角三角形等知识，解题的关键是数形结合．
（1）以点为旋转中心，将逆时旋转得到，最后连接即可；
（2）根据勾股定理可得，则取，此时，再连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
．
20．44米
【分析】如图，作交于点G，交于点H，延长交于点F；通过三角函数计算求出线段，再根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，求出的长；根据相似三角形的判定定理之一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可知：；利用相似三角形性质：对应高的比等于相似比，从而求出最终结果．
【详解】解：如图，延长交于点F，作交于点G，交于点H，
∵斜坡米，坡角，
∴米；
∵米，
∴米，
∵根据题意，
∴四边形是矩形，
∴米；
∵，
∴，
∴，即，
解得：米，
故这栋楼的高度为44米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理、性质和矩形的判定定理及锐角三角函数的运用，熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解本题的关键．
21．(1)
(2)①见解析；②3
【分析】（1）如图1，过作交于，则，即为木杆在地面上影子，根据，计算求解即可；
（2）①根据中心投影的性质作图即可；②如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过作交于，
∴，即为木杆在地面上影子，
∴，
故答案为：；
（2）①解：由中心投影的性质作图，如图2，点即为所求；
②解：如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长，
∵，
∴，，
∴，即，
解得，，
∴路灯P距离地面的高度为3．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)矩形
(2)
【分析】（1）由题意可得，，进而可证四边形是矩形；
（2）由题意可得，由四边形是矩形，可得，则，，，然后根据底面积乘高求体积即可．
【详解】（1）解：∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
由题意可得，，
∴四边形是矩形，
故答案为：矩形；
（2）解：∵长方体包装盒的底面积为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴该长方体包装盒的体积为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，正弦，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，正弦，矩形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）可证明四边形是平行四边形，从而得出结论；
（2）延长至Q，使，连接，可证明，从而，，进而证得是等腰直角三角形，进一步得出结果；
（3）作，交于Q，作于H，可得出，，根据，从而推出，从而得出依次推出，，，，可证得，从而，，进而得出，设，则，从而在中根据勾股定理列出方程求得x的值，进一步得出结果．
【详解】（1）（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：如图1，

延长至Q，使，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴四边形是平行四边形，
∴，DE∥CQ，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图4，

作，交于Q，作于H，
可得四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
又，
由①②③得，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
如图5，

作于P，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形以及根据角之间的数量关系，倒角出角的平分线．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接交于，则，证明，则，证明，则，进而结论得证；
（2）由，可得，即，由菱形的性质可知，，，由勾股定理得，，可求，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接交于，
∵平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，即，
∵四边形是菱形；
∴，，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正切，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正切，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
C
B
C
A
D
A
A
题号
11
12








答案
D
A