数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用当堂检测题

这是一份数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用当堂检测题，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=3：2，顶宽是7米，路基高是6米，则路基的下底宽是（ ）
A．7米B．11米C．15米D．17米
2．如图，已知太原南站某自动扶梯AB的倾斜角为31°，自动扶梯AB的长为15 m，则大厅两层之间的高度BC为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，矩形中，，，点P在边上，将绕点B顺时针旋转得到，恰好落在上，且点，，C在一直线上，则的长为（ ）
A．B．1C．D．
4．已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图1，点P为△ABC边上一动点，沿着A→C→B的路径行进，点P作PD⊥AB，垂足为D，设AD＝x，△APD的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则依据图中的数量关系计算△ACB的周长为（ ）

A．B．15C．D．
6．如图，某人沿坡角为的山坡前进了100米，那么他此时与地面的垂直距离BC为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点：②作直线交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．某人沿着倾斜角为，坡度为的斜坡向上前进了，那么他的高度上升了（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（ ）
A．8B．C．D．10
10．如图，在四边形材料中，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径为（ ）

A．10cmB．12cmC．cmD．13cm
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为( )
A．(40＋403)海里B．(803)海里
C．(40＋203)海里D．80海里
12．如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝( )米(结果可保留根号)．
A．(7＋21)B．(6＋21)C．(21＋4)D．(21＋6)
二、填空题
13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东方向的处，他先沿正东方向走到地，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地，已知，两地相距，由此可知，，两地相距 ．
14．如图，在边长为的等边中，E，F分别是边AC，BC上的动点（均不与端点重合），且，AF，BE相交于点P，连接CP．现给出以下结论：①；②；③直线CP可能垂直于AB；④CP长的最小值为1．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
15．一个斜坡的坡角为，则这个斜坡的坡度为 ，沿着斜坡前进50米则上升了 米．
16．如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为 （结果保留根号）．
17．如图，在ABCD中，∠D＝60°，∠DAC＝45°，CD＝2，点P是BC的中点，过点P作直线l，过点A作AM⊥l于点M，过点B作BN⊥l于点N，则AM＋BN的最大值为 ．

三、解答题
18．某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cs23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cs24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）
19．如图，AB为的直径，、为圆上两点，．
(1)尺规作图：作于（保留作图痕迹，不用写作图步骤）；
(2)求证：CE是的切线；
(3)若，，的值．
20．如图，李伯伯有一块等边三角形菜地，由于近期蔬菜的畅销，李伯伯准备将这块菜地进 行扩充得到三角形，其中点D，B，C 在同一条直线上．经测量，，， 求扩充部分的地块的面积．（结果精确到，参考数据：，，，）
21．图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图②，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离、身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（精确到，参考数据：，）
22．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【解决问题】阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造．如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部B．于是小江在地面上的点C处放置了一个平面镜，小海从C处出发沿着方向移动，当移动到点E处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端A的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为1.6 m；然后，小江沿方向移动到点G，用测角仪测得上天台顶端A的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为1.6 m．已知点B，G，C，E在同一水平直线上，且均垂直于，求该上天台的高度．
23．如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．

