初中数学17.2 勾股定理的逆定理巩固练习

这是一份初中数学17.2 勾股定理的逆定理巩固练习，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列以a、b、c为边的三角形中，能确定是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①a2＝c2﹣b2；
②∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2；
③a∶b∶c＝1∶∶2；
④∠C＝∠A﹣∠B
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列各组数中，不能满足勾股定理的逆定理的是（ ）
A．3，4，5B．1，2，C．7，24，25D．8，25，27
4．下列三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1，，3C．，3，6D．6，8，10
5．若三角形的三边长分别等于下列各组数，则能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，5C．5，12，13D．6，8，12
6．在中，三个内角分别为、、，三边长分别为a、b、c，根据下列条件，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，2B．1，1，C．4，5，6D．1，，2
8．△ABC的三边长度分别是a、b、c，能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5D．（b+c）（bc）=a2
9．下列为勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．3，，C．6，7，8D．5，12，13
10．以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2，B．6，8，10C．3，7，8D．0.3，0.4，0.5
12．下列4组数中，能构成直角三角形的三边长有（ ）
（1）9，12，15 （2）12，18，22 （3）12，35，36 （4）15，36，39
A．1组B．2组C．3组D．4组
二、填空题
13．如图是方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.点A和点B在方格纸中的格点上，在图中画出△ABC(点C在方格纸中的格点上)，使△ABC为直角三角形，这样的C点有 个.
14．如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ．
15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 .
16．在中，若，则 度．
17．如图，以的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为 ．
三、解答题
18．如图，在一条东西走向河流的一侧有村庄C；河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否与AB垂直？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
19．如图，平面直角坐标系中，△ABC 顶点 A（－2，3），B（－4，－1），C（－1，1）；
（1）画出与△ABC 关于y轴对称的图形△A1B1C1， 并写出点 B1的坐标；
（2）在第一象限内的网格中找到一点P，作以线段A1C1为一腰的等腰直角三角形A1C1P；
（3）连接B1P，直接写出三角形B1C1P的面积为___________ ．
20．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以10海里/时的速度向北偏东航行，乙船以24海里/时的速度航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C，B两岛相距65海里，问乙船按什么方向航行？
21．某花店老板李某为培育花苗，于2023年租了一块如图所示的四边形土地，，，，，，该土地的租金为一年元/，则李某租用该土地一年需租金多少元？
22．为了响应“绿色郑州，文明郑州”的号召，我市某小区决定要在一块四边形空地上种植草皮．如图，经测量，米，米，米，米，若每平方米草皮需要30元，问需要投入多少元？

