山东师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月阶段性检测数学试卷（Word版附答案）

这是一份山东师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月阶段性检测数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了考试结束后,将答题卡交回，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
数 学
本试卷共4页,19题,全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.与直线平行,且经过点的直线的方程为
B. C. D.
如图所示,在三棱柱中,为的中点.
若,则可表示为
A. B.
C. D.
3.已知圆与直线和都相切,圆心在直线上,则圆的方程为
A. B.
C. D.
4.设两条异面直线的方向向量分别为,则直线与所成的角为
A. B. C. D.
5.已知在中,点,点,若,则点的轨迹方程为
A. B. C. D.
6.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于,则半径的取值范围
是
A. B. C. D.
7.已知是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中,,动点分别在线段上,则线段长度的最小值是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是
A. 是共线的充分不必要条件
B. 若共线,则
C. 三点不共线,对空间中任意一点,若,则四点共面 D. 若为空间四点,且有,则是三点共线的充要条件
10.已知直线,圆,则下列结论正确的是
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆恒有两个公共点
C. 直线与圆的相交弦长的最大值为
D. 当时,圆与圆关于直线对称
11.设椭圆的方程为,斜率为的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点,则下列结论正确的是
A. 直线与垂直
B. 若点坐标为,则直线方程为
C. 若直线方程为,则点坐标为
D. 若直线方程为,则
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
过点的直线被圆截得的弦长为,则直线的斜率为________.
已知.若四点共面,则实数_______.
已知椭圆,的上顶点为,两个焦点分别是,离心率为,过且垂直于的直线与交于两点,,则的周长是________.
四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图所示,在正四棱柱中,已知分别为上的点,且.
（1）求证：;
（2）求点到平面的距离.
16.（15分）已知椭圆过点,且离心率.
求椭圆的标准方程;
设的左、右焦点分别为,过点作直线与椭圆交于两点,,求的面积.
17.（15分）已知点是直线上一动点,过点作圆切线,切点分别为
.
当的值最小时,求切线方程;
试问：直线是否过定点？若过,求出该定点；若不过,请说明理由.
18.（17分）如图,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,为侧棱上的点.
（1）求证：;
（2）若平面,求平面与平面的夹角的大小;
（3）在（2）的条件下,侧棱上是否存在一点,使得平面.若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
19.（17分）已知椭圆中,点分别是的左顶点、上顶点,,且的焦距为.
求的方程和离心率;
过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点,设直线的斜率分别为,若,求的值.
2024年11月山东师大附中高二阶段性测试数学参考答案
选择题
三、填空题
或 13. 14.
四、解答题
15.（13分）
（1）证明：以为原点,所在直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系,则
所以.
因为,所以,又,所以平面.
（平面的法向量为）
（2）解：由（1）知,为平面的一个法向量,
所以点到平面的距离.
所以点到平面的距离.
（15分）
解：（1）将代入椭圆方程可得,即.因为,所以,代入上式可得,所以椭圆的标准方程为.
由题可得,设直线的方程为,
联立,得,
设,则,
则,
所以
,
解得,所以,
则的面积.
（15分）
解：（1）当时,的长最小,根据两直线垂直斜率之积等于,可得直线的斜率为；
此时可得直线的方程为,
联立,得交点,
当切线斜率不存在时,切线方程为,符合题意；
当切线斜率存在时,设切线方程为,则有,解得,所以切线方程为,
综上所述,切线方程为和.
（2）由点在直线上,可设为,又设,则由都与圆相切,得的方程分别为,
又点在直线上,故,
即可知直线的方程为,即.
令,得,即直线恒过点.
（17分）
证明：连接,交于点,连接,因为四边形是正方形,所以,又因为,所以,
因为,所以平面,因为平面,所以.
法一：因为,为的中点,所以,
又由（1）知平面,所以平面.
以为坐标原点,以所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系.
设底面边长为,则,于是
,
平面的一个法向量,平面的一个法向量,
设所求角为,则.所以平面与平面的夹角的大小为.
法二：由（1）知平面,所以,所以是平面与平面的夹角,因为平面,平面,所以,设,
所以.
因为为锐角,所以,所以平面与平面的夹角的大小为.
存在,,理由如下：
由（2）知是平面的一个法向量,,
设,则,
而,解得,即当时,,而平面,所以平面.
（17分）
解：（1）因为,所以,又焦距为,所以,解得,
所以椭圆的方程为,离心率.
（2）由（1）知,设,且,
所以,
由题意知直线,
代入得,易知,
则,
所以
,
即,
所以,
整理得,解得或,又因为,所以.
综上所述,的值为.
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7
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9
10
11
C
B
B
A
D
A
C
A
ACD
ABD
BD