北师大版（2024）3 公式法课堂检测

这是一份北师大版（2024）3 公式法课堂检测，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，，则代数式的值为（ ）
A．4B．C．3D．
2．下列何者为5x2+17x-12的因式？
A．x+1B．x-1C．x+4D．x-4
3．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边（）．则①；②；③；④，错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．下列因式分解中，正确的个数为（ ）.
① x3 2xy  x  xx2 2 y;② x2 4x  4  x  22 ;③  x2y 2  x  yx  y
A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个
5．把多项式分解因式，其结果是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列各式可用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．
C．D．
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知：则的值为（ ）
A．B．C．D．
9． 等于（ ）
A．B．C．D．−2
10．若能分解为，那么、的值是（ ）
A．7、2B．C．D．
11．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．如果，，那么代数式的值是 ．
14．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为 ．
15．若，则的值为 ．
16．已知长方形的面积为4a2-4b2,如果它的一边长为a+b，则它的周长为 ．
17．若a+b=2，ab=1，则a2b+ab2= ..
三、解答题
18．因式分解：
(1)
(2)
19．如图，有足够多的正方形（A型和B型）和长方形（C型）卡片，利用这些卡片可以进行因式分解，如对多项式进行因式分解．

(1)要拼成面积为的图形需A卡 张，B卡 张，C卡 张，利用这些卡片可以拼成一个长方形（不重叠无缝隙），由于同一长方形面积的有不同表示形式：各卡片的面积和为，长与宽的积为，可以得到．
(2)请参考照（1）中的因式分解过程，画出草图对进行因式分解．
20．如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若，，求剩余部分的面积．
21．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
(1)求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）．
(2)图1，图2中空白部分面积分别为、，求值．
(3)图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含、的整式乘积的形式：
①．
②．
22．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而很到，因此有，这种方法称为分组法，请回答下列问题：
(1)尝试填空：________；
(2)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
23．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．
(1)有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，，88是一个对称数；39的逆序数为93，，132的逆序数为231，，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；
(2)若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；
(3)若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？
24．【发现】如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．
【验证】（1）如：，请判断以40，41，9为边长的三角形是否为直角三角形，并说明理由；
【探究】（2）设两个连续的正整数m和的和可以表示成正整数，请论证【发现】中的结论正确．
《4.3公式法》参考答案
1．C
【分析】先分解因式，再将已知的a-b=3，b-c=-2，两式相加得：a-c=1，整体代入即可．
【详解】解：a2-ac-b（a-c）
=a（a-c）-b（a-c）
=（a-c）（a-b），
∵a-b=3，b-c=-2，
∴a-c=1，
当a-b=3，a-c=1时，原式=3×1=3．
故选：C．
【点睛】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式a-c与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．
2．C
【分析】运用十字相乘的因式分解法对此式进行因式分解，然后再判断此式的因式．
【详解】解：5x2+17x-12=（5x-3）（x+4）；
故选C．
3．D
【分析】根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．
【详解】解：①x-y等于小正方形的边长，即x-y=n，故本项正确，不符合题意；
②∵xy为小长方形的面积，
∴xy=，故本项正确，不符合题意；
③x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，故本项正确，不符合题意；
④x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2×=，故本项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
4．C
【分析】利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．
【详解】解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；
②x2+4x+4=（x+2）2；正确；
③-x2+y2=（x+y）（y-x），故原题错误；
故正确的有1个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
5．B
【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可．本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键．
【详解】解：．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查用平方差公式分解因式，解题的关键是掌握用平方差公式分解因式． 根据平方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】A． 只有一个平方项，故本选项错误．
B． 符合平方差公式，正确；
C． 两平方项的符号相同，故本选项错误；
D． 两平方项的符号相同，故本选项错误；
故选∶B．
7．D
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的方法逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意；
B、不能进行因式分解，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项错误，不符合题意；
D、，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】将变形为（a+b）2-（a+b）-5，再把a+b=3代入求值即可.
【详解】∵a+b=3，
∴a2-a+b2-b+2ab-5
=（a2+2ab+b2）-（a+b）-5
=（a+b）2-（a+b）-5
=32-3-5
=9-3-5
=1，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．
9．A
【分析】本题考查因式分解的应用，同底数幂相乘法则的逆用，熟练掌握同底数幂相乘法则的逆用是解题的关键．
先逆用同底数幂相乘法则，变形为，再提公因式，即可求解．
【详解】解：原式
．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查因式分解的意义，以及多项式相等的条件，将分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求解.
【详解】解：
∴
解得：.
故选：B.
11．B
【分析】直接利用提取公因式法以及十字相乘法分解因式，进而判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，不能分解，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．C
【分析】由完全平方公式分解因式可判断A，B，D，由提公因式法与公式法的综合可判断C，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
在有理数范围内不能分解因式，故B不符合题意；
，分解正确，故C符合题意；
不能分解因式，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是综合提公因式法与公式法分解因式，熟记因式分解分方法并能准确的分解因式是解本题的关键．
13．-64
【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式，然后将已知整体代入求值，即可．
【详解】解：=
=
∵，，
∴原式=2×(-4)×8
=-64，
故答案是：-64．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键．
14．#
【分析】本题考查了因式分解，先确定m，n的值，后分解因式即可．
【详解】∵甲看错了的值，分解的结果是，
∴．
∵乙看错了的值，分解的结果为，
∴．
∴，
故答案为：#．
15．4
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了完全平方公式的计算，正确掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．
16．10a-6b
【分析】直接利用提公因式法和公式法因式分解得到另一边长，进而得出答案．
【详解】∵，长方形的一边长为a+b
∴长方形的另一边长为
∴该长方形的周长为：（4a-4b+a+b）×2=10a-6b，
故答案为：10a-6b
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握利用公式分解因式是解题关键．
17．2
【分析】把a2b+ab2提取公因式可得a2b+ab2=ab（a+b），代入a+b=2，ab=1，即可得答案.
【详解】a2b+ab2=ab（a+b）
当a+b=2，ab=1,
原式=1×2=2
【点睛】此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)2；1；3；
(2)见详解
【分析】（1） 由图直接得出答案即可；
（2） 用 卡 2 张， 卡 3张， 卡 5张画出草图， 根据拼成长方形的长和宽得出因式分解的结果即可；
【详解】（1）要拼成面积为 的图形需 卡 1 张， 卡 2张， 卡 3 张；
（2）如图，用A卡 2 张，B卡 3张，C卡 5张画出；

