四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.
C.D.
2．已知命题,,则是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．函数的定义域是( )
A.B.C.D.
4．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为( )
A.1.5D.
5．设m,n为实数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
7．已知,若,则( )
A.1B.C.2D.
8．已知函数,设,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知正实数a,b满足,下列结论中正确的是( )
A.的最大值是B.的最小值是
C.的最小值是3D.的最小值为
10．给出下列结论,其中不正确的结论是( )
A.函数的最大值为
B.已知函数且在上是减函数,则实数a的取值范围是
C.在同一平面直角坐标系中,函数与的图象关于直线对称
D.已知定义在R上的奇函数在内有110个零点,则函数的零点个数为221
11．已知函数,则( )
A.是R上的减函数
B.不等式的解集为
C.若是奇函数,则
D.的图象关于点对称
三、填空题
12．_____________.
13．幂函数在上单调递增,则的图像过定点_______________.
14．设函数,若函数的零点为4,则使得成立的整数t的个数为______________.
四、解答题
15．已知集合,.
(1)若,,求;
(2)若,,求正数a的取值范围.
16．已知（,且）,且.
(1)求a的值及的定义域;
(2)求在上的最小值.
17．已知函数为奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断并证明的单调性;
(3)若不等式对任意都成立,求实数k的取值范围.
18．学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下：
（i）函数的图象接近图示；
（ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
（iiii）每天得分最多不超过12分.
现有以下三个函数模型供选择：
①；
②；
③.
(1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
(2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？
（参考值：）
19．“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x,都有”.若函数的图像关于点对称,且当时,.
(1)求的值;
(2)设函数.
（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称;
（ⅱ）若对任意,总存在,使得成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由,则,所以,
所以,
故选：C.
2．答案：C
解析：,成立的否定为：,成立.
命题,,则是,.
故选：C.
3．答案：C
解析：要使函数有意义,
则,得
所以函数的定义域为.
故选：C.
4．答案：D
解析：由表格可知,方程的近似根在,,,,内,
又因为,又,
故方程的一个近似根(精确度)可以为.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为函数为上的单调递增函数,又,
所以,所以,又函数在上单调递减,所以,
所以“”是“”的充分条件,因为函数在上单调递减,又,所以,当m为负数时,没有对数值,
所以“”不是“”的必要条件,所以“”是“”的充分不必要条件,A正确,
故选：A.
6．答案：A
解析：,且函数定义域为,关于原点对称,所以为奇函数,排除CD.
当时,,所以,排除B,经检验A选项符合题意.
故选：A.
7．答案：B
解析：根据题意,若,
,
则必有,即,
则,
即,则,
解得：或（舍去）,
,
故选：B.
8．答案：C
解析：函数,由,即,,
解得显然, 为偶函数,
当时,,
易知在上单调递增,结合复合函数单调性可知：
在上单调递增.
在上为减函数,在上为增函数,
,,
所以,,
.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：解：对于A项：因为,所以,
则（当且仅当,时取等号）,故A错误;
对于B项：因为（当且仅当,时取等号）,故B正确;
对于C项：因为,所以,
因为,
所以（当且仅当时取等号）,故C正确;
对于D项：（当且仅当时取等号）,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：AB
解析：对A选项,利用复合函数的单调性,令,随u增大函数值减小,
而当时,有最大值1,可求得当时,的最小值为,可知A选项错误;
对B选项,可令,
当时,中,y随u增大而减小,若原函数是减函数,则随x增大而增大,可得,与条件矛盾;
当时,y随u减小而减小,且真数要恒大于0,
满足题意的不等式组为,可知a的取值范围为,B选项错误;
对C选项,设的图像上任意一点,将指数式转化为对数式：,
可知其关于的对称点在的图像上,
反之,对于的图像上的任意一点,将对数式转化为指数式,有,即点关于直线的对称点在函数的图像上,
可知的图像与的图像关于对称,C选项正确;
（也可根据同一底数的指数函数和对数函数互为反函数,互为反函数的函数图像关于对称判断）;
对于D选项,奇函数的图像关于原点中心对称,在有个零点,则在也有个零点,再加上定义在R上的奇函数图像必过原点,也是一个零点,共有个零点,D选项正确.
故选：AB.
11．答案：ABC
解析：对于A,因为在R上单调递增且,故是R上的减函数,正确;
对于B,由,可得
,
故由得,
即,结合是R上的减函数,
可得,,即的解集为,B正确;
对于C,的定义域为R,若是奇函数,
则,,即,
满足,即为奇函数,
故,C正确;
对于D,由B的分析可知,
即的图象关于点对称,和不一定是同一个点,D错误,
故选：ABC
12．答案：
解析：
.
故答案为：.
13．答案：
解析：由幂函数在上单调递增,所以,
解得,所以,
故令得,所以,所以的图像过定点.
故答案为：.
14．答案：10
解析：因为函数的零点为4,所以,
又,所以,所以,
所以,
因为在上单调递减,在上单调递增;
所以在上单调递减,且;
由得,即,所以,
故,又,
故,故整数t的个数为10.
故答案为：10.
15．答案：(1)
(2).
解析：(1)由题意得,而,故,
得,;
(2)由,得,即,即,
而,由得,即,
而,故,且,得,
即a的取值范围为.
16．答案：(1),
(2)
解析：(1),即,则,
由题意得, ,的定义域为：.
(2),
令,则,
的对称轴：,
在上单调递增,在上单调递减;
, 在单调递减,
由复合函数可知：时,单调递减,时,单调递增,
.
17．答案：(1)1;
(2)在R上单调递减,证明见解析;
(3).
解析：(1)由函数为奇函数,其定义域为R,
所以,
即,解得,此时,
满足,
即为奇函数,
故a的值为1.
(2)在R上单调递减,证明如下：
由(1)知,
,,且,
则,
因为,所以,,,
所以,,
即函数在R上单调递减;
(3)由题知：当,恒成立;
则;
令,,
所以;
又,当且仅当时等号成立,
而,所以,则.
所以实数k的取值范围为
18．答案：(1)选择③，；
(2)29.25.
解析：（1）模型①，由图象过点，，
得，解得，，，
在原点附近增长速度先快后慢，不符合；
模型②为爆炸增长型函数，不符合.
故选模型③.
由题知，，解得，，
所以.
（2）由（1）知，，
令，得，解得，
所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟.
19．答案：(1)
(2)（ⅰ）证明见解析;（ⅱ）.
解析：(1)因为函数的图像关于点对称,
则,
令,可得.
(2)（ⅰ）证明：由,
得,
所以函数的图像关于对称.
（ⅱ）,
则在上单调递增,
所以的值域为,
设在上的值域为A,
对任意,总存在,使得成立,
则,
当时,,
函数图象开口向上,对称轴为,且,
当,即,函数在上单调递增,
由对称性可知,在上单调递增,所以在上单调递增,
因为,,
所以,
所以,由,可得,解得.
当,即时,函数在上单调递减,在上单调递增,
由对称性可知在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
结合对称性可得或,
因为,所以,,
又,,
所以,,
所以当时,成立.
当,即时,函数在上单调递减,
由对称性可知在上单调递减,因为,,
所以,所以,由,
可得,解得.
综上所述,实数a的取值范围为.
x
1