初中数学人教版（2024）八年级下册20.2 数据的波动程度课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册20.2 数据的波动程度课后测评，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一组数据中，改动一个数据，下列统计量一定变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
2．下列说法正确的是（ ）
A．为了解某市中小学生的视力情况，采用全面调查
B．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．甲，乙两个同学分别跳高10次，他们跳高成绩的平均数相同，方差分别是0.55；0.61，若从甲，乙两同学中选1人去参加市运会，则应选甲去参赛
3．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．2022年冬季奥运会将在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，可以判断小红是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m，n的值可以是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．已知数据4，x，-1，3的极差为6，那么x为（ ）
A．5B．-2C．5或-1D．5或-2
6．一组数据2，2，2，3，4，8，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（ ）
A．众数B．平均数C．中位数D．方差
7．为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”号召，某市教育局发布关于疫情防控期间开展在线课程教学辅导答疑的通知：从2月10日开始，全市中小学按照教学计划，开展在线课程教学辅导和答疑，提高了同学们在线学习的质效．随机抽查了某中学九年级名学生一周在线学习的时长分别为：17，18，19，20，21，（单位：时）则这名学生一周在线学习时间的方差（单位：时²）为（ ）
A．2B．19C．10D．
8．为备战2022年北京冬奥会，甲、乙两名运动员训练测验，两名运动员的平均分相同，且=0.01，=0.006，则成绩较稳定的是（ ）
A．乙运动员B．甲运动员
C．两运动员一样稳定D．无法确定
9．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．关于一组数据：，1，1，2，下列说法中不正确的是（ ）
A．平均数是0.5B．众数是1C．中位数是1D．方差是0.75
11．甲、乙、丙三名射击运动员在集训期间的测试成绩如下表所以，若需要在其中遴选一名成绩优异并稳定的运动员参加比赛，比较适合的运动员是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
12．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．
如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题
13．某气象局统计了A、B两座城市某周的每日最高气温的平均值都是23℃，方差分别为，，则两座城市这周每日最高气温更为稳定的是 城市．（填“A”或“B”）
14．若一组数据1，2，x，4，5的平均数是3，则这组数据的方差是 ．
15．已知一组数据70，29，71，72，81，73，105，69，则这组数据的方差为 ，标准差为 .（精确到0.01）.
16．如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳？ （填“甲”或“乙”）
17．甲、乙两个人10次射击成绩的折线图如图所示，图上水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为 ，，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”）
三、解答题
18．为了了解学生喜爱篮球节目的情况，在中国篮球职业联赛期间期间，小明对班级同学一周内收看篮球赛的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中女生收看3次的人数没有标出）．
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级男生人数是_________，男生收看篮球赛次数的中位数是__________；
(2)对于某个群体，我们把一周内收看篮球赛次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对篮球节目的“关注指数”．如果该班级女生对篮球赛的“关注指数”比男生低5%，试求该班级女生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看篮球赛次数的特点，小明给出了女生的部分统计量（如表）．
根据你所学过的统计知识，适当计算男生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看篮球赛次数的波动大小．
19．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
小宇的作业：
解：，
．
(1)________，________；
(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线．
(3)①观察图，可看出________的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”），参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
