人教版（2024）九年级下册27.3 位似练习题

这是一份人教版（2024）九年级下册27.3 位似练习题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ）

A．B．或
C．D．或
2．在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心缩小得到．若点和对应点的坐标分别为和，则与的相似比为（ ）
A．2B．C．D．3
3．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到．若点A的坐标是，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，的面积为，则的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．15
5．如图，在平面直角坐标系中有两点A（-2，0）和B（-2，-1），以原点O为位似中心作△COD，△COD与△AOB的相似比为2，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴左侧，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：9
7．如图，若△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（2，0）D．（0，﹣1）
8．在平面直角坐标系中，已知两点，，先将线段AB向右平移1个单位，再向上平移1个单位，然后以原点为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段CD，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．或C．D．或
9．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为3，则的面积为（ ）

A．6B．9C．12D．27
11．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点RB．点PC．点QD．点O
12．在如图所示的平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为，则与的周长比是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是 ．

14．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，以原点O为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大，则点B的对应点的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，

(1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为；
(2)计算的面积．
19．在图的方格纸中，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1 与△OAB 是以点 P 为位似中心的位似图形
(1)在图中标出位似中心 P 的位置，并写出点 P 及点 B 的对应点 B1 的坐标；
(2)以原点 O 为位似中心，画出△OAB 的位似图形△OA2B2，使它与△OAB 都在位似中心的同侧且它与△OAB 的位似比为 2：1，并写出点 B 的对应点 B2 的坐标；
(3)△OAB 内部一点M 的坐标为（a，b），写出 M 在△OA2B2 中的对应点 M2的坐标；
(4)判断△OA2B2 能否看作是由△O1A1B1 经过某种变换得到的图形．若能，请指出是怎样变换得到的（直接写答案）．
20．综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
21．如图1，2在矩形纸片ABCD中，AD=6，AB=9.点M，N分别在AB，DC上（M不与A，B重合，N不与C，D重合），现以MN为折痕，将矩形纸片ABCD折叠.
（1）当B 点落在DC上时（如图2），求证：△MNB是等腰三角形；
（2）当B点与D点重合时，试求△MNB的面积；
（3）当B点与AD的中点重合时，试求折痕MN的长.
22．在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC．
（1）操作发现：若AB=AC，∠BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是 ， ；
（2）猜想论证：
在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：
如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于 度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3时，请直接写出线段CF的长的最大值是
《27.3位似》参考答案
1．D
【分析】本题考查了位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
【详解】∵，以原点O为位似中心，相似比为2，
∴点的坐标是或，
故选D．
2．A
【分析】根据坐标与图形的性质进行解答即可．
【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和对应点的坐标分别为和，
则与的相似比为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键．
3．C
【分析】根据位似定义，结合图象直接求解即可得出结论．
【详解】解：如图所示，，
，
，
，即，
故选C．
【点睛】本题考查利用位似求坐标，掌握位似比与相似比的关系以及位似图形对应点的坐标与位似比的关系是解决问题的关键．
4．C
【分析】根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵与是位似图形，与的周长比为，
∴与的面积比为
∵的面积为，
∴的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
5．B
【分析】直接利用位似图形的性质即可得出答案．
【详解】∵B（-2，-1），以原点O为位似中心作△COD，△COD与△AOB的相似比为2，点D与点B对应，且CD在y轴左侧，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴点D的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键．
6．D
【详解】由位似比可得出相似比，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
解：∵OB=3OB′，
∴OB′：OB=1：3，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3，
∴.
故选D
7．A
【分析】根据题意延长A′A、B′B交于点P，结合坐标系即可求得的坐标．
【详解】如图，延长A′A、B′B交于点P，则点P（1，﹣1）为位似中心，
故选：A．
【点睛】本题考查了求位似中心，理解位似中心是每组对应点的连线交于一点是解题的关键．
8．B
【分析】先根据平移得出点A平移后的坐标，再根据关于原点成位似变换的点的坐标特点即可求出答案.
【详解】解：∵点A平移后的坐标为（8，6），
∴以原点O为位似中心，位似比为的对应点C的坐标为（8，6）或（8，6），
即C的坐标为（4，3）或（－4，－3）.
故选B.
【点睛】本题考查了坐标系中的平移与位似变换.掌握平移和位似变换的性质是解题的关键.
9．C
【分析】此题主要考查了以原点为中心的位似图形．根据以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标．
【详解】解：根据以原点为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以，
故点的坐标是，则点的坐标是，
故选：C．
10．D
【分析】先根据位似图形性质得到，然后根据位似图形的面积比等于位似比的平方计算即可解答．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
∴
∵的面积为3，
∴的面积为27．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似的面积比等于位似比的平方是解答本题的关键．
11．D
【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案．
【详解】如图所示，位似中心是点O．
故选：D．
12．A
【分析】本题主要考查位似变换，相似三角形的性质，掌握位似变换的性质是解题的关键．
根据位似变换的概念得到，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：与是以为位似中心的位似图形，
与的相似比是，
故与的周长比是，
故选A．
13．
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解∶设
∵与位似，原点是位似中心，且．若，
∴位似比为，
∴，
解得，，
∴
故答案为：
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
14．
【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为4和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长．
【详解】解：如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
∴是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为4，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
15．
【分析】先根据位似比求出，再证明，得到，，，，同理证明，得到，从而得到正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……，据此发现规律即可得到答案．
【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
正方形的边长为，
，
，
同理可得，
，
，
正方形的边长为，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
……
∴正方形的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题为位似的实际应用，考查了位似比，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并发现规律是解题关键．
16．
【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大，B的坐标为，
∴点B的对应点B'的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
18．(1)作图见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了作图﹣位似变换，涉及位似定义与性质、位似作图、网格中三角形面积等知识，根据题意得出对应点位置是解题关键．
（1）根据和以为位似中心，且位似比为，得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用三角形的面积计算公式解答．
【详解】（1）解：如图所示：

