北师大版（2024）九年级下册3 垂径定理当堂检测题

这是一份北师大版（2024）九年级下册3 垂径定理当堂检测题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列说法：①经过三点可以作一个圆；②90°的角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：
①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；
②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；
③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；
④计算出橡胶棒CD的长度.
小明计算橡胶棒CD的长度为（ ）
A．2分米B．2分米C．3分米D．3分米
3．如图，P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
4．下列命题是真命题的是( )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．若三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，则该三角形是正三角形
5．如图是一个圆弧形门拱，拱高AB=1，跨度CD=6，那么这个门拱的半径为（ ）
A．2mB．2.5mC．3mD．5m
6．如图，在半径为10的中，垂直弦于点，则的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．如图，廊桥的圆拱的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为8米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为2米，则廊桥的桥拱圆弧的半径（ ）
A．5米B．4米C．米D．米
8．已知圆O的半径为3，AB、AC是圆O的两条弦，AB=3，AC=3，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°或105°B．15°或105°C．15°或75°D．30°或90°
9．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（ ）
A． cmB．10cmC．8cmD． cm
10．如图，是的直径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点，直线与相交于、两点，若，则的长为（ ）
A．B．8C．D．
11．已知的半径为5，弦，M是上一点，且的长为整数，则点M的位置有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
12．如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）米
A．B．C．D．
二、填空题
13．半径为2的圆中，弦、分别长和，则的度数是 ．
14．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是 ．
15．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面的宽度为，F是线段的中点，经过圆心O交于点E，，则半径的长为 ．
16．若⊙的一条弦长为24，弦心距为5，则⊙的直径长为 ．
17．如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点到地面的距离为，整个地漏的高度（为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 ；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点恰好落在中点，若点到的距离为，则密封盖下沉的最大距离为 ．
三、解答题
18．如图1，的直径，点为线段上一动点，过点作的垂线交于点，，连结，.设的长为，的面积为.
小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题.
（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了与的几组对应值，如下表：
请求出表中小东漏填的数；
（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象；
（3）结合画出的函数图象，当的面积为时，求出的长.
19．尺规作图（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦，且圆心P到∠AOB两边的距离相等．结论：
20．如图，水管内原有积水的水面宽，水深．因几天连续下雨水面上升（即），求此时水面的宽是多少？

21．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里）
(1)某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东，，求在监测点测的方位是什么？
(2)当可疑船只由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．
22．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，求圆的半径．
23．如图，已知AB=AC，∠APC=60°
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
24．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证：
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
0.7
1.7
2.9
4.8
5.2
4.6
0
《3.3垂径定理》参考答案
1．A
【详解】分析：根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆周角定理对③行判断，根据直径对④判断．
详解：经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，所以①错误；
90°的圆周角所对的弦是直径，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以③错误；
直径为圆中最长的弦，故④正确；
故选A．
点睛：本题考查了圆的相关概念．综合性较强，熟练掌握各个定理及性质是解题的关键，注意定理中应满足的条件．
2．B
【详解】如下图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，
∵⊙O的直径为4，
∴OC=2，
又∵由题意可知：OE=⊙O的半径，
∴OE=1，
又∵在Rt△OCE中，CE=，
∴CE=，
∴CD=2CE=（分米）.
故选B.
点睛：本题是一道利用“垂径定理”构造直角三角形求弦长的问题，解题的关键是中抓住“点B沿弦CD折叠后，刚好落在圆心O处”得到OE=⊙O的半径=1，这样即可由勾股定理在Rt△OCE中求得CE的长，从而得到CD的长了.
3．C
【详解】试题分析：由于⊙O的半径为5，OP=3，则过点P的弦最短为8，长度为8的有1条，最长为10，长度是10的有1条，长度为9的弦有两条，故长度为整数的弦的条数一共有4条．故选C．
考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．垂径定理．
4．D
【分析】根据真假命题的定义及有关性质逐项判断即可.
【详解】A、真命题为:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误;
B、真命题为:对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形,故本选项错误;
C、真命题为:平分弦的直径垂直于弦(非直径),并且平分弦所对的弧,故本选项错误;
D、∵a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，∴2a2＋2b2＋2c2-2ac-2bc-2ab=0，∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0，∴a=b=c，故本选项正确.
故选D.
【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题.熟练掌握所学性质是解答本题的关键.
5．D
【解析】略
6．B
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，先由垂径定理得到，再利用勾股定理求出，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵垂直弦于点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选B．
7．A
【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA，根据垂径定理可得，，利用勾股定理即可得的长.
【详解】∵为桥拱圆弧的中点到弦的距离，
∴此圆圆心在所在的直线上，
设圆心为，连接，
∵，，
∴，，
∴，即，
解得：，
∴桥拱圆弧的半径为米.
故选A.
【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；能够构造出由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算是解题关键．
8．B
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：分别作OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别是D、E．