23．如图，在中，是边的垂直平分线，且，延长，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．已知：如图，，，，，．
(1)求证：是直角三角形
(2)求图形的面积．
参考答案：
1．B
【分析】计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形．
【详解】解：A、因为，所以不能围成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为，所以能围成直角三角形，此选项符合题意；
C、因为，所以不能围成直角三角形，此选项不符合题意；
D、因为，所以不能围成直角三角形，此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
2．D
【分析】根据勾股定理逆定理可得①③是否是直角三角形，根据三角形内角和计算出角的度数可判断②④是否是直角三角形．
【详解】解：①a2=c2-b2，即a2+b2=c2，是直角三角形；
②由∠A：∠B：∠C=1：1：2可得∠C=，是直角三角形；
③∵a：b：c=，
∴，
∴是直角三角形；
④∠C=∠A-∠B可变为∠A=∠C+∠B，根据∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A+∠A=180°，解得∠A=90°，因此是直角三角形；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理，以及三角形内角和定理．
3．D
【分析】直接利用勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：A、32+42=52，即满足勾股定理的逆定理，故本选项错误；
B、，即满足勾股定理的逆定理，故本选项错误；
C、72+242=252，即满足勾股定理的逆定理，故本选项错误；
D、82+252≠272，即不满足勾股定理的逆定理，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了对勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
4．D
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．
【详解】解：A、42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、12+（）2≠32，故不是直角三角形，故此选项错误；
C、（）2+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、62+82=102，故是直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．C
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐个验证两短边长的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．
6．A
【分析】根据三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．
【详解】解：A、，
，
不是直角三角形，则此项符合题意；
B、，
，
是直角三角形，则此项不符合题意；
C、，
设，
，
是直角三角形，则此项不符合题意；
D、，
，
是直角三角形，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
7．D
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵12+22＝5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、∵12+12＝2≠（3）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
C、∵42+52＝41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、∵12+（3）2＝4＝22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
8．D
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐一验证，即可得到答案．
【详解】解：A、∵a2+b2=+=，c2=，∴a2+b2≠c2，故A选项错误；
B、∵a2+b2==3+4=7，c2==5，∴a2+b2≠c2，故B选项错误；
C、∵设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，∴3x+4x+5x==180°，∴x=15°，∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故C选项错误；
D、∵（b+c）（b-c）=a2，∴b2-c2=a2，∴b2=a2+c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理逆定理的内容是解题的关键．
9．D
【分析】根据勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．
【详解】解：A、不是，因为22+32≠42；
B、不是，因为+≠；
C、不是，因为62+72≠82；
D、是，因为52+122=132．
故选D.
【点睛】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
10．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，故是直角三角形，符合题意；
C、，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，故不是直角三角形，不符合题意，
故选：B．
11．C
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴以1，2，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82=36+64=100=102，
∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+72=9+49=58≠82，
∴以3，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵0.32+0.42=0.09+0,16=0.25=0.52，
∴以0.3，0.4，0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
12．B
【分析】利用勾股定理的逆定理逐一判断即可解题．
【详解】（1），能构成直角三角形；
（2），不能构成直角三角形；
（3），不能构成直角三角形；
（4），能构成直角三角形；
有2组能够构成直角三角形，
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
13．4
【详解】试题分析：以AB为直径作圆，观察圆周上的格点，有四个，分别是点C、D、E、F.然后一一验证，在△ADB中，AD=,BD=,AB=5,BD2+AD2=AB2,根据勾股定理的逆定理，可知△ADB是直角三角形，在△AEB中，AE="4,BE=3,AB=5," 根据勾股定理的逆定理,可知△AEB是直角三角形，依次类推，△ACB、△AFB都是直角三角形.
考点：勾股定理的逆定理
14． 8 12
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的关键．
当伸缩杆打开最大时，先证明是直角三角形，由勾股定理，得，即可由求得长；当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，由平行线间的距离，可得，，，再由勾股定理，得，即，即可求得，即可由求解．
【详解】解：如图2，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵成，
∴是直角三角形，由勾股定理，得
∴；
当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，如图，
∵，于H，过点D作于F，
∴，，
∴，
∴
由勾股定理，得
∴
∴
∴
故答案为：8；12．
15．6
【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AB=5，AC=4，
∴，
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积
=
=
=
=
=
=6.
【点睛】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键．
16．90
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题关键．由题意可知，即可求解．
【详解】解：在中，，
是直角三角形，且是斜边，
，
，
故答案为：90．
17．直角三角形
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，列出等式，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴三角形的形状为：直角三角形；
故答案为：直角三角形．
18．（1）CH与AB互相垂直，理由见详解；（2）新路CH比原路CA少0.05千米．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理可进行求解；
（2）设AB=AC=x千米，则有AH=(x-0.9)千米，然后根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：（1）CH与AB互相垂直，理由如下：
∵CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，
∴，
∴∠CHB=90°，即CH⊥AB；
（2）设AB=AC=x千米，则有AH=(x-0.9)千米，
∵CH⊥AB，
∴在Rt△AHC中，，即，
解得：，
∴1.25-1.2=0.05（千米）；
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
19．（1）的坐标为（4，-1），画图见解析；（2）点（4，2）即为所求，理由见解析；（3）
【分析】（1）先根据关于y轴对称的点的坐标特征得到A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理进行求解即可；
（3）根据进行求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
∵B（-4，-1），
∴B点关于y轴对称的点的坐标为（4，-1）；
（2）如图所示，点（4，2）即为所求；
由题意得：（2，3），（1，1），
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（3）由题意得： ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形直角三角形的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理．
20．乙船按南偏东方向航行
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理得，进而可得，进而可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图：
依题意得：（海里），（海里），（海里），，
，，，，
，
是直角三角形，，
，
，
乙船按南偏东方向航行．
21．元
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，连接，用勾股定理计算出，再通过勾股定理的逆定理可证为直角三角形，问题随之得解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，，
∴在中，（m），
∵在中，，，
∴，即，
∴也为直角三角形，
∴四边形的面积为，
则租金为：（元），
答：李某租用该土地一年需租金为元．
22．元
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后利用三角形面积公式求出草皮面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，，
，，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积，
（元），
即需要投入元．
23．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理．
（1）连接，利用线段垂直平分线的性质得到．再结合已知得到，推出是直角三角形，即可证明；
（2）设，则，利用，构造方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是边的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，即．
∴是直角三角形．
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，
解得．
∴．
24．(1)见解析
(2)24
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用．
（1）连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形；
（1）利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
【详解】（1）证明：连接，
在中，，，
，
在中，
，
为直角三角形；
（2）解：图形的面积为：
．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
D
C
A
D
D
D
B
题号
11
12








答案
C
B