27.2相似三角形同步练习 人教版数学九年级下册

这是一份27.2相似三角形同步练习 人教版数学九年级下册，共38页。
27.2相似三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在正方形中 ，M 为的中点，以为一边作正方形， 连接交于G， 交于 H、连接． 则下列结论中：①；②；③；④，正确的是（    ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．如图，下列条件不能判定与相似的是（    ）A． B． C． D．3．如图，在下列四个三角形中，与△ABC相似的是（    ）A． B．C． D．4．如图，在矩形，连接，分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交线段于点．连接，则四边形的周长为（　　）A． B．11 C． D．5．如图，在正方形ABCD中，M是AB上一动点，E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得EF，连接DE，DF，CF．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（    ）A．①②③ B．①③④C．②③④ D．①②④6．如图，在中，D，E分别为，的中点，则（   ）A． B． C． D．7．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（  ）A．3m B．4m C．m D．m8．如图，在中，点、分别在边、上， ，若，则（   ）A． B． C． D．9．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．则上述结论正确的个数是（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的周长比是（　　）A． B． C． D．11．如图，在中，点是边延长线上的一点，交于点，下列各式中可能错误的是（    ）  A． B． C． D．12．如图，已知，点是边中点，且．若，则的长为（    ）A．3 B．4 C． D．二、填空题13．如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为 14．如图，某班学生兴趣小组结合课堂所学的数学知识，利用木棒估测旗杆的高度．当学生甲的眼睛在点A处看学生乙所举的木棒DE时，发现旗杆BC恰好被木棒完全挡住．若DEBC，DE长为1.2m，测得此时点A到木棒和旗杆的距离分别为2m和20m，则旗杆BC的高度是 ．15．如图，平行于的直线把ΔABC分成面积相等的两部分，且点，分别在边，上，则的值为 ．16．如图，矩形ABCD中，的平分线AE交BC于点E，将沿DE翻折，点F恰好落在AE上，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G，若，则 ．17．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝120°，AB与CD之间的距离是，AB＝28，在AB上取一点E（AE＜BE），使得∠DEC＝120°，则AE＝ ．三、解答题18．【操作发现】（1）如图1，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点分别是，，连接，则______．【问题探究】（2）如图2，在中，为斜边上的一点，点分别在上，，，且四边形是正方形，求阴影部分的面积．小明运用图形旋转的方法，将绕点逆时针旋转，得到（如图3所示）请你利用小明的方法求阴影部分的面积；【问题解决】（3）如图4，有一个四边形的试验田，其中米，米，，与互余．点处是一个肥料池，点是的中点，且点到的距离等于之间的距离，为使灌溉方便，现要沿修建一条水渠，请你帮助管理者计算出水渠的长度．19．如图，在中，的平分线交于点．（1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若，，求的长．20．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．  (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的最大值；(3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点的坐标．21．在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间，(1)用含的代数式表示：线段 ； ．(2)当为何值时的面积为？(3)当与相似时，求出的值．22．综合与实践在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像．【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为．已知，，当时，求证：．证明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即 ① ，∴ ② ，∴，∴，即．请结合上述材料，解决以下问题：(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________；(3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象．23．如图，在四边形中，，，平分，点是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点和点．  (1)证明：四边形是菱形；(2)连接，证明：；(3)如图，连接，若，且，，求的长．24．如图，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，过作直线，连接．  （1）求证:是的切线；（2）若，求的长．《27.2相似三角形》参考答案1．A【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，过点F作于Q，易证明，得到，再由M 为的中点，得到，则，证明，得到，则，据此可判断①； 证明，得到，则，，据此可判断②③；延长交于T，证明，得到，则； 再证明，得到，则，可得，据此可判断④．【详解】解：如图所示，过点F作于Q，∵四边形和四边形都是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵M 为的中点，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故①正确； ∵，∴，∴，∴，，故③正确；∴，故②正确；如图所示，延长交于T，∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故④错误；故选：A．2．D【分析】此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似．本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．【详解】解：由图得：，∴当或或时，与相似；也可．D选项中不是成比例的两边的夹角．故选：D．3．A【分析】利用图形中的方格，算出每一个三角形的三边，比较比值是否与题中三角形一致即可判断是否相似．【详解】解：由图可知，△ABC各边比值为：：：，三角形各边比值为：2:4：=：：，符合题意；三角形各边比值为：：：，不符合题意；三角形各边比值为：：：4，不符合题意；三角形各边比值为：：：，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定，三边比值相同的三角形为相似三角形，结合实际图形进行判定是解题的关键．4．A【分析】利用基本作图可判断垂直平分，再利用勾股定理计算出，则，接着证明，利用相似比求出，，然后计算即可．【详解】解：由作法得垂直平分，，，四边形为矩形，，，在中，，为的斜边上的中线，，，，，，即，，，四边形的周长．故选：A．【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．5．D【分析】延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE=EH，由直角三角形的性质可得AE=EF=EH，可判断①；由四边形内角和定理可求2∠ADE+2∠EDF=270°，可得∠ADF=135°，可判断②；M为AB上动点，∠AEM为动态变化的角，可判断③ ；连接AC，证明△DCF∽△ACM，即可得到∠DCF=∠ACM，即可判断④．【详解】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H， ∵点E是CM的中点，∴ME=EC，∵AB∥CD，∴∠MAE=∠H，∠AME=∠HCE，∴△AME≌△HCE（AAS），∴AE=EH，又∵∠ADH=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，∴DE=AE=EH，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴AE=DE=EF，故①正确；∵AE=DE=EF，∴∠DAE=∠ADE，∠EDF=∠EFD，∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD=360°，∴2∠ADE+2∠EDF=270°，∴∠ADF=135°，∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=135°-90°=45°，故②正确；假如③正确，则∠AEM=∠FEC=(180°-∠AEF)÷2=45°，为确定的大小，由于M为AB上动点，则∠AEM为一个动态变化的值，故③错误；连接AC，过PE⊥AD，FN⊥PE交CD于Q点，如下图所示：∵∠FEN+∠AEP=90°，∠EAP+∠AEP=90°，∴∠FEN=∠EAP，且∠APE=∠ENF=90°，EA=EF，∴△APE≌△ENF(AAS)，∴AP=NE，∵AM∥PE∥DC，且E是MC的中点，∴PE是梯形AMCD的中位线，∴，又PE=PN+NE，∴PN=AM，又PN=DQ，∠QDF=45°，∠DQF=90°，∴△DQF为等腰直角三角形，∴DF=DQ=PN=AM，∴，在等腰直角△ACD中，，∴，且∠CDF=∠MAC=45°，∴△CDF∽△，∴∠DCF=∠MCA，∴+∠MCA=∠BCM+∠DCF=∠BCA=45°，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，旋转的性质，梯形中位线的定理等知识，综合性较强，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．6．B【分析】本题考查相似三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据已知得是三角形的中位线，从而可得到，进一步得出，从而可出．【详解】解：∵D，E分别为，的中点∴，，∴，∴，故选：B．7．C【分析】由平行得到两三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解．【详解】解：设点P到AB的距离是xm∵AB∥CD∴△ABP∽△CDP∴ ∴x= 故选C．【点睛】此题考查相似三角形的对应高的比等于相似比,解题关键是熟练掌握性质．8．C【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积比，熟悉掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题的关键．