陕西省宝鸡市2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份陕西省宝鸡市2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则复数z的虚部为( )
A.B.C.D.
3．已知向量，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A.B.C.D.2
5．已知，，则( )
A.B.-3C.D.
6．等比数列的各项均为正数，且，设，则数列的前项和( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的右焦点为，过点F的直线交双曲线E于A、B两点若的中点坐标为，则E的方程为( )
A.B.
C.D.
8．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为( )（参考数据：）
A.3937万元B.3837万元C.3737万元D.3637万元
二、多项选择题
9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则.
C.若，，则
D.若，，则.
10．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.6个零点之和是6
11．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.当时，在上单调递增
B.若，且，则函数的最小正周期为
C.若的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，则的最小值为3
D.若在上恰有4个零点，则的取值范围为
三、填空题
12．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为__________.
13．已知数列前n项和为，且，，若存在两项，使得，当，，时，则最小值是__________.
14．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________.
四、解答题
15．如图，已知的半径是1，点C在直径的延长线上，，点P是上半圆上的动点，以为边作等边三角形，且点D与圆心分别在的两侧
(1)若，试将四边形的面积y表示成的函数
(2)求四边形的面积的最大值
16．统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为2020年—2024年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中2020年—2024年对应的代码依次为1—5.
，，，其中
参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
(1)由上表数据可知，若用函数模型拟合y与x的关系，请估计2028年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）；
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率P，现从我国在线直播购物用户中随机抽取5人，记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的数学期望和方差
17．如图，在正四棱柱中，，点，，，分别在棱，，，上，，，
(1)证明：
(2)是在棱上否存在点P，使得二面角为，若存在，求出点P位置，若不存在，请说明理由
18．已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设圆M过，且圆心M在抛物线C上，是圆M在y轴上截得的弦当M在抛物线C上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；
(3)过作互相垂直的两条直线交抛物线C于G、H、R、S，求四边形的面积最小值
19．已知函数.
(1)当时，则过点的曲线的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有唯一零点，求实数a的取值范围
参考答案
1．答案：C
解析：集合，
,
故，
故选；C
2．答案：A
解析：因为复数z满足，
则，
因此，复数z的虚部为.
故选：A.
3．答案：B
解析：.
而，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件
故选：B
4．答案：A
解析：由
配方得，
所以圆心为，
因为圆的圆心
到直线的距离为1，
所以，解得.
故选：A.
5．答案：D
解析：因为，则，，
因为，
则①，
等式①的两边同时除以
可得，
解得，
故选：D.
6．答案：B
解析：设等比数列的公比为q，则，
则，
所以，所以，
因为，可得，
所以，
所以，
所以，，
即数列是首项为-1，公差为-1的等差数列，
所以，
所以，
因此.
故选：B.
7．答案：D
解析：设、，
若轴，则线段的中点在x轴上，不合乎题意，
因为线段的中点坐标为，
则，
则，
两式相减得，
则，
因为，
所以，，
所以，，
解得，
因此，双曲线E的标准方程为.
故选：D.
8．答案：A
解析：设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）
分别为，，
依题意可得，
则，
所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，
则，即，
则，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元
故选：A.
9．答案：AC
解析：对于A：因为，
可知在平面内存在直线l，使得，如图所示，
又因为，且，则，所以，因此A正确；
对于B：如图所示：，，但，故B错误；
对于C：若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确
对于D：，，如图所示，，故D错误
故选：AC.
10．答案：BD
解析：由函数的图像，
经过y轴翻折变换，可得函数的图像，
再向右平移1个单位，可得的图像，
最终经过x轴翻折变换，可得的图像，如图所示，
则函数的图像关于直线对称，令，
因为函数最小的零点为，且，
故当时，方程有4个零点，
所以要使函数有6个不同的零点，
且最小的零点为，则或，
由，可得或，
设的四个根从小到大依次为，，，
由函数的图像关于直线对称，
可得，
所以的所有零点之和是6，故D正确；
关于t的方程的两个实数根为0和1，
由韦达定理，得，，所以B正确，A，C错误
故选：BD.
11．答案：ABD
解析：对于A，当时，若，则，
由于在上单调递增，
故在上单调递增；故A正确；
对于B，若，且，
则当且仅当，故B正确；
对于C，若的图像向左平移个单位长度后，
得到的图像所对应的函数表达式为：，
若的图像关于y轴对称，
则，，
注意到，
所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误；
对于D，，，
得到，
若在上恰有4个零点，
则当且仅当，
解得，
即的取值范围为，故D正确
故选：ABD.
12．答案：
解析：设弦长为l，过原点且倾斜角为的直线方程为
整理圆的方程为：，圆心为，半径
圆心到直线的距离为：
则：
故答案为：
13．答案：4
解析：由，得，
两式相减得
而，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，即，
因为，则，
即，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以最小值是4，
故答案为：4.
14．答案：
解析：因为的导数为，
则，
所以曲线在处的切线方程为，即，
又切线与曲线相切，设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为；.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知：，
在中，，，
由余弦定理知：，
所以，，
，
即；
(2)由(1)知，
则，所以，
当，即时取到最大值.
即四边形的面积的最大值为.
16．答案：(1)7.77亿人
(2)，
解析：(1)设，则，
因为，，，
所以，，
所以，y与x的拟合函数关系式为
当时，，
则估计2028年我国在线直播生活购物用户的规模为7.77亿人
(2)由题意知，
所以，，
，
由，
可得，
因为，解得，
所以，，
.
17．答案：(1)证明见解析
(2)存在，或
解析：(1)以C为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，
，
又，不在同一条直线上，
(2)假设在棱上存在点，
使得二面角为，
则，，
设平面的法向量，
则，
令，得，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
化简可得，，
解得或，或，
所以在棱上存在点P，
使得二面角为，
点P是线段靠近两端点的两个四等分点
18．答案：(1)
(2)有，理由见解析
(3)32
解析：(1)由已知，抛物线C的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是，
把代入椭圆方程化简得，解得.
所以抛物线C的方程为.
(2)假设M在抛物线C上运动时弦的长为定值，理由如下：
设在抛物线C上，
可知到y轴距离为，
根据圆的弦长公式可知：，
由已知，，
所以，
则M在抛物线C上运动时弦的长的定值为4.
(3)若过点F且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直，
则其中与x轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设过的F的两条直线的方程分别为、，其中，
设直线交抛物线C于点、，
由
得，
，
由韦达定理可得，
则，
同理可得，
所以，四边形的面积
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即四边形的面积的最小值为32.
19．答案：(1)有3条切线，
(2)答案见解析
(3)
解析：(1)当时，，
，
设切点为，
因为切线过点，所以切线斜率存在，
故可设切线方程为，
则，
化简可得，
即，
由的判别式知方程有2个不等实根且不为1，
故有3个不等的实根，
所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，
故，
所以切线方程为.
(2)，
当时，，所以函数在R上单调递增；
当时，，
所以或时，，单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，
所以或时，，单调递增，
当时，，单调递减；
综上，时，在R上单调递增，无递减区间；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减；当时，
在和上单调递增，在上单调递减
(3)当时，，函数仅有1个零点1；
当时，由(2)知，的极大值为，
且当时，，
若有唯一零点，则，
解得，故，
当时，由(2)知，的极大值为，同理，
若有唯一零点，则，
解得，故，
综上，实数a的取值范围
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
3.98
4.56
5.04
5.86
6.36