(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：BD⊥CF；
(3)在（2）小题的条件下， AC与BG的交点为M， 当AB=4，AD=时，求线段CM的长．
《28.2解直角三角形及其应用》参考答案
1．C
【详解】可过上底的两个端点，分别作下底的垂线段，根据腰的坡度和梯形的高求出下底的长．
解：如图所示 ，等腰梯形ABCD是铁路路基的横断面，腰AB、CD的坡度为3: 2，BC=7米，BE=CF=6米.
在Rt△ABE中,
tanA=，BE=6米，
∴AE==4米，
∴DF=AE=4米，
∴AD=AE+EF+FD=AE+BC+FD=4+7+4=15(米).
故选C.
2．B
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin31°=，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：sin31°==，
则BC=15sin31°（m）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
3．B
【分析】
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角函数的定义，勾股定理．利用旋转的性质结合勾股定理求得的长，推出，利用三角函数的定义列式计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点作，垂足为，
在中，，
∴,
∴
\
∴，
在中，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
5．C
【分析】根据函数图象得出拐点处坐标为（4，6），结合图3得出当点P运动到C点时，y有最大值6，从而计算出CD的值，勾股定理求出AC，根据当点D运动到B点时，函数值为0，求出AB的值，从而求出BD的值，利用锐角三角函数求出BC即可解答．
【详解】由图像可知函数图像的拐点处坐标为（4，6），
结合图3可知，当点P运动到C点时，y有最大值6，
可知：y=AD·CD，代入数据得CD=3，
在Rt△ADC中，AC==5，
当点D运动到B点时，函数值为0，故AB=，
∴BD=4+-4=，
在Rt△BDC中，CD=3，BD=，tanB=，
得∠B=60°，由BD=BC·cs60°，得BC=，
∴△ABC的周长为：5++4 += ．
故选：C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．C
【分析】根据，代入数值即可求得答案．
【详解】，
，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
7．A
【分析】连接BD，由垂直平分线的性质，得到BD=CD，然后得到∠DBC=∠C=45°，则∠ABD=30°，则∠ADB=90°，由解直角三角形求出BD的长度，再求出AD的长度即可．
【详解】解：连接BD，如图：
由题意可知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵，，
∴∠DBC=∠C=45°，
∴∠ABD=75°45°=30°，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD和△BCD是直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到△ABD和△BCD是直角三角形，利用解直角三角形进行解题．
8．D
【分析】根据题意，画出图形，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：AB=130米， ，
设 米，则 米，
∵ ，
∴ ，
解得： 或（舍去），
∴AC=50米，
即他的高度上升了50米．
故选：D
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——坡角问题，正确构造直角三角形是解题的关键．
9．B
【分析】过点作于点，过点作交于，连接，首先解得，，结合，可得，根据平行线分线段成比例定理，可解得，进而证明四边形为平行四边形，可得；作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，由对称的性质可得，故当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度，结合三角函数和勾股定理分别解得，，，的值，由轴对称的性质可得的值，证明，由相似三角形的性质解得，进而可得，理由勾股定理分别解得，的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作于点，过点作交于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，如图，
由对称的性质可得，
∴，
∴当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度，
∵为的中点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴在和中，
，，
∴
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
10．A
【分析】当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，过点作于点，过点作于点．利用勾股定理法构建方程求解即可．
【详解】解：如图，当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，过点作于点，过点作于点．

∵，，
∴，，
∵，，相切于于点，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，，
四边形是矩形，
∴，
设，
则有，即，
，
故选：．
【点睛】本题考查切线的性质，直角梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法构建方程解决问题．
11．A
【详解】试题分析：根据题意可得：△APC为等腰直角三角形，则AC=PC=40海里，根据Rt△BCP的性质可得：BC=403海里，则AB=AC+BC=(40+403)海里，故选A．
12．A
【分析】作AE⊥CD于点E，则△AED和△ABD都是等腰直角三角形，即可求得DE的长，然后在直角三角形中利用三角函数求得CE的长，进而求得CD的长．
【详解】解：作AE⊥CD于点E．
在直角△ABD中，∠ADB=45°，
∴DE=AE=BD=AB=21（米），
在直角△AEC中，CE=AE•tan∠CAE=21×tan30°=21×=（米）．
则CD=（21+）米．
故选A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．
13．
【分析】先求出∠BAC，再根据三角形的内角和定理求出∠C，从而得到∠BAC=∠C，然后根据等角对等边可得BC=AB，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图：
∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向，
∴∠BAC=90°-60°=30°，
∵C在B地的北偏东30°方向，
∴∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-120°=30°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠CBD=60°，
∵BC=AB=150km，
∴CD=BC=75，
∴AC=150km，
故答案为150．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，方向角的定义，根据角的度数求出∠BAC=∠C是解题的关键，也是本题的难点．
14．①②③④
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得∠ABE=∠CAF，可求∠APB=120°，可判断①②，过点A，点P，点B作⊙O，则点P在 上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，可判断③④，从而可得答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°，
在△ABE和△CAF中， ，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠CAF， 故①符合题意；
∴∠BPF=∠PAB+∠ABP=∠CAP+∠BAP=60°，
∴∠APB=120°， 故②符合题意；
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，
∴点P在上运动，
∵AO=OP=OB，
∴∠OAP=∠OPA，∠OPB=∠OBP，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°，
∴∠OAB=30°，
∴∠CAO=90°，
∵AC=BC，OA=OB，
∴CO垂直平分AB，
当在上时， 故③符合题意；
∴∠ACO=30°，
∴cs∠ACO=，CO=2AO，
∴CO=2， ∴AO=1 ，
在△CPO中，CP≥CO-OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值=， 故④符合题意．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
15． 25
【分析】根据坡度=h：=tanα，其中α是坡角，上升的高度是坡角的对边，利用sinα计算即可．
【详解】设坡角为α，
∵坡度=h：=tanα，α=30°，
∴这个斜坡的坡度为tan30°=，
∵sinα=，
∴h=50 ×sin30°=50 ×=25(米)，
故答案为：，25．
【点睛】本题考查了坡度的相关计算，熟记特殊角的三角函数值，准确选择计算的三角函数是解题的关键．
16．/
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作于E，则四边形是矩形，，再解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴铁塔的高度为
故答案为：
17．
【详解】如图，过点C作CE⊥l于点E，l与AC交于点O，过点C作CF⊥AD于点F，∴∠BNP＝∠CEP＝90°．

