初中数学人教版（2024）九年级下册26.1.1 反比例函数习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级下册26.1.1 反比例函数习题，共27页。试卷主要包含了单选题，四象限，则的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）.
A． B． C． D．
2．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．当﹣3≤x≤﹣2时，y1的最大值为a，y2的最小值为a+2，则实数a与k的值为（ ）
A．a＝3，k＝1B．a＝﹣1，k＝﹣1C．a＝3，k＝3D．a＝﹣1，k＝3
3．已知变量与成反比例，当时，，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于点E，F两点，若AB＝2EF，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．D．
5．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不存在
6．下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．A，B两点在反比例函数图像上，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
8．防汛期间，下表记录了某水库内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当时，达到警戒水位，开始开闸放水，该阶段y与x满足我们学过的某种函数关系，其中开闸放水后有一组数据记录错误，它是（ ）
A．第10小时B．第12小时C．第14小时D．第16小时
9．若将直线向下平移m个单位长度与双曲线恰好只有一个公共点，则m的值为（ ）
A．2B．18C．−2或18D．2或18
10．已知点A（-2，y1），B（-3，y2）是反比例函y=图象上的两点，则有（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝ y2D．不能确定
11．下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线经过原点，点为轴上一点，且的面积为，双曲线经过矩形的顶点、，连接，交双曲线于点，且，若平分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为 ．
14．若点A（2，m）在反比例函数y＝的图像上，则m 的值为 ．
15．若反比例函数在各个象限，y随x增大而减小，则k的取值范围为 ．
16．如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点E在延长线上，，，交x轴于点F，边交反比例函数的图象于点P，记的面积为S，若，求k的值为 ．
17．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（k是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ．
三、解答题
18．如图，的两个顶点，分别落在反比例函数与的图象上，边在轴上．
(1)当时，的面积是________；
(2)若的面积为，求的值．

19．小亮在研究矩形的面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：
结果发现一个数据被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的数据为_________；
（2）y与x的函数关系式为_________，且y随x的增大而_________；
（3）如图是小亮画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断与的大小关系，并说明理由；
（4）在（3）的条件下，交于点G，反比例函数的图象经过点G交于点H，连接、，则四边形的面积为_________．
20．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．

(1)求y与x之间的函数表达式（不写出自变量的取值范围）．
(2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路40米要比每天修建30米提前多少天完成此项工程？
21．在炎热的夏天，重庆某脐橙生产基地为保证脐橙的产量，在养殖大棚安装了恒温系统。如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间()之间的函数关系图，其中线段AB，表示恒温系统开启至稳定后的阶段，曲线段CD 表示恒温系统关闭后阶段(曲线段 CD为反比例函数一部分)，根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统开启一段时间后，达到稳定阶段，则该稳定温度为多少？
(2)求该天的温度 与时间()之间的函数关系式；
(3)该恒温系统在开启达到最高温度后，至少稳定5小时才可关闭系统，且温度低于后，脐橙的生长会受到影响，请问该生产基地在时开启系统后最多可关闭多少小时，才能使脐橙生长不受影响？
22．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米．
(1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）；
(2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围．
23．如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C．
(1)求k的值．
(2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形．
(3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
(1)填空：OA= ，k= ，点E的坐标为 ；
(2)当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点．
①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点；
②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．
《第二十六章反比例函数》参考答案
1．B
【分析】根据反比例函数中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．
【详解】解：A、图形面积为|k|=4；
B、阴影是梯形，面积为6；
C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）=4．
故选B．
【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
2．D
【分析】先利用反比例函数的增减性分别用含k的代数式表示y1的最大值，y2的最小值，再解方程组即可.
【详解】解： 函数y1＝（k＞0），当﹣3≤x≤﹣2时，y1的最大值为a，
当时，最大，此时
y2＝﹣（k＞0），y2的最小值为a+2，
当时，最小，此时
解得：

