北师大版（2024）八年级下册第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线同步练习题

这是一份北师大版（2024）八年级下册第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线同步练习题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在中，作边的垂直平分线，交边于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．19B．20C．21D．22
2．如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．8B．C．16D．
3．如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（ ）
A．12B．11C．9D．7
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E，若∠CBD：∠DBA=2：1，则∠A为（ ）
A．20°B．25°C．22.5°D．30°
5．如图，在中，，AD平分交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．1
6．如图，在中，，直线是的垂直平分线，交于E，若，的周长是，则为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，直线是的垂直平分线，E在上，，则（ ）

A．B．C．D．
9．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点D．三边上高的交点
10．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，直线分别交与于点和，连结，若，的周长为，则的周长是（ ）

A．B．C．D．
11．如图，在等边中，与的平分线交于点D，分别作，的垂直平分线，，分别交于点M，N，则与边长的关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定其倍比关系
12．如图，、、表示三个小城，相互之间有公路相连，现要在内建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（ ）．

A．三边中线的交点处B．三条角平分线的交点处
C．三边上的高交点处D．三边的中垂线的交点处
二、填空题
13．如图，在 RtABC中，∠B=90°．ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=30°，则∠C的度数为 °
14．如图，在中，，，，现以为边往外作等边，在边上找一点，使得点到点和点的距离和最小，则这个最小值为 ．

15．如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分线,△BCE的周长为24,BC=10则AB的长为
16．如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，在下列结论中：
①；
②；
③连接，则所在的直线为的对称轴；
④四边形的面积与的面积相等．
其中正确的是 （填写所有正确结论的序号） ．

17．如图，在中，，，．直线，是上一动点．则的最小值是 ．

三、解答题
18．如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案：
（1）（D为的中点）；
（2）（O为三边的垂直平分线的交点）．假设等边三角形的边长为，要使铺设的光缆长度最短，通过计算比较，应选哪种方案？
19．如图所示，平分．求作菱形交于点，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
20．如图，画，，垂足分别为D，E．
21．如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米．
(1)求小区之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法）
22．如图，在中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，且．

(1)请直接写出线段和之间的数量关系：______．
(2)请说明： ；
(3)请说明：是等边三角形；
(4)请直接写出线段之间的数量关系．
23．已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．

24．如图，在中，，于点D，，分别交、于E、F．

(1)如图1，，，求的长度；
(2)如图2，取中点G，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作于点N，并延长交延长线于点M，请直接写出的值
《1.3线段的垂直平分线》参考答案
1．C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果．
【详解】解：∵作边的垂直平分线，交边于点，
∴，
∴的周长为．
故选：C．
2．B
【分析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ＝P1Q，PR＝P2R，从而得到△PQR的周长＝P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，根据轴对称的性质和已知条件可得△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，则PQ＝P1Q，PR＝P2R，
所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝P1Q+QR+P2R＝P1P2，
由两点之间线段最短可得：此时△PQR周长最小，
连接P1O、P2O，则∠AOP＝∠AOP1，OP1＝OP，∠BOP＝∠BOP2，OP2＝OP，
所以OP1＝OP2＝OP＝8，∠P1OP2＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
所以△P1OP2为等腰直角三角形，
所以P1P2＝OP1＝8，
即△PQR最小周长是8．
故选：B．
【点睛】本题考查了由轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段．
3．B
【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论．
【详解】解：设直线交于，连接，如图所示：
∵直线是的垂直平分线，
关于直线对称，，
∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长，且的最小值等于，
∴周长的最小值是，
故选：．
4．C
【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∴∠A=∠DBA，
∵∠CBD：∠DBA=2：1，
∴在△ABC中，
∠A+∠ABC=∠A+∠A+2∠A=90°，
解得∠A=22.5°．
故选C．
5．C
【分析】连接EC，直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理分别得出DC，AD的长，即可得出DE的长．
【详解】解：如图所示：连接EC，
由作图方法可得：MN垂直平分AC，
则AE＝EC，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AD4，
设DE＝x，则AE＝EC＝4﹣x，
在Rt△EDC中，
DE2+DC2＝EC2，
即x2+32＝(4﹣x)2，
解得：x，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确得出AE＝EC是解题关键．
6．C
【分析】先求出长，再根据线段垂直平分线的性质求出，可得，再根据的周长求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的周长是，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
7．B
【分析】由作法可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合已知易得，从而可得，然后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由作法可知是的垂直平分线，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．B
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，根据线段垂直平分线得到，推出，设，利用直角三角形的性质得到，由此求出答案．
【详解】解：∵直线是的垂直平分线，
∴
∴
设，
∴
∴
解得，
∴
故选：B．
9．A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解答关键．
根据垂直平分线的性质得到，，再结合三角形的周长求解．
【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，．
的周长为，
，
的周长为．
故选：B．
11．B
【分析】连接、，由等边三角形的性质及角平分线的定义可得，，由垂直平分线的性质可得，，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，，可证是等边三角形，再根据等边三角形的定义即可得证．
【详解】解：连接、，
∵是等边三角形，
∴，
∵是是角平分线，是的角平分线，
∴，，
∵、分别是、的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、垂直平分线的性质及角平分线的定义，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定证得是等边三角形是解题的关键．
12．D
【分析】
【详解】到 三个顶点距离相等的点在三角形三角的中垂线的交点处．
故选 D．
13．30
【详解】分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质，得到EA=EC，进而得到∠EAD=∠ECD，利用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质解答．
解答：解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=30°，
∴∠AEB=60°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=30°．
故答案为30．
14．4
【分析】延长CA到点E使得，连接交AB于点N，此时点到点和点的距离和最小，即为DE长度，根据含30度角的直角三角形的性质及等边三角形的判定和性质得出，，再由全等三角形的判定和性质得出，利用等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【详解】解：延长CA到点E使得，连接交AB于点N，此时点到点和点的距离和最小，即为DE长度，

