北师大版（2024）八年级下册4 分式方程复习练习题

这是一份北师大版（2024）八年级下册4 分式方程复习练习题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知关于的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．且
2．方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
3．若为整数，关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．0B．4C．7D．8
4．关于的分式方程有增根，则增根是( )
A．1B．2C．-2D．-1
5．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
6．某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，12h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2h完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运可以完成后一半任务，那么下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
8．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所用时间相同，设现在平均每天生产机器x台，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．且
10．下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
11．“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过的速度是通过的1.3倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A．B．C．D．
12．方程=的解是（ ）
A．x=B．x=5C．x=4D．x=﹣5
二、填空题
13．在一个不透明的口袋中装有10个白球和个红球，它们除颜色外完全相同.若从中随机摸出一球；摸到红球的概率为，则的值为 .
14．若关于的方程产生增根，则 ．
15．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ．
16．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
17．甲、乙承包一项任务，若甲、乙合作，5天能完成，若单独做，甲比乙少用4天，设甲单独做x天能完成此项任务，则可列出方程 ．
三、解答题
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极相应对通往某偏远学校的一段全长为米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用天完成道路改造任务．
(1)求原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
20．某商厦用8万元购进纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用17．6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是100元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完．
（1）商厦第一批和第二批各购进休闲衫多少件？
（2）请问在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
21．为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来涨了，结果所购进足球的数量比第一批少40个．求第一批足球每个的进价是多少元？
22．五一节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲，乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求的值；
(2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．如图1，平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，，，其中x是方程的解．
(1)求AB的长度．
(2)如图2，分别以AB，为边作等边三角形，，连接，BD，线段交AB于点C，交BD点F，求的度数．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于点G．求证：G为DE的中点．
24．（1）解方程：
（2）如图，点B在线段AD上，，AB=ED，BC=DB，求证：∠A=∠E．
水果单价
甲
乙
进价（元/千克）
售价（元/千克）
20
25
《5.4分式方程》参考答案
1．D
【分析】先去分母化成整式方程，然后解整式方程，根据解大于等于0求出a的范围，最后再验根.
【详解】解：方程两边同时乘，化成整式方程为：
，解得
∵ 解为非负数，∴
∴
又分母，∴，∴；
故答案为：且.
【点睛】本题考查了分式方程及一元一次不等式，特别注意分母不为0这一隐含条件.
2．C
【分析】此题若用去分母法，变形为整式方程组，计算较繁，如果能转化为它的倒数来处理，问题就化难为易了．
【详解】原方程组可变形为即 设，
原方程可化为 解方程组得
原方程组的解为
【点睛】解分式方程的基本思想为“化分式方程为整式方程”，同样，解分式方程组的基本思想为“化分式方程组为整式方程组”，也就是把方程组中的每一个分式方程都转化为整式方程．
解分式方程组可以把它化成整式方程组后再求解，有些时候也可以根据方程组的特点用不同的方法解题．
3．C
【分析】先求出不等式组的解，再根据“不等式组有且只有3个整数解”求出的取值范围，从而可得整数的所有可能取值，然后求出分式方程的解，根据“分式方程有整数解”进行分析即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解为，
此不等式组有且只有3个整数解，
，即，
则整数的所有可能取值为，
，
两边同乘以得：，
解得，
此分式方程有整数解，
，即，
，
（1）当时，，经检验，不是分式方程的解；
（2）当时，，经检验，是分式方程的整数解，符合题意；
（3）当时，，经检验，是分式方程的整数解，符合题意；
则满足条件的所有整数的和为，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．
4．A
【分析】分式方程有增根，令最简公分母为0，即可求出增根．
【详解】解：分式方程有增根，
最简公分母，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程增根的问题，解题的关键是掌握分式方程增根的由来．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．
5．C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：C．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
6．D
【分析】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设单独采用机械装运可以完成后一半任务，由题意列出分式方程即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
化简得，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查分式方程的解．去分母，方程两边同时乘以，得，则，再根据该方程的解是负数得，然后根据是该方程的增根得出，，据此可得a的取值范围．
【详解】解：，
去分母，方程两边同时乘以，得：，
解得：，
∵该方程的解是负数，
∴，
解得：，
∵是该方程的增根，
∴时，，解得：，
当时，，解得：，
综上所述：a的取值范围是：且．
故选：C．
8．D
【分析】根据现在生产600台机器时间与原计划生产450台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
【详解】解：设现在平均每天生产机器x台，根据题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
9．C
【分析】解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数且分式方程有意义，可得不等式组，解不等式组，可得答案．
【详解】，
方程两边都乘以(x−2)，得：2x+m=3x−6，
解得：x=m+6，
由分式方程的意义，得：m+6−2≠0，即：m≠−4，
由关于x的方程的解是正数，得：m+6>0，
解得：m>−6，
∴m的取值范围是：m>−6且m≠−4，
故选：C．
【点睛】本题主要考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，掌握解分式方程，是解题的关键．
10．A
【分析】根据分式方程的定义，即可判断．
【详解】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
11．C
