云南省大理市2023-2024学年高一下学期6月质量检测试数学卷

这是一份云南省大理市2023-2024学年高一下学期6月质量检测试数学卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击．则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知z满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在复平面内，复数的共轭复数的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A．倍
B．3倍
C．倍
D．9倍
6．如图，在中，是BC的中点，是AD的中点，过点作直线分别交AB，AC于点M，N，且，则的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
7．对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正二角形
B．若P、Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为2
C．勒洛四面体ABCD的体积是
D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给定两组数据，其中第一组数据的平均数是4，方差是，第二组数据，则对第二组数据分析正确的有（ ）
A．和是58
B．平均数是10
C．方差是
D．标准差是1
10．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则与的夹角是钝角
C．向量能作为平面内所有向量的一个基底
D．若，则在上的投影向量为。
11．如图，在中，，点为BC的中点，与EF交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，．
C．当时，
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知三个复数，且所对应的向量满足；则的最大值为______．
13．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为______．
14．相看两不厌，只有敬亭山．李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省寍城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，在点处测得该楼项端的仰角为，则该楼的高度AB为______m．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数，且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若，求复数及．
16．已知非零向量不共线．
（1）如果，求证：A，B，D三点共线；
（2）若和是方向相反的两个向量，试确定实数的值．
17．第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.
（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；
（2）已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.
18．已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且
（1）求；
（2）若为BC的中点，求中线AD的取值范围．
19．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．
（1）若点为矩形内动点，使得面CPN，求线段ME的最小值；
（2）求证：面.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2.A 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.BC 10.AD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（1）【答案】解：，则，
又其为纯虚数，故，
解得，
故
（2）【答案】解：
则，
.
16.（1）【答案】解：，
所以共线，且有公共点，
所以A，B，D三点共线
（2）【答案】解：因为和是方向相反的两个向量，
所以存在实数，使
又不共线，所以，解得，或，
因为，所以，所以
17.（1）【答案】解：由题意得，解得，
所以100名志愿者的平均年龄为
因为，
所以第75百分位数位于内，设第75百分位数为，则，解得，
所以第75百分位数为52.5
（2）【答案】解：医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取人，设为A、B、C，
5人中选取3人组成综合组，情况可能为
，共10种，
至少有1人来自医疗组的情况为
，共9种，
所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率
18.（1）【答案】解：根据正弦定理，可得，
即
整理得，即，又
所以，即
（2）【答案】解：因为，两边平方得，
在中，由余弦定理得，，即，
所以，
在中，由正弦定理得，，
所以，所以
因为为锐角三角形，所以且，得，
所以，所以，所以，
所以中线的取值范围是
19.（1）【答案】解：连接，在正方形中，因为面面CPN，所以面CPN，在三角形中，
因为面面CPN，所以面CPN．
因为，所以面面CPN．
所以，在中
当时最小，所以ME的最小值为；
（2）【答案】解：在正方形中有，若的交点为，
连接MD、DN，即有矩形MCND，所以
又，所以面，所以面，
又面，所以，又，
所以面