河北省保定市2025届高三上学期期末调研考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市2025届高三上学期期末调研考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2．已知复数，为z的共轭复数，则( )
A.-1B.-iC.D.7i
3．函数的图像向左平移个单位得到函数图像，则函数的解析式为( )
A.B.
C.D.
4．l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，若，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．在等比数列中，已知，则( )
A.8B.10C.12D.14
6．已知，，，则a、b、c的大小关系为( )
A.B.
C.D.
7．已知函数，则的图像( )
A.关于直线对称B.关于点对称
C.关于直线对称D.关于原点对称
8．已知点在抛物线的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小关系中正确的有( )
A.丙图中平均数大于中位数
B.乙图中平均数大于中位数
C.甲图中平均数和中位数应该大体上差不多
D.乙图中平均数小于中位数
10．已知数列满足，，，为其前n项和，则( )
A.B.
C.D.
11．已知函数，其中，存在三个零点，，且，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.a的取值范围为
D.若，，成等差数列，则
三、填空题
12．已知向量，，，，则___________.
13．随机数选择器每次只能从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中选一个数，并且以相等概率做选择，那么在2次选择后，选出的2个数的乘积能被10整除的概率为___________.
14．斜率为的直线l经过双曲线的左焦点，与该双曲线的左，右两支分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为___________.
四、解答题
15．已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数a，b的值；
(2)求的单调区间和极值.
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A；
(2)若，求的周长.
17．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，，，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，点M在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积.
18．已知椭圆过点，其离心率，点A为椭圆E的上顶点，过点A的两条直线，与椭圆E分别交于B，C两点，与直线分别交于M，N两点，的重心为点G.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求弦长的最大值；
(3)已知点，若，其中且，证明：当t在变化时，重心G在一条定直线上，并求出这条定直线方程.
19．已知有穷数列共有m项（其中且），集合且，其中i、j、k均为小于等于m的正整数.
(1)若，数列的各项依次为1、2、5、3、4，请写出集合A中所有的元素；
(2)若，且数列为单调递增数列，从集合A中任取一个元素，设随机变量，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)若数列为公差大于0的等差数列，从集合A中任取一个元素，定义事件“”，求事件M发生的概率（结果用m表示）
参考答案
1．答案：C
解析：由
解得，所以，
所以，
又全集，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2．答案：A
解析：因为，
所以，.
故选：A.
3．答案：D
解析：由的图像向左平移个单位得到图像，
所以.
故选：D
4．答案：D
解析：长方体中，平面ABCD，平面分别视为平面，，直线，分别为直线l，m，
显然有，而与相交，即不能推出；
长方体中，
平面ABCD，平面分别视为平面，，直线，
分别为直线l，m，
显然有，而l与m是异面直线，即不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
5．答案：C
解析：由题意可得公比q不为1，则，，
因为为等比数列，所以，也为等比数列，
所以，解得.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为余弦函数在上为减函数，且，
则，即，
对数函数为增函数，
则，即，
又因为，故.
故选：B.
7．答案：B
解析：函数，
对于A，，
故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
8．答案：C
解析：抛物线的准线方程为，
∵点在准线上，∴即，
抛物线的方程为，即，
设点B的坐标为，，
对求导可得，，∴直线AB的斜率为，
由、，
可知，解之得，或（舍负），
∴点，由抛物线的定义可知，，
故选：C.
9．答案：BC
解析：对于甲图，频率分布直方图的形状是对称的，
那么平均数和中位数大体上差不多，因此C正确；
对于乙图，频率分布直方图右侧拖尾，
那么平均数大于中位数，因此B正确，D错误；
对于丙图，频率分布直方图左侧拖尾，
那么平均数小于中位数，因此A错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：在数列中，，，
当时，，则，
对任意的，由
可得，
上述两个等式作差可得，
对于A选项，，A对；
对于B选项，，可得，B错；
对于C选项，
，C对；
对于D选项，，
因此，D对.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：由
得，即，即，令，
则，，为直线a和函数图像的交点的横坐标；
的定义域为，
且，故为奇函数；
又当时，，，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故在时取得极大值，且，，
作的图像如下所示：
对AB：数形结合可知，，
故，故A正确，B正确；
对C：若使得与有个交点，
则，解得，故C错误；
对D：若，，成等差数列，则，
即，
即，
即，又，
则，
即，，
也即，又，
故，故D正确；
故选：ABD.
12．答案：
解析：由题意可得，
所以，
所以.
故答案为：
13．答案：
解析：随机数选择器每次只能从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中选一个数，
选择2次，每次都有9种结果，共种结果，
若选出的2个数的乘积能被10整除，
则其中有一次选择的数为5，另一次选择的数为偶数，
则不同的选择结果有种，
由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：设则，
设线段的中点为M，
连接得垂直平分，
则根据题意得，
故，故，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
15．答案：(1)，
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为，极小值为
解析：(1)，切点坐标为，
，
即，解得，
，
(2)，定义域为，
得或，
得或
得；
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
的极大值为，的极小值为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中，由正弦定理
得，
又因为，
所以，
所以，
化简得，又因为，所以.
(2)在中，由正弦定理
得，，
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，
所以，
所以，所以周长为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接BD，在直角梯形ABCD中，易得，
又，，
又平面平面，
平面平面，平面，
平面
平面，
，
又，，，平面，
平面
平面，
.
(2)如图，取的中点O，的中点，连接，
由题意可得，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
以O为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令得，
又平面
平面的一个法向量，
，
令，
解得或（舍）.
即M为的靠近P的三等分点时，
二面角的平面角为，
平面，且，
M到平面的距离为，又四边形的面积为3，
四棱锥的体积.
18．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析，
解析：(1)由得，
又，
由在椭圆上，得，
，
椭圆E的方程为.
(2)设，
，
，其中，
当时，取得最大值，最大值为.
(3)由知B，C，P三点共线，
且直线斜率存在且不为0，所以设直线方程为
，，
，
恒成立，
，
直线，令
得，
同理，
，
，
，
点G在定直线上.
19．答案：(1)、、、、
(2)分布列答案见解析，数学期望
(3)
解析：(1)根据题意，集合A中所有的元素为：、、
、、.
(2)由题意可知集合A中元素个数为个，
随机变量X的可能取值为3、4、5、6，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为
期望.
(3)由题意知事件可等价于其角标成等差即满足，
集合A中元素个数为个，且.
①m为偶数时，、3、4、、时，
集合A中满足的元素个数依次为1、2、3、、个，
、、、、时，
集合A中满足的元素个数依次为、、、、个，
所以此时事件M包含的基本事件个数总共有
个，
所以；
②m为奇数时，、3、4、、时，
集合A中满足的元素个数依次为1、2、3、、个，
、、、、时，
集合A中满足的元素个数依次为、、
、、1个，
所以此时事件M包含的基本事件个数总共有
个
所以.
综上.
X
3
4
5
6
P