∵OE⊥AB，OD⊥AB，
∴AE=AB=，AD=AC=，
∴，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠CAO=90°-30°=60°，∠BAO=90°-45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，
同理可求，∠CAB′=60°-45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．
9．A
【详解】试题分析：连结OA，如图，设⊙O的半径为r，∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，在Rt△OAC中，∵OA=r，OC=OD﹣CD=r﹣6，AC=8，
∴（r﹣6）2+82=r2，解得r=，
即⊙O的半径为cm．
故选A．
【考点】垂径定理；勾股定理．
10．C
【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．连接，设AB和CD交于点，根据作图得出CD垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果．
【详解】解：连接，
设AB和CD交于点，
由作图可知：CD垂直平分，
，
，，
，
，
，
故选：．
11．B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的轴对称性，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点O作于点C，可知为的最小值，为的最大值，根据勾股定理求得，即可得到的取值范围，取其整数值再根据圆的轴对称性即可解题．
【详解】解：连接，过点O作于点C，
，
，
又，
，
．
的长为整数，
的长为3，4，5．
根据圆的轴对称性，知点M的位置共有5个．
12．A
【详解】试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r， 根据勾股定理， 得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5
考点：垂径定理的应用．
13．或
【分析】先根据题意分圆心点O在的内部和圆心点O在的外部两种情况，再画出相应的图形，然后分别利用垂径定理、解直角三角形求解即可得．
【详解】由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，圆心点O在的内部
过点O分别作于点D，作于点E，连接OA，则
在中，
在中，
（2）如图2，圆心点O在的外部
过点O分别作于点D，作于点E，连接OA，则
在中，
在中，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
14．
【分析】易知直线y=kx-3k+4过定点D（1，-1），运用勾股定理可求出OD，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题
【详解】解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，
∴此直线恒过点（1，﹣1）．
过点D作DH⊥x轴于点H，
∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝．
∵OB＝2，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝2．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（1，-1）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个性质是解决此题的关键．
15．
【分析】根据垂径定理和勾股定理，设未知数列方程求解即可．
【详解】解：∵是弦，，点F是的中点，过圆心O，
∴，
连接，设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
所以，半径的长为
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握勾股定理、勾股定理是正确解答的前提．
16．26
【分析】根据题意画出相应的图形,如图所示,由OC垂直于AB ,利用垂径定理得到 C为AB的中点,由 AB的长求出 AC的长,在直角三角形AOC 中,由 AC与OC 的长,利用勾股定理求出 OA的长,即可确定出圆O 的直径长.
【详解】解:根据题意画出相应的图形,如图所示,
∵OC⊥AB
∴AC=BC= AB=12
在 Rt△AOC中,AC=12 OC=5, ,
根据勾股定理得: AO= ,
则圆 O的直径长为26 .
故答案为:26
【点睛】此题考查勾股定理，垂径定理及其推论，解题关键在于画出图形
17．
【分析】①根据已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理得到的长度，进而得到半径；②利用三角形中位线的性质得到，再利用勾股定理及矩形的性质得到密封盖下沉的最大距离．
【详解】解：①设作圆心，连接交于点，
设，
∵最高点到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
②作，延长，交于点，作交于点，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点到的距离为，
∴，
∵，
回到图，作，
由勾股定理得：，
∴移动前到地面的距离为：，
∵移动的距离为密盖下沉的距离，
∴，
∴密封盖下沉的最大距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质，矩形的性质等相关知识点，掌握垂径定理是解题的关键．
18．（1）；（2）详见解析；（3）2.0或者3.7
【分析】（1）当x＝2时，点C与点O重合，此时DE是直径，由此即可解决问题；
（2）利用描点法即可解决问题；
（3）利用图象法，确定y＝4时x的值即可；
【详解】（1）当时，即是直径，可求得的面积为4.0，
∴；
（2）函数图象如图所示：
（3）由图像可知，当时，或3.7
【点睛】本题考查圆综合题，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
19．见解析
【分析】首先作出∠AOB的平分线，然后作出MN的垂直平分线，两线的交点即为圆心P，然后以点P为圆心，以PM半径画圆求解即可．
【详解】解：如图所示，
以点O为圆心，适当长度为半径画弧，与OA，OB分别交于点E，F，
以点E和点F为圆心，大于长度为半径画弧，交于点H，连接OH．
以点M和点N为圆心，大于长度为半径画弧交于点G和点Q，连接GQ．
此时QG与OH的交点即为点P，
以点P为圆心，PM长度为半径画圆，
此时⊙P满足以线段MN为弦，圆心P到∠AOB两边的距离相等，即为所求．
【点睛】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作角平分线和垂直平分线的方法，以及圆的基础性质．
20．此时水面的宽是．
【分析】本题综合考查了勾股定理和垂径定理的应用，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
连接、．设的半径是，则，．根据垂径定理，得cm．在直角中，根据勾股定理求得的值，再进一步在直角中，根据勾股定理求得的长，从而再根据垂径定理即可求得的长．
【详解】
解：如图所示，连接、．