【分析】由通过BC的速度是通过AB的1.3倍可得出小刚通过BC的速度为1.3x米/秒，利用时间=路程÷速度，结合小刚共用时10秒通过AC，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵AB=2BC=10米，
∴BC=5米．
∵小刚通过AB的速度为x米/秒，通过BC的速度是通过AB的1.3倍，
∴小刚通过BC的速度为1.3x米/秒．
又∵小刚共用时10秒通过AC，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分成方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．B
【分析】方程的两边都乘以（x+3）（x﹣1），把分式方程变成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】方程的两边都乘以（x+3）（x﹣1）得：2x﹣2=x+3，
解方程得：x=5，
经检验 x=5 是原方程的解，
所以原方程的解是 x=5．
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是把分式方程转化成整式方程，注意一定要进行检验．
13．15
【分析】根据摸到红球的概率为，列出方程求解即可.
【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有10个白球和个红球，
∴共有(10+m)个球，
根据概率公式知：P(红球)＝，
解得m＝15.
经检验，m=15是方程的解
故答案为：15.
【点睛】此题考查了概率公式的应用．解题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．注意方程思想的应用．
14．
【分析】方程两边同乘以x+4将分式方程化为整式方程，再将分式方程的增根代入整式方程计算即可求解．
【详解】解：方程两边同乘以（x+4），得：
当x+4=0时，x=-4
∴x=-4是关于的方程的增根
当x=-4时，，解得：
故答案为：-5
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，求解方程的增根是解题的关键．
15．m≥-1且m≠0.
【分析】由分式方程的解为非负数得到关于m的不等式，进而求出m的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：m=x-1，
即x=m+1，
由分式方程的解为非负数，得到
m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m≥-1且m≠0，
故答案为：m≥-1且m≠0.
【点睛】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
16．8
【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，熟练掌握解不等式组是解题的关键．根据题意解出的取值范围，再利用分式方程有非负整数解求出的取值范围，将两者结合即可得到答案．
【详解】解：解不等式，得，
解集为，
，
解得，
由于分式方程有非负整数解，
且，
，
且，
且，
取整数且使方程有非负整数解，
取，
故满足条件的整数a的值之和是，
故答案为：．
17．
【详解】解：∵甲比乙少用4天，甲单独做需x天，∴乙做需要（x+4）天．∵甲乙合作5天能完成，∴．故答案为．
点睛：本题考查用分式方程解决工程问题，得到甲乙合作的工作效率的等量关系是解决本题的关键．
18．(1)；
(2)无解．
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程一定注意要验根．
（1）两边都乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，代入最简公分母检验即可；
（2）两边都乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，代入最简公分母检验即可．
【详解】（1）解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解；
（2）解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是原分式方程的增根，
所以方程无解．
19．(1)原计划每天铺设路面80米；
(2)完成整个工程后承包商共支付工人工资元．
【分析】（1）设原计划每天铺设路面x米，根据工作总量=工作效率时间结合共用列方程即可得到答案；
（2）根据（1）求出时间，再根据金额=单价时间即可得到答案．
【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，由题意可得，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
答：原计划每天铺设路面80米；
（2）解：由（1）得，
（天），（天），
∴总费用为：，
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资元．
【点睛】本题考查分式方程解决实际应用中的工程问题，解题的关键是找到等量关系式．
20．（1）第一批购进衬衫1000件，第二批购进了2000件；（2）在这两笔生意中，商厦共盈利41000元．
【分析】（1）设第一批购进件休闲衫，则第二批购进了件，根据“第二批购进的单价比第一批购进的单价贵了8元”，列出分式方程，即可求解；
（2）设这笔生意盈利元，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】（1）设第一批购进件休闲衫，则第二批购进了件，
依题意可得：，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
，
答：第一批购进衬衫1000件，第二批购进了2000件；
（2）设这笔生意盈利元，
可列方程为：，
解得：．
答：在这两笔生意中，商厦共盈利41000元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，根据等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
21．第一批足球每个的进价是50元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一批足球每个的进价是元则第二批足球每个的进价是元，根据第二批所购进足球的数量比第一批少40个列出方程求解即可．
【详解】解：设第一批足球每个的进价是元则第二批足球每个的进价是元
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，符合实际题意，
，
答：第一批足球每个的进价是50元．
22．(1)
(2)购进甲种水果75千克，购进乙种水果25千克，利润最大为850元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用：
（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同，列出方程进行求解即可；
（2）设购进甲种水果千克，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出的取值范围，设总利润为，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴．
（2）由（1）知：甲种水果的进价为12元，乙种水果的进价为元，
设购进甲种水果千克，则：购进乙种水果千克，由题意，得：，
解得：，
设总利润为元，由题意，得：，
∴随着的增大而减小，
∴当时，有最大值为，
∴购进甲种水果75千克，购进乙种水果25千克，利润最大为850元．
23．(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】（1）解方程得出，再直接运用直角三角形30°角的性质求解即可；
（2）先利用证，得到，从而利用三角形内角和得到．
（3）作于H，先证，得，再证，得到，从而得证．
【详解】（1）解：（1）解方程，得
经检验， 是原分式方程的解．
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，均为等边三角形，
∴
∵，
∴
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
（3）证明：过点E作于点H，如解图所示，则AB．

∵AB，
∴
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
∴G为DE的中点．
【点睛】本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等，掌握全等三角形的判定方法是关键．
24．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）由BC与DE平行得到一对同位角相等，利用SAS得到△ABC与△EDB全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
【详解】解：（1）去分母得：，
解得：，
经检验 是分式方程的解；
（2）∵，
∴，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB，（SAS）
∴∠A=∠E．
【点睛】本题考查解分式方程：注意要验根，全等三角形的判定和性质综合，证明三角形全等是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
C
D
C
D
C
A
题号
11
12








答案
C
B