北师大版（2024）八年级下册1 等腰三角形随堂练习题

这是一份北师大版（2024）八年级下册1 等腰三角形随堂练习题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，ABC中，，，点E在BC上，点F为AB延长线上一点，且，，则（ ）
A．58°B．60°C．65°D．70°
2．如图，在中，为的中点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．如图，直线，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，，则等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
5．在中，，、是斜边上的高和中线，，则长为（ ）.
A．25cmB．5cmC．15cmD．10cm
6．已知△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是2；③EF的最小值是2；④∠CDF＝∠CEF，其中正确的结论是（ ）

A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
7．如图，等边△OAB边长为2，顶点O在平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（，1）C．（1，）D．（，）
8．如图．在△ABC中，AB=AC=6，点D在BC上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形DEAF的周长是（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与相交于点．若点是的中点，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．个B．个C．个D．个
10．如图，在锐角ABC中，AB8，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．3
11．题目：“如图，，C是射线反向延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，已知点P，Q同时出发，表示移动的时间，若是等腰三角形，求t的值．”对于其答案，甲答：“”，乙答：“”，则正确的是（ ）

A．只有甲正确B．只有乙正确
C．甲、乙合在一起才正确D．甲、乙合在一起也不正确
12．如图，已知，平分，，在上找一点M，在上找一点N，则的最小值是（ ）

A．40B．32C．24D．20
二、填空题
13．如图，中，，点在边上，以为边在右上方作等边，若，则点到边的距离为 ．
14．一个等腰三角形的三个内角度数之比为1：1：3，则这个等腰三角形的顶角的度数为 °．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝3，则BH＝ ．
16．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD：AD的值为 ．
17．如图，在中，，，过点A作交于点D，过点D作交于点E，设的长为y，当时，y关于x的函数解析式为 ．

三、解答题
18．（1）已知，将下式先化简，再求值：；
（2）已知是的三边的长，若满足，试判断此三角形的形状．
19．如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为，已知格点，请按要求画格点三角形．（顶点均在格点上）
(1)在图1中画一个等腰，腰长为；
(2)在图2中画一个，，点落在上．
20．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？
21．校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使与l垂直，测得长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使，．
(1)求的长（精确到0.1米，参考数据：，）；
(2)已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
22．在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．
23．问题：如图在等腰三角形中，，D、E是上两点，且，求证：．

(1)对于这个问题的解答，我们的解题思路是：通过恰当作辅助线构造直角三角形，使和在同一个三角形中，即过点A作线段，使，连接．请完成证明；
(2)思考参考以上解法，解决如下问题：
如图，在四边形中，，，，．求的长．

24．如图，梯形中，，，是的中点．求证：，分别是和的平分线．
《1.1等腰三角形》参考答案
1．D
【分析】先证明Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝25°，然后根据AB＝BC，∠ABC＝90°可得∠ACB的度数，即可求出∠ACF的度数．
【详解】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠BCF＝25°，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝25°＋45°＝70°，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF是解题的关键．
2．D
【分析】在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=25°，
∴∠BAC=50°，
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
3．C
【分析】分别以点A、B为圆心，以AB的长度为半径画弧，再作AB的垂直平分线，找弧、垂直平分线与网格的交点即可；
【详解】解：如果点也是图中的格点，且是等腰三角形，则点有个，如图：
故选：
【点睛】本题考查等腰三角形的判断和性质，难度不大，熟练掌握基础知识是关键．
4．B
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得，再由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．C
【分析】根据条件可求得AC=AE=CE=BE，可证得△ACE为等边三角形，可求得DE=AE，可求得DE，则可求得BD．
【详解】∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线，
∴AE=BE=CE=AC=10cm，
∴△ACE为等边三角形，
∵CD⊥AE，
∴DE=AE=5cm，
∴BD=DE+BE=5cm+10cm=15cm，
故选C．
【点睛】此题考查直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE、根据等边三角形的性质求得DE是解题的关键．
6．A
【分析】由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF，可判断①；△DEF是等腰直角三角形，2DF=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值22，可判断③；根据两三角形全等时面积也相等得：S△CDF=S△ADE，利用割补法知：S四边形CEDF=S△ADC，当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，计算S△CEF=S四边形CEDF-S△DEF=S△ADC-S△DEF，代入即可判断②；利用三角形的外角性质得到∠CEF+∠DEF=∠A+∠ADE，即可判断④．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故选项①正确；
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DF最小时，EF也最小；
即当DF⊥BC时，DF最小，此时DF=BC=2．
∴EF=2DF=22．故选项③错误；
∵△ADE≌△CDF，
∴S△CDF=S△ADE，
∴S四边形CEDF=S△ADC．
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB==42，
∴AD=CD=22，
此时S△CEF=S四边形CEDF-S△DEF=S△ADC-S△DEF=×22×22-×2×2=4-2=2．故选项②正确；
∵△ADE≌△CDF，
∴∠CDF=∠ADE，
由于△DEF和△ABCF都是等腰直角三角形，
∴∠A=∠DEF=45°，
∴∠CEF+∠DEF=∠A+∠ADE，
∴∠CEF=∠ADE=∠CDF，
故选项④正确；
故正确的有①②④，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键，在第③问中，由DF的最值来确定EF的最值，这在讨论最值问题中经常运用，要熟练掌握．
7．C
【分析】根据等边三角形的性质解答即可
【详解】过B作BD⊥OA，
∵等边△OAB边长为2，
∴OD=1，BD=3，
即点B的坐标为（1，3），
故选C．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答
8．D
【详解】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠B=∠FDC，∠EDB=∠C．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠EDB，∠C=∠FDC，∴BE=ED，DF=FC，∴▱AFDE的周长等于AB+AC=12．故选D．
9．C
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．利用证明，得，从而说明是等腰直角三角形，可知①正确；过点作于，利用证明，得，，可说明②正确；设，则，，，得，可知③正确；由，知，而点并不是的中点，可说明④错误．
【详解】解：①，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故①正确；
②由①知，，
过点作于，
则，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
故②正确；
③由，，
设，则，，，
∴，
故③正确；
④如图，，
，
由①知，，，
，
∴，
由①知，，
，
，
，
，
，
，
，
故④错误，
∴正确的有个，
故选：C
10．C
【分析】求两段折线的最小值，往往需要将折线转化到一条直线上，变为求点到直线的距离.本题可过作，则即为所求，再根据等腰直角三角形的三边关系求出其长度即可.
【详解】解:如图，作，垂足为,交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值.
是的平分线,
，
是点到直线的最短距离(垂线段最短),
，
.
的最小值是.
故选: .
【点睛】本题考查了折线之和的最值问题，观察图形，进行适当变形，转化为求点到直线的距离是解答关键.
11．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：当点P在线段上时，
设t时后是等腰三角形，
有，
即，
解得；
当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用，
当是等腰三角形时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即，
解得，
故或，即甲、乙合在一起才正确．
故选：C．
12．D
【分析】本题考查了根据轴对称求最短距离，含的直角三角形，垂线段最短等知识点．作点C关于的对称点，连接，，故，可得当，M，N在同一直线上且时，有最小值，且等于线段的长，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点，连接，，
则，