故选D
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键.
3．B
【分析】根据反比例定义设解析式，代入求值即可．
【详解】∵y与x成反比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟记待定系数法求反比例函数解析式．
4．D
【分析】作轴，轴，与交于，根据一次函数解析式确定、两点坐标，由等腰三角形的性质得出，根据题意求出，由、都在一次函数图像上，设出两点坐标代数式，根据两点也在反比例函数图像上，由反比例函数图像上点的特征得出结果．
【详解】作轴，轴，与交于，如图，
由直线可知点坐标为，点坐标为，，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设点横坐标为，代入，则纵坐标是，则的坐标是，点坐标为，
，解得，
点坐标为，
双曲线过点两点，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、一次函数图像与坐标轴交点坐标，等腰三角形的性质，利用反比例函数图像上的点横纵坐标的乘积等于定值是解题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数的性质可得，解一元一次不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限，
，
解得：，
故选：．
6．C
【分析】根据反比例函数的定义“一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成，其中为常数，，我们就叫y是x的反比例函数”判定即可.
【详解】A、x的指数是，不符定义
B、x的指数是1，y与x是成正比例的，不符定义
C、可改写成，符合定义
D、当是，函数为，是常数函数，不符定义
故选：C.
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记定义是解题关键.
7．C
【详解】试题分析：分别把A，B代入可得，，所以，故答案选C．
考点：反比例函数图象上点的坐标的特征．
8．C
【分析】根据题意可得到函数类型，再根据函数图像上点的坐标特征进行判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得8小时前，
函数满足一次函数关系式，
8小时后，
，函数满足反比例函数，
故选C．
【点睛】本题考查函数的性质：函数图像上的点满足函数解析式，解题关键是得到函数类型以及掌握函数图像上点的坐标特征．
9．D
【分析】先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的直线解析式，再联立双曲线的解析式，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式列出等式，求解即可得．
【详解】将直线向下平移m个单位长度得到的直线解析式为
联立
化简得：
由题意得，关于x的一元二次方程只有一个实数根
则其根的判别式
解得或
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的图象平移规律、一元二次方程的根的判别式等知识点，理解题意，将问题转化为利用一元二次方程的根的判别式求解是解题关键．
10．A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．
【详解】∵A（-2，y1），B（-3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，
∴y1==3，y2==2，
∴y1>y2．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．
11．C
【详解】根据反比例函数的定义，可得
A、符合反比例函数的定义，y是x的反比例函数，错误；
B、符合反比例函数的定义，y是x的反比例函数，错误；
C、y与x－1成反比例，y不是x的反比例函数，正确；
D、符合反比例函数的定义，y是x的反比例函数，错误．
故选C．
点睛：此题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，即可判定各函数的类型是否符合题意．
12．C
【分析】连接，先由平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而AE//BD，再由平行线的性质得到和的面积相等，然后设点的坐标，结合得到点和点的坐标，最后结合的面积求出的值．
【详解】解：连接，
∵矩形的对角线经过原点，双曲线经过矩形的顶点、，
∴点是矩形对角线与的交点，
∴，即，
∴，
∵平分
∴，
∴，
∴AE//BD，
∵的面积为，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，角平分线的性质等知识．解题的关键是通过平行线的判定和性质得到和的面积相等．
13．m＞3
【分析】根据反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，可以得到3-m＜0，从而可以解答本题．
【详解】解：∵反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴3-m＜0，
解得，m＞3，
故答案为：m＞3．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14．3
【详解】解：将点（2，m）代入反比例函数得，m==3．
故答案为3．
点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式．
15．/
【分析】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．利用反比例函数的性质判断即可．
【详解】解：反比例函数在每一个象限内，随的增大而减小，
，
故答案为：．
16．8
【分析】过点C作轴于点N，过点D作轴于点M，过点E作轴于点Q，设点，先证明，得出，，再根据反比例函数图象上的点特征得出，从而得出为等腰直角三角形，得出，根据三角形的面积公式得出，根据在反比例函数图形上，得出，联立求解即可．
【详解】解：如图，过点C作轴于点N，过点D作轴于点M，过点E作轴于点Q．
设点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
则，
∴，
同理可得：，
∴，，
则，
∴，
∵点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，则，，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，则，，
∴，
∵，
∴，
∵在反比例函数图形上，
∴，
联立得：，
解得：．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形对应边相等．
17．或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围即可求解．数形结合是解题的关键．
【详解】解：∵函数（k是常数，且）与反比例函数的图象相交于，两点
∴以和2为大小的分界点，或时，函数图象都在函数图象的上方，
∴不等式的解集是或．
故答案为：或．
18．(1)；
(2)．
【分析】（）设，由四边形是平行四边形，则、两点的纵坐标相同，都是，求出，故有，然后用面积公式即可求解；
（）设，由四边形是平行四边形，则两点的纵坐标相同，都是，求出，故有，然后用面积公式即可求解；
本题考查了反比例函数与几何问题的综合，准确的表示点的坐标并转化为线段的长度并求出面积是解题的关键．
