第一章三角形的证明同步练习 北师大版数学八年级下册

这是一份第一章三角形的证明同步练习 北师大版数学八年级下册，共24页。
第一章三角形的证明学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离是（　　）A．1 B．2 C．3 D．42．如图所示，在中，的垂直平分线分别交于E、D两点，且，，则的周长是（    ）  A．10 B．11 C．12 D．133．如图，中，是的中点，下列结论不正确的是（    ）A． B． C．平分 D．4．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠CDE的大小是（　　）A．40° B．43° C．46° D．54°5．在中，，．若P是所在的平面内的一点，且，则AP的长为（    ）A．7 B．5 C．7或25 D．5或146．如图，点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上②点P在∠CBE的平分线上③点P在∠BCD的平分线上 ④点P是 ∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（   ）A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．④7．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点在上，点在上，连接，将沿折叠，点与点恰好重合时，则的度数（    ）A．90° B．92° C．95° D．98°8．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是(   )A．线段CD的中点 B．线段CD的三等分点C．过点C作OB的垂线，与OD的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点9．等腰三角形有两条边的长分别为3和4，则该三角形的周长为（　  ）A．10 B．10或11 C．11 D．7或1110．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数为（    ）A． B． C． D．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B点为圆心适当长为半径画弧交AB于M，交BC于N，分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF交AC于D，．若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积等于（　　）  A．30 B．24 C．15 D．1012．等腰三角形的对称轴是（ ）A．顶角的平分线 B．底边上的高C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线二、填空题13．如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则 ．  14．在中，，E为中点，D为边一动点．将沿翻折得到面积最大值为 ．15．如图，长方形纸片中，，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在边上的处，折痕交于点，那么 ．16．如图，等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠与点O重合，则的度数是 ．17．如图，是的角平分线，，则长度为 ．  三、解答题18．如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F．(1)求的度数；(2)求的度数．19．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．三个顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画出相应的格点三角形．(1)在图1中画出以为底的等腰三角形；(2)在图2中画出所有与全等（不包含）的．20．在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．21．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由．22．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与直线上两点的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．  (1)着火点受洒水影响吗？为什么？(2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要，请你通过计算判断着火点能否被扑灭？23．如图，相交于点E且互相平分，F是延长线上一点，若．(1)求证：；(2)连接，与的位置关系是什么？请说明理由．24．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3．（1）求证：；（2）求AC的长．《第一章三角形的证明》参考答案1．C【分析】根据角平分线的性质、点到直线的距离解答．【详解】解：作PQ⊥OM于Q，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PQ=PA=3，∴P到OM的距离为3故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．B【分析】根据垂直平分线的性质得，然后将的周长转化为即可；【详解】解：为线段的垂直平分线，，的周长，，，的周长．故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题关键．3．D【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确．【详解】解：∵中，，D是中点∴，即平分，故A、B、C三项正确， D不正确．故选：D．4．C【分析】根据DE∥AB可求得∠CDE＝∠B解答即可．【详解】解：∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B＝46°，故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等．快速解题的关键是牢记平行线的性质．5．C【分析】过A做AD垂直于BC交BC于D，求出PD和AD即可．【详解】解：过A做AD垂直于BC交BC于D，∵AB＝AC，PB＝PC，∴A和P都在BC的中垂线上，且D是BC的中点，，BD=12,∵，，∴AD=，AP=，当P在A上边时PA＝16﹣9＝7；当P在BC下边时PA＝16+9＝25．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及等腰三角形的性质，解题的关键是要分类讨论，把P的位置确定．6．B【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．【详解】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P到AE、AD的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；∵点P到AE、BC的距离相等，∴点P在∠CBE的平分线上，故②正确；∵点P到AD、BC的距离相等，∴点P在∠BCD的平分线上，故③正确；∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟记“在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”是解题的关键．7．B【分析】连接OB、OC．由角平分线和垂直平分线的性质可求出，再由等腰三角形的性质可求出，由，即可求出的大小．在和中，利用“SAS”易证，即得出OB=OC，从而可求出．再由题意折叠可知OE=CE，即得出，最后由，即可求出的大小．【详解】如图，连接OB、OC．∵，的平分线与的垂直平分线交于点，∴．∵AB=AC，∴，∴．在和中， ，∴，∴OB=OC，∴．由题意将沿折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查角平分线、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质．作出辅助线构造等腰三角形是解答本题的关键．综合性强，较难．8．D【分析】根据角平分线的性质定理角平分线上的点到角的两边距离相等即可判断．