∵，，，
，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴CB垂直平分线段DE且交于点F，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查轴对称的性质及距离最短问题，包括等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
15．14
【分析】根据“线段垂直平分线的性质定理”即可得到AE=BE，由于△BCE的周长为24，利用线段的等量代换即可得到AC+BC的值；已知BC的长度，即可得到AC的长度，由于AB=AC，则问题得解．
【详解】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵△BCE的周长为24，
∴BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=24.
∵BC=10.
∴AC=14.
∵AB=AC，
∴AB=14.
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质有:
①线段的垂直平分线垂直且平分该线段;
②线段的垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等;
16．①②③
【分析】可利用证明①；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得，进而可证明②；利用线段垂直平分的判定可得是的垂直平分线，进而可判定③；当时，利用三角形的中线的性质可得，再证明可得，进而可证明④．
【详解】解：在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
直线是的垂直平分线，
即所在的直线为的对称轴，故③正确；
④当时，则，
在和中，
，
，
，
，
由于缺乏条件，故不能判定，故④错误，
∴正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．5
【分析】此题考查轴对称求最短路径，勾股定理，线段垂直平分线的性质，延长至点G，使，连接交于点F，连接，得到，当A、D、G三点共线时，的值最小，即线段的长度，勾股定理求出即可，正确理解最短路径问题的解题思路是解题的关键．
【详解】如图，延长至点G，使，连接交于点F，连接，

∵，，
∴，即
∴，
∵，
∴当A、D、G三点共线时，的值最小，即线段的长度，
∵，，，
∴
∴,
∴的值最小值为5，
故答案为：5．
18．方案（2）
【分析】要判断那种方案铺设的光缆长度最短需要先求出两种方案所需要的铺设的光缆长度，然后比较可得．
【详解】解：设ΔABC是等边三角形边长为，
方案（1）：
是等边三角形，
，，
为的中点，
，，
在中，，
，
方案（2）：
为ΔABC三边的垂直平分线的交点，
，
，
在中，，
，
同理可得，
，
，
，
选择第（2）中方案．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质，是一道方案型试题，分别表示出三个图形通讯电缆的长度是解本题的关键．
19．见解析
【分析】利用尺规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点，交于，连接，，四边形即为所求作的菱形．
【详解】解：如图：
四边形即为所求作的菱形．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，属于中考常考题型．
20．见详解
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
利用基本作图（过直线外一点作直线的垂线），分别过点作于于．
【详解】解：如图，、为所作．
21．(1)17千米
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线间间距线段，线段垂直平分线的尺规作图和线段垂直平分线的性质．
（）过点作于，由平行线间间距相等得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解；
（2）如图所示，作线段的垂直平分线交于P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图，过点作于，则，
∵，，
∴，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：，小区之间的距离为千米；
（2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于P，点P即为所求．
22．(1)；
(2)；
(3)见解析；
(4)．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质．
（1）根据等腰三角形的性质可得是的垂直平分线，从而，进而得到；
（2）由等腰三角形的性质可得，由得到，由得到，从而得证；
（3）由，，根据三角形的内角和定理可求得，由得到，从而得证是等边三角形；
（4）在线段上取点E，使，由等腰三角形的性质可得，从而得到是等边三角形，因此，，通过“”证得，因此，得证．
【详解】（1）∵，，
∴点D是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴．
（3）∵，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴是等边三角形．
（4）在线段上取点E，使，

∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴．
23．见解析
【分析】由题意易得∠ABC＝∠ACB，则有∠OBC＝∠OCB，进而根据线段的垂直平分线的性质与判定可求证．
【详解】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
即AD⊥BC．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
24．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论；
（2）连接，由题意可知是的垂直平分线，可知，，可得，由勾股定理可得，结合，可得，由是的中点，可知，可得是的垂直平分线，易知，得，则，由，，可知，继而可得，利用即可证明，即可证得结论；
（3）过点作于，过点作于，连接，连接，利用等腰三角形的性质可得，易知，，由，得，结合（2）中结论，可设，由勾股定理可得，，，，，由可得，进而求得，的长即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
由勾股定理得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）证明：连接，

∵，，
∴，则是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，即，
，
中，，
∵，，
∴，则，
∵是的中点，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，即：，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
（3）过点作于，过点作于，连接，连接，

∵，，
∴，，
∴，
∵，，则，
∴，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知：，，，
则，
设，则，
∴，则，
，则，
则，
∵，即：
∴，
又∵，
∴，则，
∴．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第三问有难度，正确作出辅助线,根据等面积法求比值是解决问题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
C
C
C
B
B
A
B
题号
11
12








答案
B
D