20．北关中学在七、八年级各选取10名学生参加学校举办的“我爱我校”知识竞赛．竞赛成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）
七年级10名学生的成绩：82，84，90，92，93，93，93，93，100，100
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，91，93，94
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
八年级选取的学生竞赛成绩统计图
根据以上信息回答下列问题：
(1)______，_______，______．
(2)哪个年级的学生成绩更好？请说明理由．
(3)若该校七年级有700人，八年级有800人，均参加此次知识竞赛，估计成绩优秀（）的学生共有多少人？
21．2023年10月，我省在送走了“新冠”又来了“甲流”，某校为了解八年级共420名同学对防疫知识的掌握情况，于是学校对他们进行了一次防疫知识测试，现随机抽取A、B两班各7名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【数据整理】（满分100分）
【数据分析】
（1）A、B班7名学生成绩的众数分别是______、中位数分别是______；
（2）分别求出A、B两班7名学生成绩的平均数；
【数据说理】
（3）经计算，B班的7名学生成绩的方差为，问哪个班的7名学生的成绩较为整齐？通过计算说明．
（4）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的420名学生中成绩为优秀的学生共有多少人．
22．为了从甲、乙、丙三名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，三人在相同的条件下各射靶10次，命中环数如下：
甲：7 8 6 6 5 9 10 7 4 8
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
丙：7 5 7 7 6 6 6 6 5 5
(1)求，，；
(2)你认为应该选谁参加射击比赛？为什么？
23．如图1，直线与y轴交于点，与x轴交于点．
（1）按题意填表：
（2）由（1）中表格中的数据可以发现：
①对于， ， ， ， ；
②直线一定经过的点的坐标为 ；
（3）如图2，正方形OPQR是△的内接正方形，设正方形的边长为m，求证：1＜m＜2．
24．设是的平均数，则方差，它反映了这组数据的波动性，请完成以下题目：
(1)证明：当平均数变为时，方差对应变为；
(2)证明：；
(3)已知在课堂上王老师给出了5个数据：2，3，5，m，n，它们的方差为2，求解另一组数据：4，5，7，的方差．
参考答案：
1．A
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的特点即可得出答案．
【详解】解：一组数据中，改动一个数据，数据癖和发生变化，因此平均数一定发生变化；
众数、中位数和方差有可能发生变化，也有可能不发生变化，
故选：A．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
2．D
【分析】根据全面调查与抽样调查的概念，中位数及众数的定义以及方差的意义进行判断．
【详解】解：A. 为了解某市中小学生的视力情况，采用抽样调查，故此选项不符合题意；
B. 一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是5，故此选项不符合题意；
C. “清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项不符合题意；
D. 甲，乙两个同学分别跳高10次，他们跳高成绩的平均数相同，方差分别是0.55；0.61，若从甲，乙两同学中选1人去参加市运会，甲的方差小于乙，所以甲的成绩更稳定，则应选甲去参赛，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】全面调查与抽样调查的概念，中位数及众数的定义以及方差的意义，理解相关概念是解题关键．
3．A
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【详解】甲与丁的平均数相等，均为9.4，
乙与丙的平均数相等，均为9.3，
所以应从甲与丁中选择一人参加，
但甲的方差最小，说明他的发挥最稳定，所以选甲运动员参加比赛．
故选A．
【点睛】本题考查平均数和方差在数据统计中的意义，理解掌握它们的意义是解答关键.
4．A
【分析】根据小红是这四名选手中成绩最好且发择最稳定的运动员，可判断m在平均数中最小，n在方差中最小，判断即可．
【详解】解：∵小红是这四名选手中成绩最好且发择最稳定的运动员，
∴m在平均数中最小，n在方差中最小，
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数和方差的意义，解题关键是明确速滑比赛中用时平均数越小，成绩越好，方差越小，成绩越稳定．
5．D
【详解】试题解析：当x为最大值时,x−(−1)=6，
解得：x=5，
当x为最小值时，4−x=6，
解得x=−2.
故选D.
6．A
【分析】依据众数、平均数、中位数、方差的定义逐一进行判断，即可得到结论．
【详解】解：A、原来数据的众数是2，加入一个整数后众数仍为2，符合题意，选项正确；
B、原来数据的平均数是，加入一个整数后，平均数一定变化，不符合题意，选项错误；
C、原来数据的中位数是3，加入一个整数后，如果，中位数一定变化，不符合题意，选项错误；
D、原来数据的方差加入一个整数后的方差一定发生了变化，不符合题意，选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题关键．
7．A
【分析】先求出五名同学在线学习时间的平均数，再根据方差的计算公式计算即可解答.
