初中数学北师大版（2024）九年级下册5 二次函数与一元二次方程同步训练题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册5 二次函数与一元二次方程同步训练题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
2．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论：
①；
②；
③若点，，在抛物线上，则；
④当时，以A，B，C为顶点的三角形是等边三角形．
其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．如图，抛物线（是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是，过一、二、四象限的直线（是常数）与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有( )个．
①，②，③，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤为任意实数，则有．
A．2B．3C．4D．5
4．已知抛物线y＝a－3x+1与x轴有交点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知抛物线的对称轴是，且（m为实数）在范围内有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为（ ）
A．x1＝﹣7，x2＝3B．x1＝﹣6，x2＝4C．x1＝6，x2＝﹣4D．x1＝7，x2＝﹣3
7．若抛物线的顶点在轴上，且不等式的解集为或，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞8C．﹣2＜x＜8D．x＜﹣2或x＞8
9．如图，二次函数的图象经过点，与x轴交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：；；③当 时，；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知抛物线，，为常数，经过点，，，，其对称轴在轴左侧．有下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
11．已知二次函数 （是常数） 的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，如果，那么和的关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．若抛物线与轴两交点分别是，则 ．
14．已知二次函数，当自变量x的取值在的范围时，函数的图像与x轴有两个公共点，则n的取值范围是 ．
15．二次函数y＝﹣x2＋3x﹣2与x轴的交点坐标是 ．
16．关于的二次函数的图象与轴有交点，则的范围是 ．
17．抛物线与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为
三、解答题
18．已知：抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，是x轴正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线交于点M，与抛物线交于点N，在图1中探究：是否存在点D，使？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点P为直线上方抛物线上任意一点，连接、、，交直线于点E，设，求当k取最大值时点P的坐标，并求出此时k的值．
19．阅读以下材料：
例：解不等式
解：设y1=x，，在同一直角坐标系中画出它们的图象：
两个图象的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1）
∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时，
根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：．
20．在某次测试中小周投掷出的实心球所经过的路线是如图所示的抛物线，已知实心球出手时离地面，当实心球行进的水平距离为时实心球达到最大高度．
(1)求实心球行进的高度与行进的水平距离之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)如果实心球测试的优秀成绩至少是，那么小周在这次测试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．
21．如图．在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．
(1)求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
(2)运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
22．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求球运动路线的函数表达式．
(2)球被抛出多远？
23．已知二次函数（a是常数）．
(1)求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)把函数的图象沿y轴向上平移多少个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点？若此公共点在x轴负半轴，求a的取值范围．
24．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，a、b、c为实数，且a≠0
（1）当a＝1且b＝c＋1时，在－1＜x＜3中，恒有y＜0，求c的取值范围；
（2）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点D的纵坐标为－1，若△ABC是直角三角形，当Rt△ABC面积取得最大值时，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线与x轴只有一个公共点M （2，0），与y轴交于（0，2）：直线l：y＝kx＋2－2k与抛物线交于点P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值．
《2.5二次函数与一元二次方程》参考答案
1．B
【分析】本题考查了二次函数与系数的关系．根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【详解】解：抛物线与直线交于，两点，
，
，
，
，
当，时，直线经过第一、二、三象限，
当，时，直线经过第二、三、四象限，
综上，直线一定经过二、三象限．
故选：B．
2．B
【分析】本题是二次函数的应用，考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程的关系，等边三角形的判定等，利用二次函数的图象与性质一一判断即可，利用数形结合是解题的关键．
【详解】解：抛物线对称轴在轴的右侧，
，
抛物线交轴的负半轴，
，故①正确，；
由图象可知，当时，，
，故②错误；
若点，，在抛物线上，
由图象法可知，，故③正确，
设抛物线的对称轴交轴于．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．故④正确．
综上，结论正确的是①③④，
故选：B．
3．D
【分析】根据二次函数与一次函数的图象与性质逐项进行分析判断即可．
【详解】解：直线（是常数）的图象过一、二、四象限，
∴，
∵抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴
又抛物线的对称轴为，
∴，
∴，故①正确；
令得
∴直线与轴交点为
∴抛物线与也交于
∵抛物线的对称轴为
∴抛物线与轴的另一个交点为
∴方程的两根为
∴；
∴
∴，故②正确；
由②知，抛物线过点
∴，
∵
∴，故③正确；
根据题意知，当时，直线与抛物线的y值相等，
∴
∴
由②得
∴，故④正确；
当时，抛物线取得最小值，最小值为：
当时，代入得，
两边同时加上得，
∴
∵
∴
∴，故⑤正确，
∴正确的结论有5个，
故选：D
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
4．D
【详解】试题分析：∵抛物线y=ax2-3x+1与x轴有交点，
∴a≠0，△≥0，
∴9-4a×1≥0，
∴a≤，
故答案为a≤且a≠0．
故选D.
