北师大版（2024）九年级下册2 圆的对称性测试题

这是一份北师大版（2024）九年级下册2 圆的对称性测试题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，点是半圆上的一个三等分点，点为弧的中点，是直径上一动点，⊙O的半径是2，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
2．下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
3．下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
4．如图，在⊙O中，，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC＝130°，则∠ABE的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
6．下列命题中是真命题的为（ ）
A．弦是直径
B．直径相等的两个圆是等圆
C．平面内的任意一点不在圆上就在圆内
D．一个圆有且只有一条直径
7．如图，将的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，AB是半圆O的直径，C、D是上的两点，，点E为上一点，且∠CED＝2∠COD，则∠DOB＝（ ）
A．86°B．85°C．81°D．80°
9．下列命题正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．弦所对的两条弧中点的连线必过圆心
D．过圆心的直线必垂直平分弦
10．在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（ ）
①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，以为圆心为半径画圆，交射线于点D、E，则这个方程较小的实根是（ ）．
A．的长度B．的长度C．的长度D．的长度
12．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（ ）
A．46°B．88°C．24°D．23°
二、填空题
13．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF＝8，AD＝2，则⊙O半径的长是 ．
14．为半圆O的直径，C为半圆弧的一个三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，则 ．
15．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若AB＝AO，OD＝DC，则∠A的度数为 ，∠C的度数为 ．
16．如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为 ．
17．如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ ．
三、解答题
18．计算：是某几何体的平面展开图，求图中小圆的半径．
19．《几何原本》是古希腊著名数学家欧几里得将前人及自己的研究成果汇集所得的著作．它在数学公理体系构建中起到了非常重要的奠基作用．下面是《几何原本》第三卷的第30个命题“二等分已知弧”的作图过程．请你根据要求完成下面的问题．
命题：二等分已知弧
如图，已知，求作的中点．
作法：①连接；
②作弦的垂直平分线，交于点，交弦于点；
③连接，；
④则点就是的中点．
问题：
(1)按照上述的作法，用尺规作图完成作图（保留作图痕迹）；
(2)写出上述作图的两条依据：
① ；
② ．
20．如图，在⊙O中，，于点D，于点E．
求证：；
21．如图，已知是的直径，是上一点，点、在直径两侧的圆周上，若平分，求证：劣弧与劣弧相等．
《3.2圆的对称性》参考答案
1．D
【详解】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OB，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=2，∴A′B=，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选D．
点睛：正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
2．B
【详解】试题分析：本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来判断，其中“在同圆或等圆中”是必备条件.
解：①两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧对等弦，①正确；
②两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故②错误；
③两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故③错误；
④两个相等的圆心角不一定在同圆或等圆中，故④错误；
⑤两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧所对的圆心角相等，⑤正确．
综上①⑤正确.
故选B.
3．C
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D进行判断．
【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；
C、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；
D、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
4．B
【分析】由可得即，再由求出的度数即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴130°=2+50°，
∴=40°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆心角定理，熟记圆心角定理是解题关键．
5．B
【分析】如图，连接OA，OB，OC，OE．想办法求出∠AOE即可解决问题．
【详解】如图，连接OA，OB，OC，OE．
∵∠EBC+∠EDC＝180°，∠EDC＝130°，
∴∠EBC＝50°，
∴∠EOC＝2∠EBC＝100°，
∵AB＝BC＝CE，
∴弧AB＝弧BC＝弧CE，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠EOC＝100°，
∴∠AOE＝360°﹣3×100°＝60°，
∴∠ABE＝∠AOE＝30°．
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．B
【分析】根据圆的相关概念逐个判断排除.
【详解】解：弦不一定是直径，A是假命题；
直径相等的两个圆是等圆，B是真命题；
平面内的任意一点在圆上、圆内或圆外，C是假命题；
一个圆有无数条直径，D是假命题；
故选B．
【点睛】本题考查圆的弦、直径、平面内点与圆的位置关系等概念.
7．C
【分析】利用正五边形的性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割定理判断即可．
【详解】如图，连接AB，BC，CD，DE，EA，
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，
∴，
∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴∠DAE=∠AEB，
∴AM=ME，
∴，
∴A正确，不符合题意；
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，
∴点F是线段BD的黄金分割点，
∴，
∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BCD=∠AED，
∴△BCD≌△AED，
∴AD=BD，
∴，
∴B正确，不符合题意；
∵AB=BC=CD=DE=EA， ∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，
∴∠CAD=36°，
∴D正确，不符合题意；
∵∠CAD=36°， AN=BN=AM=ME，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴AM＞MN，
∴C错误，符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了圆的性质，正五边形的性质，三角形的全等，黄金分割，熟练掌握圆的性质，正五边形的性质，黄金分割的意义是解题的关键．
8．C
【分析】先根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，可得对应∠CED的圆心角为2x，根据圆周角为360°列方程可得∠COD的度数，根据弧的关系可得对应圆心角的关系，从而得结论．
【详解】解：设∠COD=x，则∠CED=2x，
∴2x•2+x＝360，
解得：x=72°，
∴∠COD=72°，
∴∠BOD+∠AOC=180°-72°=108°，
∵，
∴∠BOD=3∠AOC，
∴∠BOD=108°×=81°，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理、圆心角、弧的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
9．C
【分析】根据垂径定理及其推论结合圆的相关知识利用排除法，即可求解．
【详解】根据垂径定理，
A、过弦中点的直线不一定平分弦所对的弧，故A错误；
B、平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，故B错误；
C、根据圆的轴对称性可得弦所对的两条弧中点的连线必过圆心，故C正确；
D、过圆心的直线很多条，不一定垂直平分弦；故D错误.故选C.
【点睛】此题考查垂径定理及其推论，解题关键在于结合实际熟练运用垂径定理及其推论.
10．D
【分析】根据弧、弦、角的关系即可判断．
【详解】解：①∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴的度数的度数．①正确；
②在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．②正确；
③∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴和是等弧．③正确；
④在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．④正确；
故选：D
【点睛】本题考查弧、弦、角的关系．熟记相关结论是解题关键．
11．D
【分析】本题考查了勾股定理、利用配方法解一元二次方程，圆的基本性质，解题关键在于把方程较小的根转化为的长．在，由勾股定理即可得，再利用配方法可求得方程的解，根据题意可答案．
【详解】解：在，，，，
，
，
，
，
，
即，
解得，，
又以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E，
，
该方程较小的根是，
故选：D．
12．D
【分析】连接OE，利用圆周角定理求出∠CDE＝46°，再利用平行线的性质求出∠AOD＝46°，最后再利用圆周角定理可得结论．
【详解】解：如图，连接OE，
∵弧CE的度数是92°，
∴∠COE＝92°，
∴∠CDE＝∠COE＝46°，
∵OADE，
∴∠AOD＝∠CDE＝46°，
∴∠C＝∠AOD＝23°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的对称性、圆周角定理以及平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
13．5.
【详解】试题解析：连接OE，如下图所示，
则：OE=OA=R，
∵AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB，
∴ED=DF=4，
∵OD=OA-AD，
∴OD=R-2，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：
OE2=OD2+ED2，
∴R2=（R-2）2+42，
∴R=5．
考点：1.垂径定理；2.解直角三角形．
14．或
【分析】分若点C为靠近点A的三等分点和若点C为靠近点B的三等分点，两种情况，结合切线长定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：设AB=2a，
若点C为靠近点A的三等分点，
连接OC，OP，
∵C为半圆弧的三等分点，
∴∠BOC=120°；
已知PC、PB都是⊙O的切线，
由切线长定理知：∠POB=∠BOC=60°，
在Rt△POB中，OB=a，∠POB=60°，则PB=PC=a，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
PA= ，
∴=；
若点C为靠近点B的三等分点，
连接OC、OP，
∵C为半圆弧的三等分点，
∴∠BOC=60°，
已知PC、PB都是⊙O的切线，
由切线长定理知：∠POB=∠POC=∠BOC=30°，
在Rt△POB中，OB=a，∠POB=30°，则PB=PC=a，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
PA=，
∴=，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查的知识点是：圆心角、弧、弦的关系，切线的性质、切线长定理以及解直角三角形的应用等知识，难度不大．
15．
【分析】如图，连接 先证明为等边三角形，可得 再证明 设 则 求解 再利用三角形的内角和定理列方程： 解方程，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接