利用平行判定出，再通过比值关系运算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，，∵，则，∴，∴，∴，∴，故选：C．9．B【分析】根据正方形的性质得，可知，而，可知，可判断①正确；利用，，可知，则②正确；利用，得，且，可知③错误；延长交于，由，得，可判断④正确．【详解】解：四边形与四边形都是正方形，，，，，，，，设与相交于点，，，，，故①正确；，，，，，，故②正确；如图，延长交于，，，，，故④正确；，，，，，，故③错误，正确的是①②④，故选B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．10．A【分析】根据相似三角形的周长比等于对应的高线的比进行求解即可．【详解】解：∵，和是它们的对应高线，，，∴与的周长比．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．11．D【分析】根据平行四边形的性质得到再利用平行线分线段成比例定理即可判断A和B选项，再利用平行线分线段成比例定理和等量代换即可判断C选项，再证明，即可判断D选项【详解】四边形是平行四边形，，，，，，故选项A和选项B正确，不符合题意；故选项C正确，不符合题意；四边形是平行四边形，，，，，故选项D错误，符合题意；故选：D【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质．12．D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可．【详解】解：∵点是边中点，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故选D．13．18.【详解】∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵，∴，∴．故选：18．14．12m【分析】根据题意可得，根据相似三角形的性质可得对应边的比等于相似比，进而求得的长【详解】解：∵DEBC，∴点A到木棒和旗杆的距离分别为2m和20m，DE长为1.2mm故答案为：12m【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE＝S四边形BCED，可得出，结合BD＝AB−AD即可求出的值，此题得解．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC∴∵平行于的直线把ΔABC分成面积相等的两部分，∴∴故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．【分析】先根据角平分线的定义、折叠的性质得到和是等腰直角三角形，通过计算角度关系得到，即，即，设，则通过证明，得到的值，即可得到OF的长度．【详解】解：∵AE平分，∴，∵将沿DE翻折，点F恰好落在AE上，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，，∴，，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，，，∴为等腰直角三角形，，AB=AF，如图，作于，连接，点是的中点，点是的中点，即，，，，，，，，，又，，  ，令，则，，，，，，即，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等内容，根据题意做出辅助线，找到对应线段间比例关系是解决本题的关键．17．12．【分析】过点D作DG⊥AB，在AB上截取AF＝AD，可证△ADF为等边三角形，由AB与CD之间的距离是，可求得AD，AF，DF及BC；设AE＝x，证得∠DFE＝∠B，∠FED＝∠BCE，可得△FED∽△BCE，利用相似三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，过点D作DG⊥AB，在AB上截取AF＝AD∵在平行四边形ABCD中，∠B＝120°，∴∠A＝60°∴△ADF为等边三角形∵AB与CD之间的距离是，∴DG＝，∴∠ADG＝30°∴＝sin60°∴AD＝＝8∴AG＝FG＝4，DF＝8，BC＝8设AE＝x，则FE＝x﹣8∵AB＝28，∴BE＝28﹣x∵∠DEC＝120°，∠B＝120°∴∠FED+∠BEC＝60°，∠BCE+∠BEC＝60°∴∠FED＝∠BCE∵△ADF为等边三角形∴∠AFD＝60°∴∠DFE＝120°∴∠DFE＝∠B，∠FED＝∠BCE∴△FED∽△BCE∴∴解得x1＝12，x2＝24（舍去）故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质、等边三角形的性质等，是解题的关键．18．（1）；（2）1；（3）100米【分析】（1）根据旋转的性质可得为等腰直角三角形，即可求得的度数；（2）首先根据正方形的性质及旋转的性质可得，，，点在一条直线上，然后利用三角形面积公式计算阴影部分的面积即可；（3）连接，由题意可得垂直平分，则有；将绕点A逆时针旋转得到，连接DG，证明，由相似三角形的性质可解得米，再证明，然后在中由勾股定理解得（米），即可获得答案．【详解】解：（1）由旋转的性质可得，，．故答案为：；（2）∵四边形是正方形，∴，，∴，∵绕点D逆时针旋转90°，得到，∴，，，，∴，点在一条直线上，∴；（3）如下图，连接，由题意知，，即垂直平分，∴，将绕点A逆时针旋转得到，连接DG，则，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴米，∵与互余，即，∴，∴，∴（米），∴米．【点睛】本题主要考查了旋转变换、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，理解并掌握旋转的性质、正确作出辅助线是解题关键．19．（1）见解析；（2）4【分析】（1）作的垂直平分线交AC于E，点E即为所作的点；（2）需证，所以，再由，不难求得DE的值．【详解】（1）作DC的垂直平分线交AC于点E．