∵点P是BC的中点，∴BP＝CP．
在△BNP与△CEP中，
∴△BNP≌△CEP（AAS），
∴BN＝CE．
在Rt△AMO和Rt△CEO中，斜边AO，CO始终大于等于AM，CE，
∴当AM＋BN最大时，则l⊥AC，AM，EC与AC重合，
∴AM＋BN＝AC．
∵∠D＝60°，∠DAC＝45°，CD＝2，
∴CF＝CD·sin60°＝，
AC＝CF＝．
18．34米．
【分析】作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，
设AN=x米，则BD=CE=x米，
在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，
在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，
∵ME﹣MD=DE=BC，
∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1，
∴，
解得x≈34（米）．
答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．构造直角三角形是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意作作于；
（2）连接，已知条件得出，则，根据（1）可得，则，即可得证；
（3）连接，证明，得出，勾股定理可得，则，解方程求得，根据，求得，然后根据，根据余弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴
又∵
∴
∴，
又∵
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（3）解：如图所示，连接 ，
∵是的切线,
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：或，
∵
∴
∴
∵
∴
又是直径，
则，
∴．
【点睛】本题考查了作垂线，切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．，详见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，等边三角形的性质等知识点，如图，过点A作，垂足为E，根据垂直定义可得，再根据等边三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，进而即可求得扩充部分的地块的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】如图，过点A作，垂足为E，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
设，则，
∴在中，，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴扩充部分的地块的面积约为．
21．小杜最少需要下蹲才能被识别
【分析】根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．
【详解】解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
在中，．
．
，
．
．
，，
小杜下蹲的最小距离．
∴小杜最少需要下蹲才能被识别．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．
22．该上天台的高度为19.8米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，过点F作于点H，解，得到，设，证明，列出比例式，求出的值，进一步求出的长即可．
【详解】解：如图，过点F作于点H，
则，，
在中，，
∴．
设，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
答：该上天台的高度为19.8米．
23．(1)见解析
(2)AC＝
【分析】（1）连接，，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质得到，进而得到，根据圆周角定理结合题意推出，即可判定AD是⊙O的切线；
（2）根据平行线的性质得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的长，根据线段的和差求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，BE，

∵点D为的中点，
∴，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴ODBE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵ADCE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DGCE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，
∴sinA＝sin∠ECB＝，
在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，
∴OA＝，
∴AC＝OA﹣OC＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
24．(1)成立，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形及正方形的性质可得，，，利用各角之间的数量关系可得，依据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）设BG交AC于点M，由（1）中结论可得 ，利用相似三角形的判定和性质可得，，由此即可证明；
（3）过点F作于点N，由正方形性质及勾股定理可得，，根据等腰三角形及勾股定理可得，利用正切函数得出，，结合图形，由各线段间的数量关系即可得．
【详解】（1）解：成立．
理由：∵是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：设BG交AC于点M，如图所示：
由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点F作于点N，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵在等腰直角 中，，
∴，，
∴在中，，
∴在中，，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查等腰三角形及正方形的性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，勾股定理，正切函数等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
B
C
C
A
D
B
A
题号
11
12








答案
A
A