为等边三角形，



设 则









故答案为：
【点睛】本题考查的是同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
16．
【分析】连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，点C、D三等分半圆弧，可知是等边三角形，从而可以证得CD∥AB，所以和的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积．
【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30°所对的直角三角形的性质和勾股定理．
17．40°
【详解】试题分析：由“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”得∠AOC=∠BOD，再得出∠AOB=∠COD.
解：∵在⊙O中，=，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
∴∠AOB=∠COD=40°.
故答案为40°.
18．r=
【详解】试题分析：根据圆锥的展开图的圆心角=×360°进行求解.
试题解析：根据题意得：=8，120°=×360°，解得：r=.
考点：圆锥的底面半径、母线与展开图的圆心角之间的关系.
19．(1)见解析
(2)①垂直平分弦的直线过圆心，且平分弦所对的弧；②线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对应的弧线段．
【分析】（1）利用基本作图出AB的垂直平分线；
（2）根据垂径定理或圆心角、弧、弦可判断C点满足条件．
【详解】解：（1）如图，点为所作；
（2）作图的两条依据：
①垂直平分弦的直线过圆心，且平分弦所对的弧；
②线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对应的弧线段．
故答案为：垂直平分弦的直线过圆心，且平分弦所对的弧；线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对应的弧线段．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
20．见解析
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，角平分线的判定定理．根据题意，得到是的角平分线，进而得到，即可得到．掌握到角两边的距离相等的点在角平分线上，是解题的关键．
【详解】证明：如图，连接，
∵，，，
∴是的角平分线，
∴，
∴．
21．见详解
【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得，进而问题可求证．
【详解】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：
∵平分，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴（HL），
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的联系是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
B
B
C
C
C
D
题号
11
12








答案
D
D