即为所求；
（2）解：，
∴的面积为3．
19．(1)P的位置见解析，P(-5,-1) ，B1(3,-5) ；（2）图形见解析，B2(-2,-6)；（3）M2(2a,2b)；（4）平移
【分析】（1）对应点的连线的交点即为位似中心，根据点P及点B的对应点B1的位置写出坐标即可；
（2）延长OA到A2，使得OA2=2OA，延长OB到B2，使得OB2=2OB，连接A2，B2，可得△OA2B2；
（3）△利用位似变换的性质可得结论；
（4）△OA2B2能看作是由△O1A1B1经过平移变换得到的图形．
【详解】（1）点P的位置如图所示，点P（-5，-1），点B1（3，-5）；
（2）△OA2B2如图所示．点B2的坐标（-2，-6）；
（3）△OAB内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标（2a，2b）；
（4）△OA2B2能看作是由△O1A1B1经过平移变换得到的图形．△O1A1B1向左平移5个单位，向下平移1个单位得到△OA2B2．
【点睛】考查作图-位似变换，几何变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（1）①相等，见解析；②43.2；（2）
【分析】本题考查了相似三角形的应用，位似的性质．
（1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解．
（2）根据位似比为，代入数据计算即可．
【详解】解：（1）①．
由题意得，
∴，
∴，
，
；
②，，，，
．
．
故答案为：．
（2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，
点P的坐标为，即，
故答案为：．
21．（1）证明见解析；（2）S△MNB=19.5；（3）MN=2.
【详解】试题分析：（1）先判断出AM∥DN，进而得出∠BNM=∠BMN=∠NMH，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出DN，再用三角形得面积公式即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出BH，再判断出△ABH∽△EMN即可得出结论．
试题解析：（1）如答图1，
∵四边形AHGD是矩形 ，
∴AM∥DN，
∴∠BNM=∠BMN=∠MNH，
∴△MNB是等腰三角形.；
（2）如答图2，当点B与点D重合时，
设MB=MF=x，则AM=9-x，
由勾股定理得：62+（9-x）2=x2，解得x=6.5，
∴MD=ND=6.5，
∴S△MNB=×6×6.5=19.5.
（3）如答图3，当点B与AD的中点重合时，连接BH交MN于点F，过点N作NE⊥AH于点E，
∵AD=6，
∴AB=DB=3，
∴BH2=32+92.
∴BH=3.
∵NM垂直平分HB，NE⊥AH，
∴∠MNE=∠AHB.
∵∠A=∠NEM，
∴△ABH～△AHB.
∴.
∴.
∴MN=2.
22．(1) CE=BD，CE⊥BD；(2) 仍然成立 (3) 45°； ；
【分析】（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质可得CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，即可得结论CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立，证明的方法与（1）一样；（3）过A作AM⊥BC于M，过E点作EN垂直于MA延长线于N（如图3），根据已知条件易证Rt△AMD≌Rt△ENA，可得NE=MA，再证明Rt△AMD∽Rt△DCF，设DC=x，根据相似三角形的性质列出比例式，得到CF与x的二次函数关系式，利用二次函数性质解决问题即可.
【详解】解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，
所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；
（3）过A作AM⊥BC于M，过E点作EN垂直于MA延长线于N，如图3，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴NE=MC，∴AM=MC，
∴∠ACB=45°，
∵四边形MCEN为矩形，
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴=，设DC=x，
∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3，
∴AM=CM=3，MD=3﹣x，∴=，
∴CF=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解决第（3）问，利用相似三角形的性质构建二次函数模型是解决问题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
C
B
D
A
B
C
D
题号
11
12








答案
D
A