初中数学人教版（2024）八年级下册16.1 二次根式精练

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册16.1 二次根式精练，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若与最简二次根式可以合并为一项，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．若，则a的值（ ）
A．在0和1之间B．在1和2之间
C．在2和3之间D．在3和4之间
3．下列各数中与的积是有理数的是（ ）
A．B．2C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若且，则，结出如下几个结论：①；②；③；④式子有意义，则，其中正确的共有个（ ）
A．B．C．D．
7．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列各式计算与变形正确的是( )
A．B．若，则
C．若则D．若,则
9．若式子的运算结果是有理数，则“”中的运算符号可以是（ ）
A．B．C．D．
10．下列运算正确的是 （ ）
A．B．C．D．
11．在中，若分别为所对的边，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．0
12．若,则a、b两数的关系是（ ）
A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．互为负倒数
二、填空题
13．①已知，，则代数式 ．
②如图，中，和外角的平分线相交于点，若，则的度数为 ．
14．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ．
15．下列二次根式化为最简二次根式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
16．计算：的结果是 ．
17．计算 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)
19．先化简，再求值：，其中．
20．发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速大约是多少？（，结果精确到）
21．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)设边上的高为，边上的高为，求的值．
22．快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务，现有三款包装纸箱，底面规格如下表：
已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如下图：
(1)甲乙两件礼品底面正方形的边长分别是______，______；
(2)通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？
(3)从节约材料的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
23．如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线与点．
(1)求证：．
(2)连接，若，，，求三角形的面积．
24．若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=(a+b+c)．
记：Q=．
(1)当a=4，b=5，c=6时，求Q的值；
(2)当a=b时，设三角形面积为S，求证：S=Q．
参考答案：
1．A
【分析】根据最简二次根式的定义，化简，因为可以合并，故为同类项，代入求解即可．
【详解】∵，与是同类项
∴，
解得a=2．
故选A．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，掌握该定义是解决本题的关键．
2．B
【分析】本题考查二次根式的减法运算，无理数的估算，先求出，再进行估算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
3．D
【解析】略
4．A
【详解】 所以.故选A．
5．D
【分析】根据二次根式的加减运算可直接进行排除选项．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，所以不能运算，故错误；
B、与不是同类二次根式，所以不能运算，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
6．C
【分析】根据定义，，则，同理，故正确；设，得，代入可得正确；设，，，则，，，运用幂的运算法则，得，故错误；由题知，且且，解得且，故错误．
【详解】解：，则，同理，故正确；
设根据定义得，即，故正确；
设，，，
则，，；，
，
，故错误；
根据定义，式子有意义，则有且且，
解得且，故错误．
故选：．
【点睛】本题考查新定义的理解，理解新定义，结合幂的运算法则作相应计算是解题的关键．
7．B
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解.
【详解】A. 不能计算，故错误；
B. ，正确；
C. 不能计算，故错误；
D. 不能计算，故错误；
故选B.
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则.
8．C
【分析】根据合并同类二次根式，等式的性质，不等式的性质逐项分析即可.
【详解】A. ∵与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B. ∵，∴，，故错误；
C. ∵，∴，正确；
D. ∵,∴，故错误；
故选C.
【点睛】本题考查了合并同类二次根式，等式的性质，不等式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
9．B
【分析】本题考查了有理数的定义，二次根式的混合运算，将符号代入式子分别计算，再根据有理数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是有理数，符合题意；
C、，是无理数，不符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；
故选：B．
10．D
【详解】试题分析：二次根式的性质：当时，，当时，.
A、，B、，C、，均错误；
D、，本选项正确.
考点：二次根式的混合运算
11．A
【分析】根据三角形三边的关系和二次根式的性质进行化简求解即可．
【详解】解：∵分别为所对的边，
∴，
∴原式
，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系和二次根式的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
12．A
【分析】把的分子分母同乘（1+），进一步化简与a比较得出结论即可．
【详解】，
∴a与b互为相反数.
故选A.
【点睛】此题考查分母有理化，解题关键在于掌握运算法则.
13．
【分析】①本题考查平方差公式，根据求解即可得到答案；②本题考查有关角平分线的角度计算及三角形内角和定理，根据及角平分线得到，结合即可得到答案；
【详解】解：①∵，，
∴，
故答案为：，
∵，
∴，
∵和外角的平分线相交于点，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
14．1（答案不唯一）
【分析】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键．
【详解】解：当时，，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
15．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．
16．
【分析】先进行二次根式的化简，再合并二次根式即可求解．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确化简二次根式是解决此类问题的关键．
17．
【分析】本题考查了负整数指数幂，分母有理数，利用二次根式的性质化简，根据负整数指数幂先化成分式，在分母有理化，利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再按照分式混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式性质进行化简，然后再结合平方差公式，按照二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
19．；
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：原式=
；
当，
原式．
20．肇事汽车的车速大约是
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，化简二次根式等知识点，将，代入即可求出肇事汽车的车速大约是多少，熟练掌握运用二次根式的性质化简求值是解决此题的关键．
【详解】解：∵，代入，
∴，
∵，
∴，
答：肇事汽车的车速大约是．
21．(1)
(2)
【分析】此题主要考查三角形面积的计算，二次根式的运算，解题的关键是根据题意及所学的三角形的面积公式进行求解．
（1）先计算，再代入海伦公式即可求解；
（2）根据三角形的面积求法即可求出，，即可计算2的值．
【详解】（1）解：根据题意知，
所以，
∴的面积为；
（2）∵，
∴
∴，；
∴．
22．(1)，
(2)两种；
(3)选择中型号的纸箱，见解析
【分析】（1）根据题意，列出算式，再化简二次根式即可；
（2）估算出甲、乙两件礼品的边长之和，即可判断；
（3）计算中型号和大型号两种型号的纸箱的底面面积，进行比较即可
【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为： ；
（2）∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，
∴甲、乙两件礼品的边长分别为，，
∵，∴，
∴三种型号纸箱的宽度都合适．
甲、乙两件礼品的边长之和为，
∵，
∴，
∴只有中型号和大型号两种型号的纸箱长度合适，故有两种；
（3）∵，
∴从节约材料的角度考虑，应选择中型号的纸箱．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）如图，延长，交于点，证明，，从而可得结论；
（2）如图，过作于，结合全等三角形的性质求解，从而可得答案．
【详解】（1）证明：如图，延长，交于点，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过作于，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
24．(1)Q=；(2)证明见解析.
【分析】(1)先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入三角形面积公式中计算；
(2)设底边c上的高为h，根据三角形的面积公式得到S=c•h=c，代入Q=得到Q=c，于是得到结论．
【详解】解：(1)∵a=4，b=5，c=6，
∴p=(a+b+c)=，
∴Q===；
(2)∵a=b，
∴设底边c上的高为h，
∴h=，
∴S=c•h=c，
∵a=b，
∴p=(a+b+c)=a+c，
∴Q==
=
∴S=Q．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积公式，正确的化简二次根式是解题的关键．
型号
长
宽
小号
20cm
18cm
中号
25cm
20cm
大号
30cm
25cm
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
D
C
B
C
B
D
题号
11
12








答案
A
A