设的半径是，则，．
，
cm．
在直角中，根据勾股定理，得
，
解得，．
在直角中，根据勾股定理，得
（cm）．
根据垂径定理，得（cm）．
故此时水面的宽是26cm．
故答案为：
21．(1)南偏东60°，
(2)不会闯入安全警戒区域，过程见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、直线与圆的位置关系．垂径定理的应用；
（1）过点C作轴于点D，设，则，解直角三角形求得x，进而求得；
（2）由（1）知，根据三角函数的定义得到，过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，过点作于点F，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：过点C作轴于点D，

依题意，得，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中， ，，
∴
∵
∴
解得：，即
∴
∴
∴
∴监测点测的方位是南偏东60°
（2）解：不会，计算如下：
由（1）知，
∵，
∴，
∴，
过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，

∴，
∴，
过点作于点F，
则四边形是矩形，
∴，
由已知得，，
∵，
∴线段是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴直线与相离，C船不会闯入安全警戒区域．
22．圆的半径为米．
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出的长，设米，得到米，再利用勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：连接，
有，
路面米，
米，
设米，
拱高米，
米，
，
，
解得，
圆的半径为米．
23．（1）证明见解析（2）OC=
【详解】试题分析：（1）根据等弧对等弦和等弧所对的圆周角相等，证明得到有一个角是60度的等腰三角形即是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质构造一个30度的直角三角形，运用垂径定理和勾股定理计算．
（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．
（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=43
24．见解析
【分析】作半径OE⊥AB交圆于E点，利用垂径定理得到相等的弧，两边相减即可得证．
【详解】证明：作半径OE⊥AB交圆于E点．
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴，
∴
即：．
【点睛】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是正确地作出垂直于弦的半径．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
D
B
A
B
A
C
题号
11
12








答案
B
A