【点睛】此题考查因式分解的实际运用，借助长方形的面积，把因式分解直观化，通俗易懂
20．10.4
【分析】本题考查了因式分解的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．先根据题意列出算式，再代入求出即可．
【详解】解：剩余部分的面积是，
当，时剩余部分的面积是：
．
答： 剩余部分得面积为 10.4.
21．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）结合图形，图1中空白部分的面积等于大正方形的面积减去个小长方形的面积；
（2）根据图形，图2中空白部分的面积等于大长方形的面积减去个小长方形的面积，再列出关于，的方程组并解方程组即可；
（3）结合图形，图3中空白面积为等于大长方形的面积减去个小长方形的面积，将及写成含、的整式乘积的形式．
【详解】（1）解：∵图1小正方形的边长为，其中阴影部分面积为，
∴．
（2）解：∵图2小长方形的长为，宽为，其中阴影部分面积为，
∴，
∵面积分别为、，
∴
由，得，
∴；
（3）解：∵图3小长方形的长为，宽为，其中阴影部分面积为，
∴，
∴①
②．
【点睛】本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，多项式乘多项式的法则，培养学生的观察图形的能力和化简能力，数形结合思想是解题的关键．
22．(1)
(2)等边三角形，理由见详解
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意分组法进行因式分解即可解题．
（1）根据分组法按步骤计算可得出．
（2）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论．
【详解】（1）解：
（2）解：
即，
∵，
∴，
∴，，
，
故该三角形为等边三角形．
23．(1)以产生的第一个对称数是：
(2)这两个数的差一定能被整除
(3)这样的三位对称数共有9个
【分析】本题考查因式分解的应用、与实数的运算相关的规律等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．
（1）由对称数产生的方法进行运算即可得到答案；
（2）设四位对称数分解为前两位数所表示的数为：，和后两位数所表示的数为，用a、b的代数式表示这两个数的差即可解决问题．
（3）设这个三位对称数为：，由题意 ，根据整除的定义，确定b的值即可解决问题．
【详解】（1）解： ，
则，
则，
∴以产生的第一个对称数是：；
（2）设这个四位数的前两位所表示的数为：，
这个四位数的后两位所表示的数为：，
由题意： ＝＝
∵、为整数，
∴为整数，
∴一定能被整除，
∴这两个数的差一定能被整除；
（3）设这个三位对称数为： ，
由题意： ，
∵这个三位对称数能被整除，
∴为整数
∵、为整数，且，
∴为整数即，
∴这样的三位对称数共有9个.
24．（1）以40，41，9为边长的三角形是直角三角形．理由见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）以40，41，9为边长的三角形是直角三角形．
理由：，
，即，
∴以40，41，9为边长的三角形是直角三角形．
（2）由题意，得，
，
，
∴以为边长的三角形是直角三角形，
∴发现中的结论正确．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
C
B
B
D
A
A
B
题号
11
12








答案
B
C