考点: 抛物线与x轴的交点．
5．D
【分析】根据抛物线y=x2+bx+1的对称轴为直线x=1，可以求得b的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当0＜x＜3时，y的取值范围，另y=m，即可转化为方程x2+bx+1-m=0，从而可以得到m的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，
∴-=1，得b=-2，
∴y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0≤y＜4，
当y=m时，m=x2+bx+1，即x2-2x+1-m=0，
∵关于x的一元二次方程x2-2x+1-m=0（m为实数）在0＜x＜3的范围内有实数根，
∴m的取值范围是0≤m＜4，
故答案为：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．D
【分析】抛物线的对称轴为，再根据两个交点之间的距离为10，求出交点，即可求解．
【详解】解：∵，∴
由题意可得：抛物线的对称轴为，
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10
∴交点坐标分别为，
根据二次函数与一元二次方程的关系可得：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为，
故选D
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数的性质，理解二次函数与一元二次方程的关系，并掌握二次函数的有关性质是解题的关键．
7．A
【分析】根据抛物线的顶点在轴上得出 ，再根据不等式的解集为或可以得出或是关于的方程的解，然后解方程组即可求出的值．
【详解】解：抛物线的顶点在轴上，
∴ ，
∴ ，
不等式的解集为或，
或是关于的方程的解，
∴ ，，
解得，
的值为，
故选：A ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系，关键是对二次函数性质的掌握．
8．D
【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可；
【详解】∵A（﹣2，4），B（8，2），
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的计算，准确计算是解题的关键．
9．C
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴．
∵对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴a，b异号，
∴．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴．
∴．故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点的横坐标为，，其中，．
∴，即．
∴，
∴．故②正确；
③当时，，
当时，．
∵，
∴点，都在对称轴的右侧，
根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小可得当 时，．故③正确；
④∵二次函数图象经过点，
∴，
∴．
∵由图象可得，当时，，
∴．解得．故④正确．
综上所述，②③④都正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数满足的关系是正确判断的前提．
10．D
【分析】根据题意可得，即可判断①，根据即可判断②，根据抛物线过，得出，根据对称轴在轴左侧，得出时，，进而即可求解．
【详解】解：①∵抛物线，，为常数，经过点，，，，其对称轴在轴左侧，
∴关于对称轴对称的点在轴的左侧，
∴
∴，故①正确；
②∵抛物线开口向下，由①可知顶点纵坐标大于，
∴与有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根；故②正确，
③∵抛物线经过，
∴，
又，
∴
∵对称轴在轴左侧，
∴时，
即
解得：
∴，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，明确抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
先将所给的二次函数整理，再根据图象与轴没有公共点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小，可得，从而得出答案轴．
【详解】解：
，
图象与轴没有公共点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小，
，
实数的取值范围是，
故选C．
12．C
【分析】根据题意可知，，，为直线与抛物线和直线的交点；设，在抛物线上，在直线上，根据二次函数与一元二次方程的关系可得，根据一次函数的性质可得，据此即可求得答案．
【详解】根据题意可知，，，为直线与抛物线和直线的交点．
设，在抛物线上，在直线上．
根据题意，得
．
移项，得
．
可得
．
根据题意，得
．
可得
．
则
．
可得
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数，牢记二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
13．
【分析】根据题意，是方程的两个解，进而根据一元二次方程根与系数关系得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，是方程的两个解，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，理解题意是解题的关键．
14．
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x=－1，若函数的图象与x轴有两个公共点，利用根的判别式得到4+4n≥0，再由在的范围时，函数的图象与x轴有两个公共点，利用函数的图象性质得到当x=－2时，y≥0，从而求解即可．
【详解】∵，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∵当自变量x的取值在的范围时，函数的图象与x轴有两个公共点，
∴，且当x=－2时，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，结合题意列出相应的不等式是解题的关键．
15．，
【分析】令y＝0，解关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：令y＝0，得：，
两边同时乘以-1得：
∴
即，或
解得：
∴二次函数与x轴的交点坐标是（1，0）、（2，0）．
故答案为：（1，0）、（2，0）．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系，熟练掌握两者之间联系并能准确计算是解题的关键．
16．
【分析】抛物线与x轴有交点，则b2-4ac≥0，可得关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】由已知可得b2-4ac≥0，即16-4m≥0，
解得m≤4．
故答案为：m≤4．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．-3.