【详解】平均数：
方差：=2
故选A.
【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握计算法则是解题关键.
8．A
【分析】根据方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，直接判断即可得出答案．
【详解】解：∵=0.01，=0.006，
∴>，
∴成绩较稳定的是乙运动员．
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的意义，掌握方差的意义是解本题的关键．
9．C
【分析】先比较平均数，乙、丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
【详解】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，
∵1.1＞0.9
∴S2乙＞S2丙，
∴丙的方差小，波动小，更稳定．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差，掌握平均数和方差反映的意义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
10．D
【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、中位数、方差，即可求解．
【详解】解：A.，1，1，2的平均数为，判断正确，不合题意；
B. ，1，1，2中，1出现的次数最多，众数为1，判断正确，不合题意；
C. ，1，1，2为从小到大排序，故中位数为，判断正确，不合题意；
D. ，1，1，2的方查为 ，判断错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数、众数、中位数、方差，熟知相关知识的概念与计算方法是解题关键．
11．C
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【详解】解：∵甲和丙的平均数较大，
∴从甲和丙中选择一人参加竞赛，
∵丙的方差较小，
∴选择丙参加比赛，
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．B
【分析】根据平均数和方差的意义解题即可.平均数大表明成绩好，方差小表示成绩稳定.
【详解】通过比较甲、乙、丙、丁四位同学的测试成绩，可知乙的方差较小、平均数较大，则其成绩好且稳定，故选乙．
故选B．
【点睛】本题考查平均数和方差的意义.正确理解平均数和方差的意义，是解题的关键.
13．A
【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差较小的气温更为稳定求解即可．
【详解】解：∵，即A城市这周每日最高气温的方差小于B城市这周每日最高气温的方差，
∴两座城市这周每日最高气温更为稳定的是A城市．
故答案为：A．
14．2
【分析】本题考查了平均数与方差的定义.先由数据的平均数公式求得x，再根据方差的公式计算即可.
【详解】解：∵数据1，2，x，4，5的平均数是3，
∴，
解得：，
∴

；
故答案为：2.
15． 378.69 19.46
【分析】先求出这8个数的平均数，然后利用方差公式求解即可，求得方差开方后即可求得标准差．
【详解】平均数为=（70+29+71+72+81+73+105+69）÷8=71.25，
S2=×[（70-71.25）2+（29-71.25）2+（71-71.25）2+（72-71.25）2+（81-71.25）2+（73-71.25）2+（105-71.25）2+（69-71.25）2]≈378.69，
标准差为19.46，
故答案为378.69，19.46．
【点睛】本题考查了方差的知识，熟练掌握方差的计算公式是解答本题的关键.
16．甲
【分析】
先分别求出甲乙的平均数，再求出甲乙的方差，由方差越小成绩越稳定做出判断即可．
【详解】
解：=（7+6+9+6+7）÷5=7（环），
=（5+9+6+7+8）÷5=7（环），
=[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2]÷5=1.2，
=[（5﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2]÷5=2，
∵1.2＜2，
∴甲的成绩较为稳定，
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查平均数、方差、折线统计图，会求一组数据的平均数、方差，会根据方差判断一组数据的稳定性是解答的关键．