点就是所求作的点．（2）连接DE，由（1）知DE=EC．，CD平分，，，， 又，．．，，．．．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质和判定，角平分线定义及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解相关定义和定理是解本题的关键．20．(1)(2)(3)点的坐标为：或或或【分析】（1）把点，，的坐标代入，解出，，，即可；（2）过点作轴，交于点；过点作轴，交于点；设直线的解析式为：，求出的解析式，根据点的坐标，求出点的坐标，根据相似三角形的判定和性质，则，推出，根据，二次函数的性质，即可；（3）当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，；设点，则，，得到点；当点绕点逆时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，同理求出代入函数解析式，即可．【详解】（1）∵抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，∴，∴，∴．（2）过点作轴，交于点；过点作轴，交于点；设直线的解析式为：，∴，解得：，∴，设点且，∴点，∴，∵，∴当时，，∴点，∵轴，轴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴当（）时，有最大值，∴的最大值为．  （3）当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∵点在直线：上，∴设点，∴，，，，∴点，∵点在抛物线上，∴，解得：，，∴点或；  当点绕点逆时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∵点在直线：上，∴设点，∴，，，，∴点，∴，解得：，，∴点或0,3；综上所述，点的坐标为：或或或0,3．  【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，即可．21．(1)(2)当或3时，三角形的面积为(3)当或1时，与相似【分析】本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质，（1）由运动知，得出结论；（2）根据的面积为，建立方程，解方程即可求出答案；（3）分或两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．【详解】（1）由运动知，，故答案为：；（2）由（1）知，，的面积为，，或3，当或3时，三角形的面积为．（3）与相似，，或，或，当，则，，当时，则，，当或1时，与相似．22．(1)①②(2)20(3)见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．（1）分别证明，，由相似三角形的性质可得，整理可得，等号两边同时除以，即可获得答案；（2）结合（1），首先解得，结合，代入数值求解即可；（3）设与交于点，证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，结合（1）可得，等号两边同时加1，整理可得，结合可得出，即可说明这一物理现象．【详解】（1）证明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即，∴，∴，∴，即．故答案为：①；②；（2）由（1）可知，，，当，，时，可得，解得，∴可有，解得，即物体所成的像的高度为．故答案为：20；（3）如下图，设与交于点，根据题意，，∵，∴，∴四边形为矩形，∴，∵，，∴，∴，即，由（1）可知，，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线始终经过主光轴上一定点，该定点透镜为焦点．23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．【分析】()先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得出结论；()先证明，得出 ，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论； ()先求出，再由勾股定理求出，设，则 ，再由勾股定理得出，求出，从而得到是等边三角形，然后求出．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）证明：四边形是菱形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵ ，，∴， 由 () 知，，∴，由()知，，∴，∴，在中，，设，则 ，在中，，∴，解得，即，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，又∵四边形是菱形，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是构建相似三角形，证明三角形相似．24．（1）见解析；（2）4【分析】（1）连接，根据圆的基本性质证出，然后根据垂径定理可得OD⊥BC，从而证出OD⊥DF，最后根据切线的判定定理即可证出结论；（2）根据相似三角形的判定定理证出，列出比例式即可求出结论．【详解】（1）证明：连接  ∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴∴OD⊥BC∵∴OD⊥DF∴是的切线；（2）解：【点睛】此题考查的是圆的基本性质、垂径定理、切线的判定和相似三角形的判定及性质，掌握圆的基本性质、垂径定理、切线的判定和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．题号12345678910答案ADAADBCCBA题号1112        答案DD