安徽省A10联盟2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省A10联盟2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则元素个数为( )
A.2B.3C.4D.5
2．已知复数z满足,则( )
A.2B.5C.D.
3．设等差数列的前n项和为,若,,则( )
A.B.C.D.
4．已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等,且圆锥侧面展开图为一个半圆,则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为( )
A.2B.C.3D.
5．已知,,,则( )
A.B.7C.D.
6．已知,若正实数m,n满足,则的最小值是( )
A.B.C.2D.4
7．已知函数的一条对称轴为,一个对称中心为点,且在内仅有3个零点,则的值为( )
A.7B.6C.5D.4
8．已知可导函数的定义域为R,是的导函数,且,均为奇函数,,则( )
A.B.C.0D.1
二、多项选择题
9．已知是数列的前n项和,,则下列结论正确的是( )
A.数列是等差数列B.数列是递增数列
C.D.
10．设函数,则( )
A.当时,的图象关于点对称
B.当时,方程有个实根
C.当时,a是的极大值点
D.存在实数a,恒成立
11．已知圆,点A在直线上,过A作圆C的两条切线,（M,N为切点）,则下列结论正确的是( )
A.的最小值为
B.当轴时,四边形的面积为
C.原点O到直线距离的最大值为
D.的外接圆恒过两个定点
三、填空题
12．若向量、满足,,,则__________.
13．设双曲线的左、右焦点分别为,,P是C上一点,且,.若的面积为16,则C的离心率为____________.
14．若直线上一点P可以作曲线的两条切线,则点P纵坐标的取值范围为____________.
四、解答题
15．已知中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,求的值;
(2)记的面积为S,当取得最小值时,求的值.
16．已知函数.
(1)解不等式：;
(2)若函数存在两个极值点,,求实数a的取值范围.
17．如图,在平行六面体中,,.
(1)求证：平面平面;
(2)若平面平面,点E在线段上,且直线与平面所成角为,求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆的左焦点F与抛物线的焦点重合,且抛物线的准线截C所得弦长为.
(1)求C的方程;
(2)若过点F的直线l与C交于A,B两点（A在x轴上方）,与y轴交于点E.
①记,,,求证：为定值;
②求的最小值.
19．若数列满足：,若存在,都有,则称这个数列为下界数列,并把其中最小的值M叫做临界值,记为.
(1)记数列前n项和为,证明：数列是下界数列;
(2)记数列前n项和为,判断数列是否为下界数列,并说明理由;
(3)若数列是首项及公比均为2的等比数列,记,数列的临界值为,证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得,,从而.
故选：B.
2．答案：A
解析：由题意得,,
则,
.
故选：A.
3．答案：C
解析：由,,得,
解得,则.
故选：C.
4．答案：D
解析：设圆锥的母线长为l,底面半径为r,
由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,得,即,
圆锥的高,
所以圆柱的侧面积为,圆锥的侧面积为,
故圆柱和圆锥的侧面积之比为.
故选：D.
5．答案：C
解析：由得：①;
由得：②;
①+②得,
由得
则有,
.
故选：C.
6．答案：A
解析：由题意得,故是定义在R上的奇函数,
由,为增函数知是增函数,
因为,所以,即,
所以.
故选：A.
7．答案：B
解析：由题设,函数
其对称中心到对称轴的最短距离是,两对称轴间的最短距离是,
所以,即,所以,.
因为函数在内仅有3个零点,所以,解得,
所以.
故选：B.
8．答案：D
解析：因为为奇函数,则,即,
两边求导得,
所以关于直线对称, 即,①
又因为为奇函数,则,
即,可知关于点对称,
即②,
由①②得,,,即8为的周期.
注意到,
所以,
.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：因为,
当时,,解得;
当时,,则,
整理得,则,
所以是以1为首项,3为公比的等比数列,故A错误,
则数列是递增数列,故B正确,
且,,故CD正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：对于A选项,当时,,
因为,所以,,
所以的图象关于点对称,故A正确;
对于B选项,当时,,则,
令,可得或,列表如下：
所以,函数在上单调递增,上单调递减,上单调递增,
所以,,又因为,如下图所示：
由图可知,直线与函数的图象由三个交点,
即时,方程有个实根,故B正确;
对于C选项,,
当时,,此时函数在R上单调递增,故C错误;
对于D选项,当时,函数在R上单调递增,此时恒成立,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：AD
解析：A选项,由题意得,,,
则.
设,
所以,故A正确;
B选项,由于,满足条件,
但此时,故B错误;
C选项,设点O到的距离为d,以为直径的圆的方程为,
即,
两圆方程相减得的方程为,
所以,故C错误;
D选项,由可知,的外接圆是以为直径的圆,
由C可知圆的方程为,
即,
由,解得或,故该圆恒过和,故D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：因为,,,
则,所以,,
所以,因此,.
故答案为：.
13．答案：
解析：根据双曲线的定义可得,即,
由可得,
所以,又因为,
所以,即,
,即,
因为,所以,
所以,即,
解得,所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：曲线即曲线,
在曲线上任取一点,对函数求导得,
所以曲线在点处的切线方程为,即,
又切线过点,则.
令,则,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
所以.
由题意知,直线与曲线有两个交点,则,
当时,,当时,,故.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2).
解析：(1)因为,
所以,
即,则.
因为,所以.
(2)因为,
当且仅当时,等号成立,
此时,则,
则
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)由,得,即.
令,则,
令,解得,令,解得,
故在上单调递减,在上单调递增,
则等价于,即,
解得,故所求不等式的解集为.
(2),,
由题意知,.
当时,,在上单调递增,
所以至多有一个零点,不合题意,所以.
令,
因为存在两个极值点,所以有两个正零点,
易知,令,解得,
令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减.
注意到,当,,,,
要使有两个零点,需,
解得,即实数a的取值范围是.
17．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：(1)因为,.
由余弦定理求得,,所以,
所以,,
因为,,平面,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)因为平面平面,平面平面,,
所以平面,所以,结合(1)知,,,两两垂直,
则以D为坐标原点,建立的空间直角坐标系,如图所示.
则,,,,,
故,,
所以,所以.
设,则,
即,所以.
设平面的法向量为,
则,
令,则,,
所以.
因为,
所以,
解得,从而,
记平面的法向量为,
则,令,则,所以.
则,
即平面与平面的夹角余弦值为.
18．答案：(1)
(2)①证明见解析;②.
解析：(1)由题意知,抛物线 整理得,焦点为 ,
所以椭圆的左焦点为,则有,
又因为抛物线的准线截所得弦长为,
将代入,可得,
即所得弦长为椭圆通径,
解得,,
故C的方程为.
(2)①由题意知,,直线l的斜率存在且不为零,设,
联立,消去y得：,
,
设,,则,.
由,,点E的横坐标为0,
得,,
从而
,所以为定值4.
②由①知,,,
则
,
令,,,
当,即时,取得最小值.
19．答案：(1)证明见解析
(2)数列不是下界数列,理由见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由题意知,,
故数列是下界数列.
(2)由,知,
.
因为,
所以,
故数列不是下界数列.
(3)由题意知,,
,
因为,
所以,所以.
,当时,,
当时,
,
所以.
x
0
0
0
增
极大值
减
极小值
增