∴，
当，M，N在同一直线上且时，有最小值，且等于线段的长，
又∵
∴，
∴中， ，
∴的最小值等于20，
故选：D．
13．5
【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识的综合运用，证明是解题的关键．过E点作于点F，通过证明，得到，进一步得到即可求出结果．
【详解】解：过E点作于点F，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点E到边的距离为．
故答案为：5．
14．108
【分析】设这个等腰三角形的三个内角度数分别为x，x，3x，根据题意与三角形内角和定理，得到x=36°，推出顶角为108°．
【详解】设这个等腰三角形的三个内角度数分别为x，x，3x，
根据题意得，x+x+3x=180°，
解得，x=36°，
∴3x=108°．
故答案为：108．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，三角形的内角和定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的两底角相等，三角形的内角和等于180°．
15．9
【分析】根据已知条件求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长，同理可得的长，即可求得的长．
【详解】∠ACB＝90°，∠B＝30°，
CH⊥AB
在中，
∠ACB＝90°∠B＝30°，
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
16．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得到，，得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
17．/
【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形，函数关系式，关键是由等腰三角形的性质推出．由等腰三角形的性质，垂直的定义推出，得到，又，，由直角三角形的性质得到因此，，即可得到
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，

故答案为：
18．（1），1；（2）等边三角形
【分析】（1）先根据完全平方公式、平方差公式化简，然后将视为一个整体代入求解；
（2）观察发现，等式左侧为2组完全平方式，然后利用平方的非负性求出a=b，c=b得到结论．
【详解】（1）原式==，
∵，
∴原式=3()=3；
（2），
，
()+()，
，
∵≥0，≥0，
∴a-b=0，c-b=0，
∴a=b，c=b，即a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了乘法公式和整体代入的思想，当题干中看到这样的模块时，就应该优先想到完全平方公式的应用．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图之等腰直角三角形，勾股定理．
（1）根据勾股定理可知，当直角三角形的两直角边分别为时，斜边为，再由等腰三角形的定义即可画出图；
（2）根据勾股定理网格作图的特点，可以作出等腰直角三角形．
【详解】（1）解：根据题意可知，即为所求；
（2）解：根据题意可知，即为所求；
20．(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析
(2)台风中心的移动速度是
【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键．
（1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解；
（2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度．
【详解】（1）解：作于点D，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，
则，
∴台风在段上移动时A受到影响，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴台风中心的移动速度．
故台风中心的移动速度是．
21．(1)的长为17.3米
(2)超速了，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．
（1）分别在与中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求得与的长，从而求得的长；
（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与30千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴，，
∴，，
在中，根据勾股定理，，即，
解得，，
∴（米），
即的长为17.3米；
（2）解：超速了，理由如下：
∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为（米/秒），
∵30千米/小时米/秒（米/秒），
∴这辆校车在本路段超速了．
22．货轮到达处时与灯塔的距离是20海里．
【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，根据题意得出，进而根据等边三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
，
，
又，
，
是等边三角形，
（海里），
答：货轮到达处时与灯塔的距离是20海里．
23．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，，从而可得，从而证明，可得，，从而可得，证得，可得，再利用勾股定理即可得出结论；
（2）以为边向上方作等边三角形，连接，，根据等边三角形的判定与性质可得，，，从而证明，可得，求得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在中， ，
∴．
（2）解：以为边向上方作等边三角形，连接，，

∴，，
∵，，
∴为等边三角形．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，，结合，即可证明为等腰三角形，进而证明，即是的平分线，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证明是的平分线．
【详解】解：如下图，延长，交于点，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是的平分线，
又∵，，
∴，
∴是的平分线．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
C
A
C
D
C
C
题号
11
12








答案
C
D