【详解】（1）当时，，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴、两点的纵坐标相同，都是，
当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）设，
∵四边形是平行四边形，
∴两点的纵坐标相同，都是，
∴当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴．
19．（1）4；（2）y=，减小；（3），说明见解析；（4）4
【分析】（1）矩形的面积S=xy，先根据表格中的数据得出S的值，然后确定涂黑处的值；
（2）y=，第（1）问中已经求出S的值，可得x、y的函数关系，根据反比例函数的增减性，可得y随x的变化情况；
（3）根据反比例函数k的几何意义可得与的大小关系；
（4）如下图，依据反比例函数k的几何意义，可知，从而得出．
【详解】（1）∵表格中x、y表示矩形的边长
则S=xy=0.5，解得：S=6
∴当x=1.5时，y=4；
（2）∵S=xy=6
∴y=
根据反比例函数的性质，在第一象限内，y随x的增大而减小；
（3）∵y=
其中k=6表示任取函数图像上一点P，过点分别做x轴、y轴垂线，则与坐标轴构成的矩形面积为6
∴，
∴；
（4）如下图，ED与OH交于点M
反比例函数k的几何意义还可以如下图，表示为：任取函数上一点P，向x轴作垂线，交x轴于点N，则△ONP的面积为
∵点G在函数图像上
∴==1
∴
∴．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，第（4）问中，解题关键是利用推导得出．
20．(1)
(2)15
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式；
（2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
经过点，
，
，
表达式为；
（2）解：依题意，∵表达式为
∴当时，，
当时，，
（天），
工程队提前15天完成此项工程．
21．(1)
(2)
(3)小时
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键．
（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，
根据题意，将，代入
得，
解得，
直线，
当时，，
恒定温度为：；
（2）由（1）可知：一次函数解析式为，
根据图象可知：，
设小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
，
函数解析式为：，
小时函数解析式为：；
（3）当时，，
，
∴该生产基地在时开启系统后最多可关闭小时，才能使脐橙生长不受影响
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．．
（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）分别算出至时间长为小时，至时间长为6小时，再代入，且结合反比例函数的图象性质，得出汽车行驶速度v的范围为．即可作答．
【详解】（1）解：依题意，得，
∴．
（2）解：依题意，（小时），（小时）
∴至时间长为小时，至时间长为6小时，
则将代入得；将代入得．
∴汽车行驶速度v的范围为．
23．(1)
(2)见解析
(3)存在，或
【分析】本题主要考查反比例函数的性质和菱形的判定和性质，
将点代入即可；
根据题意得轴，且轴，则有四边形是平行四边形，结合，那么四边形是矩形，由于，和即可判定；
根据点的坐标可求得，且点A和点C纵坐标相等，可设点，分以为对角线和以为对角线，列方程求解即可．
【详解】（1）解：把点代入，得，
∴．
（2）∵点A和点C的纵坐标都是，
∴轴．
∵，
∴轴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
（3）存在，点P的坐标为或．
∵，，，
∴，，，
∵点P与A，B，C三点共同组成菱形，点A和点C纵坐标相等，
∴可设点，
当菱形以为对角线，则，解得，
当菱形以为对角线，则，解得，
则，．
24．(1)6，﹣6，（﹣，4）
(2)①证明见解析；②t=或t=；③1≤t≤4，
【分析】（1）根据题意将相关数据代入求解即可．
（2）①用t表示直线MN解析式，及b，c，得到P点坐标代入双曲线y=解析式，证明关于t的方程无解即可；
②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况；
③由②中部分结果，用t表示F、P点的纵坐标，求出t的取值范围及直线MN在四边形OAEB中所过的面积．
【详解】（1）∵A点坐标为（﹣6，0），
∴OA=6，
∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=，
∴k=﹣6，
y=4时，x=，
∴点E的坐标为（﹣，4），
故答案为6，﹣6，（﹣，4）．
（2）①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1，
由题意得：，
解得，
∵抛物线y=﹣过点M、N，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣x+5t﹣2，
∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣），
∵P在双曲线y=﹣上，
∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6，
∴t=，
此时直线MN解析式为：，
联立，
∴8x2+35x+49=0，
∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0，
∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．
②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，
∴4=5t﹣2，得t=，
当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，
∴，得t=，
∴t=或t=．
③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣），
∴yP=5t﹣，
当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大，
此时，点P在直线x=﹣1上向上运动，
∵点F的坐标为（0，﹣），
∴﹣，
∴当1≤t≤4时，随t的增大而增大，
此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动，
∴1≤t≤4，
当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），
当t=4﹣时，直线MN过点A，
当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为，
S=．
【点睛】本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想．解题过程中，应注意充分利用字母t表示相关点坐标．
0
1
2
8

9
x
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
y
12
6
■
3
2
1.5
1
0.5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
D
B
C
C
C
D
A
题号
11
12








答案
C
C