17．>
【分析】根据成绩起伏越小，方差越小，成绩起伏越大，方差越大进行求解即可．
【详解】解：由统计图可知，在10次射击中，甲成绩的起伏比乙成绩的起伏要大，
∴，
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，折线统计图，熟知成绩起伏越小，方差越小，成绩起伏越大，方差越大是解题的关键．
18．(1)20，3
(2)该班级女生有25人
(3)女生比男生的波动幅度大
【分析】（1）将观看不同次数的男生人数相加即可得出男生的总人数，利用中位数的确定方法，求出中位数即可；
（2）先求出该班男生对篮球节目的“关注指数”，进而得到女生对篮球节目的“关注指数”，设该班的女生有x人，列出方程，进行求解即可．
（3）求出该班级男生收看篮球节目次数的平均数和方差，进而得出结论即可．
【详解】（1）解：该班级男生人数是（人）；
将观看次数从小到大排列后，第10个数据和第11个数据的平均数为中位数，
∴中位数是（次）；
故答案为：20，3；
（2）由题意：该班男生对篮球节目的“关注指数”为，
所以，女生对篮球节目的“关注指数”为，
设该班的女生有x人
则，解得：；
答：该班级女生有25人．
（3）该班级男生收看篮球节目次数的平均数为，
男生收看收看篮球节目次数的方差为：．
因为，所以女生比男生的波动幅度大．
【点睛】本题考查求平均数，中位数和方差．从统计图中有效的获取信息，熟练掌握平均数，中位数和方差的计算方法，是解题的关键．
19．(1)4，6
(2)见解析
(3)①乙，，验证见解析；②乙被选中，分析见解析
【分析】（1）根据甲的平均数计算公式求出射箭5次的总环数，进而求出a的值，再根据平均数的定义求出乙的平均数即可；
（2）根据（1）所求结合表格中的数据补全统计图即可；
（3）①根据折线图可知乙的波动小，乙更稳定，然后根据方差计算公式求出乙的方差验证即可；②平均数相同，乙的方差小，则乙被选择．
【详解】（1）解：环，
∴甲、乙两人射箭5次的总环数都为30环，
∴，
∴
故答案为：4，6；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：①观察折线统计图可知，甲的成绩波动比乙的成绩波动大，故乙的成绩比较稳定；
，
∴，
∴乙的成绩比较稳定；
②从平均数来看，两人的平均数相同，从方差来看，乙的方差小于甲的方差，即乙的成绩比甲稳定，因此应选择乙，即乙被选中．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．(1)，，40
(2)八年级学生的成绩更好；
(3)估计成绩优秀（）的学生约有1200人．
【分析】本题考查方差、中位数、众数的意义和计算方法，扇形统计图．
（1）根据中位数和众数的概念可求得a和b的值，求出八年级学生成绩落在组人数所占百分比，再根据百分比之和为1求解可得的值即可；
（2）根据中位数和众数以及方差的意义求解即可；
（3）用样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：八年级A组1人，B组1人，在C组中的数据是91，91，93，94，
∴；
七年级10名学生的成绩中，93出现4次，出现次数最多，
∴；
八年级C组占比为，
∴，
则；
故答案为：，，40；
（2）解：两个年级的平均成绩相同，
但八年级10名学生的成绩中，中位数、众数均高于七年级的，
且八年级的方差小于七年级的，
∴八年级学生的成绩更好；
（3）解：依题意，（人），
∴估计成绩优秀（）的学生约有1200人．
21．（1）85、70；85、88；（2），；（3）A班的7名学生的成绩较为整齐；（4）成绩为优秀的学生共150人
【分析】本题考查了中位数、众数和平均数方差的概念．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据算术平均数的定义解答即可；
（3）根据方差的意义解答即可；
（4）用420乘样本中90分及其以上的学生所占比例即可．
【详解】（1）由题意得，A班7名学生成绩中85出现的次数最多，故众数是85；
B班7名学生成绩中70出现的次数最多，故众数是70；
A班7名学生成绩按从小到大排列第4位是85，则中位数是85；
B班7名学生成绩按从小到大排列第4位是88，则中位数是88；
故答案为：85、70；85、88；
（2）A班7名学生成绩的平均数，
B班7名学生成绩的平均数；
（3）A班的7名学生的成绩较为整齐．
∵A班的7名学生成绩的方差为，，
∴，