【详解】根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，所以作∠AOB的平分线交CD于点P，点P即为所求作的点．故选D．【点睛】本题考查复杂作图、角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．9．B【分析】等腰三角形两边的长为3和4，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是4时，三边为3、3、4，能构成三角形，则其周长=3+3+4=10；②当底边是3，腰长是4时，三边为3、4、4，能构成三角形，则其周长=3+4+4=11．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．10．A【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，连接，根据等腰三角形的性质以及翻折变换的性质即可求解，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．【详解】连接，∵垂直平分， ∴， ∴，∵，， ∴，∵平分， ∴， ∴， ∴，∵在和中，∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：．11．C【分析】根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图，作DE⊥AB于点E，根据作图过程可知：BF是∠ABC的平分线，∵∠C＝90，∴DC⊥BC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝AB•DE＝15．故选：C．  【点睛】本题考查了作图−基本作图，解决本题的关键是利用角平分线的性质．12．D【详解】解：对称轴是一条直线，本题中A、B、C选项都是指线段．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质．13．/106度【分析】由得，再由是等边三角形，即可求出结果．【详解】解：，，，是等边三角形，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．14．【分析】连接，由，，由翻折知性质得，，所以，则，当点G、E重合时，，当点G、E重合时，，进而及可求解；【详解】解：连接，∵，且E为的中点，∴，又∵，∴，∴，∴，由翻折知，∴，∴又∵，∴，∴，∴，∴，过作于G，则，当点G、E重合时，，当点G、E重合时，，综上所述，，即，∴的最大值为，∴的面积最大值为：．∴的面积最大值为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、含角的直角三角形、勾股定理，正确构造辅助线是解本题的关键．15．15【分析】根据直角三角形的性质可求得∠的度数，进而根据△BCE≌△BC′E，求得∠EBC=∠EBC′，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：BC=，∵BC=2CD，AB=CD，∴=2AB，∵∠A=90°，∴∠AC′B=30°，∴∠C′BC=30°，∵△BCE≌△BC′E，∴∠EBC=∠EBC′=15°．故答案为：15．【点睛】本题考查了图形的折叠变换和30°角的直角三角形的性质，正确求得=30°是解题的关键．16．100°【分析】连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．【详解】解：如图，连接OB，由题意得∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC∠ABO=65°25°=40°．∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴直线AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°∠COE∠OCB=180°40°40°=100°；故答案为：100°．【点睛】该题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．17．3【分析】直接利用角平分线的性质得出，利用三角形的面积公式列式计算得出答案．【详解】解：过点D作于点E，  ∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，正确把握角平分线的性质是解题关键．18．(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答；掌握三角形内角和定理是解题的关键；（2）先根据垂直的定义和直角三角形的性质可得，再结合可得，最后根据直角三角形的性质即可解答；掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，由（1）得，∴，∵，∴，∴．19．(1)图见解析；(2)图见解析．【分析】本题考查了勾股定理与网格作图，等腰三角形的判定，全等三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．（1）取格点，连接，，由网格及勾股定理可得，即可得出等腰三角形；（2）取格点、、，分别连接、，、，、，由网格及勾股定理可得，，即可证明，同理，，则即为所求的三角形．【详解】（1）解：取格点，连接，，如图：由网格可知，，，∴，∴为等腰三角形，则即为所求的等腰三角形；（2）解：取格点、、，分别连接、，、，、，如图：由网格可知，，，，，∴，，在和中，，∴，同理可得：，，则即为所求的三角形．20．货轮到达处时与灯塔的距离是20海里．【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，根据题意得出，进而根据等边三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：，，，又，，是等边三角形，（海里），答：货轮到达处时与灯塔的距离是20海里．21．能，原路线长为千米，理由见解析【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理及其逆定理．由已知可得，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到答案．【详解】解：能；，，．是直角三角形，且，．在中，，（千米）．答：原路线长为千米．22．(1)着火点C受洒水影响，理由见解析(2)着火点C能被扑灭【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案；（2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，如图，过点作，垂足为，  ，，，，是直角三角形，，，，着火点C受洒水影响；（2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点  则，，，在中，，，，，着火点C能被扑灭．23．(1)见解析；(2)与互相垂直，理由见解析．【分析】（1）求证，即可得，再求证即可得出结论；（2）利用等腰三角形“三线合一”性质即可得出结论．【详解】（1）证明：∵互相平分，∴，又∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，（2）与互相垂直．理由如下：∵，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的判断和性质，全等三角形的判断和性质，灵活运用等腰三角形的“三线合一”性质和全等三角形的判断是解题的关键．24．（1）见解析；（2）AC的长为【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据勾股定理求出AC即可．【详解】（1）证明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，∴42+32＝52，∴∠BDC＝90°；（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°-90°＝90°，依题意有AC2＝(AB-3)2+CD2，即AC2＝(AC﹣3)2+42，解得AC＝．故AC的长为．【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理．能够熟记勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．题号12345678910答案CBDCCBBDBA题号1112        答案CD