【详解】试题分析：△ABC中AB边上的高正好为C点的纵坐标的绝对值，再利用三角形的面积公式即可求出b的值．
试题解析：∵△ABC中AB边上的高正好为C点的纵坐标的绝对值，
∴S△ABC=×1×|c|=1，
解得|c|=2．
设方程x2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=-b，x1x2=c，
∵AB=|x1-x2|=，
∴b2-4c=1，
∵c=-2无意义，
∴b2=9，
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，
∴b的值是-3．
考点：抛物线与x轴的交点．
18．(1)
(2)
(3)，
【分析】此题主要考查了利点坐标确定函数解析式，解题的关键是利用待定系数法得到的方程
（1）利用待定系数法将三点坐标带入，即可求得抛物线解析式．
（2）先求出直线BC的解析式，设定，根据题意，列方程求解即可．
（3）过点P作，做出与相似，根据，得到关于P点的方程，求解即可．
【详解】（1）解：将，，代入，
解得，
∴，
；
（2）设直线的解析式为，
，解得，
，
设，则，
当时，
解得，（舍）
点D的坐标为
（3）
过点P作交于点G，
设，则，
，
∴
，
，
，
当时，k有最大值，
此时．
19．画图见解析；x＜0或x＞1
【分析】首先设y1=x2，，在同一直角坐标系中画出它们的图象，即可得出x2＞时解集．
【详解】解：设y1=x2，，在同一直角坐标系中画出它们的图象，
两个图象的交点为（1，1），
∴由图可知，当x＜0或x＞1时，x2＞．

【点睛】此题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，正确画出图象结合图象得出解集是解题关键．
20．(1)
(2)不能达到优秀，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据抛物线顶点坐标设出顶点式，再将抛物线与y轴交点坐标代入求解即可；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，与优秀成绩标准进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意知，该抛物线经过点，顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为，
将代入解析式，得：，
解得，
与的函数解析式为；
（2）解：不能达到优秀，理由如下：
当时，，
解得，（舍去），
小周在这次测试中成绩为，
，
小周在这次测试中成绩不能达到优秀．
21．(1)；米
(2)米
【分析】（1）由条件可以得出，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可；当时代入解析式，求出x的值即可得第一次落地点B和守门员（点O)的距离；
（2）设第二次抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析为，求出解析式，就可以求出OC的值，进而得出结论．
【详解】（1）解：设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得
，
解得：，
∴．
当时，，
解得：（舍去）或，
∴足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点B和守门员（点O)的距离为米；
（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，由题意可知：
，
∴
解得：或（舍去），
∴．
当时，
．
解得：或（舍去）．
∴运动员（点A）要抢到第二个落点C的距离为：
（米）．
∴他应再向前跑米．
【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式．
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为：，
把代入得，
抛物线解析式为：；
（2）解：由（1），
令，则，
解得：，，
抛物线与轴的交点为，，
球被抛出．
23．(1)不论a为何值，函数的图象与x轴有两个公共点；
(2)把函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点；若公共点在x轴负半轴，则a的取值范围．
【分析】（1）证明判别式即可证得；
（2）求得函数的顶点坐标，然后依据函数的开口方向以及二次函数的性质即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴不论a为何值，函数的图象与x轴有两个公共点；
（2）解：，
∴顶点是，
∴把函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点；
若公共点在x轴负半轴，
∴a的取值范围．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数的性质，二次函数与x轴的交点个数的判断，可以利用判别式的符号进行判断．
24．（1）；（2）；（3）见解析
【分析】（1）由－1＜x＜3中，恒有y＜0，得出x=−1或时，函数值不大于0，列不等式组即可求得的范围；
（2）令，设是方程ax2+bx+c=0的两根，则，根据题意，，，证明，可得，根据根与系数的关系可得，即，由顶点D的纵坐标为－1，，计算，根据a≥1可得，进而确定a,b,c的值，即可求得解析式；
（3）根据已知条件，设抛物线的解析式为，将（0，23）代入求得抛物线的解析式，设直线与抛物线交于点P、Q，，联立直线与抛物线解析式，利用根与系数的关系求得，根据题意求得直线的直线解析式，进而求得的纵坐标，将，代入，根据计算即可求得的纵坐标为一定值，进而即可得证．
【详解】（1）当且时，，
－1＜x＜3中，恒有y＜0，
或时，函数值不大于0，
即
（2）令，设是方程ax2+bx+c=0的两根，则
抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，△ABC是直角三角形，
，
如图，
即
顶点D的纵坐标为－1，
此时
抛物线的解析式为
（3）抛物线与x轴只有一个公共点M （2，0），与y轴交于（0，23）
设抛物线的解析式为，将（0，23）代入
得
解得
抛物线的解析式为
设直线与抛物线交于点P、Q，
设
联立得
整理得
设的直线解析式为y=mx+n，将，代入
得
解得
直线的解析式为
过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，
当时，
=
对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与抛物线交点，不等式组的应用，一元二次方程根与系数的关系，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
D
D
D
A
D
C
D
题号
11
12








答案
C
C