∴A班的7名学生的成绩波动更小，更为整齐．
（4）根据题意得：（人），
答：成绩为优秀的学生大约共150人．
22．(1)3，1.2，0.6
(2)乙，见解析
【分析】本题考查了求方差，以及方差的应用；
（1）根据方差公式进行计算即可求解；
（2）先判断平均数，然后根据方差越小，成绩越稳定，即可求解．
【详解】（1），
；
，
；
，
；
（2）∵，
∴选拔的人在甲、乙中选择，
又∵，
∴乙的成绩比较稳定，
∴应选择乙参加射击比赛．
23．（1）见解析；（2）①0，8，0，8；②（2，0）；（3）见解析
【分析】（1）分别取n＝1，2，3，4，5时求对应的x、y即可完成表格；
（2）①根据表格中的数，即可求平均数与方差；
②将直线解析式变形为y＝−nx−x＋2n＋2＝（2−x）n＋（2−x），令2−x＝0即可求经过的定点；
（3）由正方形的性质，Q点横坐标与纵坐标相等，设Q（m，m），则有m＝（−n−1）m＋2n＋2，得到m＝2−，再确定0＜＜1的范围，即可求证．
【详解】解：（1）当n＝1时，y＝−2x＋4，x＝0，则y＝4，y＝0，则x＝2，
当n＝2时，y＝−3x＋6，x＝0，则y＝6，y＝0，则x＝2，
当n＝3时，y＝−4x＋8，x＝0，则y＝8，y＝0，则x＝2，
当n＝4时，y＝−5x＋10，x＝0，则y＝10，y＝0，则x＝2，
当n＝5时，y＝−6x＋12，x＝0，则y＝12，y＝0，则x＝2，
填表如下：
（2）①对于（，），从表中可知，＝0，
∴＝0，Sx2＝0，
当x＝0时，y＝2n＋2，
∴＝2＋n＋1＝n＋3=5+3=8，
∴Sy2＝；
②∵y＝（−n−1）x＋2n＋2（n＞0），
∴y＝−nx−x＋2n＋2＝（2−x）n＋（2−x），
∴当x＝2时，y＝0，
∴一定经过的点的坐标为（2，0）；
（3）设Q（m，m），
∴m＝（－n－1）m＋2n＋2
m＝＝1＋＝2－
∵n＞0，
∴＜1，
∴0＜＜1，
∴1＜m＜2．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特点，掌握方差和平均数的求法，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】
本题考查了一组数据的平均数和方差的公式，掌握方差公式是解题的关键．
（1）设，，的平均数为，方差为，根据方差公式即可证明结论；
（2）根据方差公式展开、变形即可证明结论；
（3）设2，3，5，，的平均数为，另一组数据：4，5，7，，的平均数为，方差为，根据方差公式计算即可．
【详解】（1）
证明：设，，的平均数为，方差为，
则，
；
（2）
证明：
；
（3）
解：设2，3，5，，的平均数为，另一组数据：4，5，7，，的平均数为，方差为，
则，
，
．
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
方差
小明
小红
小芳
小米
平均数（单位：秒）
53
m
52
49
方差（单位：秒2）
5.5
n
12.5
17.5
统计量
甲
乙
丙
丁
x（环）
7
8
8
7
S2（环2）
0.9
1.1
0.9
1
成绩/（环）
测试一
测试二
测试三
测试四
平均数
方差
甲
9.2
8.8
9.4
8.6
9.0
0.1
乙
8.8
8.6
8.7
9.1
8.8
0.035
丙
8.8
8.9
9.1
9.3
9.0
0.035
甲
乙
丙
丁
平均数
80
85
85
80
方差
42
42
54
59
统计量
平均数（次）
中位数（次）
众数（次）
方差
…
该班级女生
3
3
4
2
…
甲、乙两人射箭成绩统计表
甲、乙两人射箭成绩折线图
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
93
b
30
八年级
92
a
95
26.8
A班
73
80
85
85
85
90
97
B班
70
70
85
88
90
95
97
n
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
4
2
0
0
0
0
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
A
D
A
A
A
C
D
题号
11
12








答案
C
B








n
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
4
6
8
10
12
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0