万源中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份万源中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．设向量,,若,则( )
A.B.C.1D.2
3．椭圆的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
4．直线与圆的位置关系为( )
A.相离B.相交C.相切D.无法确定
5．若l,n是两条不相同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题中为真命题的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
6．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是( )
A.至少有一个黑球与都是黑球B.恰好有一个黑球与都是红球
C.至少有一个黑球与都是红球D.恰好有两个黑球与至少一个红球
7．定义在R上的偶函数在上单调递增,且,则的解集是( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐标系中,点,,,若点P满足,则的最大值为( )
A.9B.11C.13D.15
二、多项选择题
9．下列关于空间向量的命题中,是真命题的有( )
A.设,,为空间的一组基底,且,则A,B,C,D四点共面
B.若非零向量,,,满足,,则有
C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D.将空间所有的单位向量平移到一个起点,则它们的终点构成一个球面
10．若方程所表示的曲线为C,则( )
A.曲线C可能是圆
B.若C为椭圆,且焦点在x轴上,则
C.若,则C为椭圆
D.当时,表示焦点在x轴上的椭圆,焦距为
11．“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularslid）,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图所示,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知,则关于如图半正多面体的下列说法中,正确的有( )
A.该半正多面体的体积为
B.该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式
C.该半正多面体过A,B,C三点的截面面积为
D.该半正多面体外接球的表面积为
三、填空题
12．已知椭圆中,点P是椭圆上一点,,是椭圆的焦点,且,则的面积为________.
13．无论为何值,直线过定点________.
14．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式,则实数t的所有可能取值的和为________.
四、解答题
15．求满足下列条件的椭圆的标准方程:
（1）焦点坐标分别为,,且经过点;
（2）经过两点,.
16．已知的顶点,边上的高所在的直线方程为.
（1）求直线的方程;
（2）若边上的中线所在的直线方程为,求直线的方程.
17．如图,在四棱锥中,平面,,,且,,M是AD的中点,N是的中点.
(1)求证：平面;
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.
18．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,的外接圆的半径为.
(1)求角C的值;
(2)如果,求的面积;
(3)求内切圆半径r的最大值.
19．已知圆M与直线相切于点，圆心M在x轴上.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过点(1,1)的直线l与圆M交于两点，当时，求直线l的一般式方程；
(3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：由直线,则其斜率为1,设其倾斜角为,则,解得.
故选:B.
2．答案：D
解析：因为,可得,
即,解之可得.
故选:D
3．答案：C
解析：由于椭圆标准方程为:.
,,所以,则.
又,所以焦点在y轴上,故焦点坐标为:.
故选:C.
4．答案：C
解析：圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
所以相切，
故选：C.
5．答案：C
解析：对A、B、D,都可能推出,所以不正确;
对C,根据两个平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,所以C正确.
故选C.
6．答案：B
解析：对于选项A:至少有一个黑球包括一黑一红、两黑,与都是黑球有可能同时发生,故不是互斥事件,故选项A不正确;
对于选项B:恰好有一个黑球与都是红球是互斥事件,还有可能两个黑球,故互斥不对立,
故选项B正确;
对于选项C:至少有一个黑球包括一黑一红、两黑,与都是红球是对立事件,故选项C不正确;
对于选项D:至少一个红球包括一黑一红、两红与恰好有两个黑球是对立事件,故选项D不正确,
故选:B.
7．答案：A
解析：因为为R的偶函数,又,在上单调递增,
所以,函数在上单调递减,
所以当时,,,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
又当或或时,,
所以的解集为,
故选:A.
8．答案：C
解析：设,由得,整理得,
,
因为,所以,所以,时,,
故选:C.
9．答案：BCD
解析：,,为空间的一组基底,若A,B,C,D共面,则且,
又,所以,,,矛盾,所以A,B,C,D不共面,A错;
,,都是非零向量,,则与方向相同或相反,同理,与方向相同或相反,
所以与方向相同或相反,从而,B正确;
由法向量的定义知C正确;
将空间所有的单位向量平移到一个起点,则它们的终点到这个直线的距离都等于1,终点构成一个球面,D正确.
故选:BCD.
10．答案：AB
解析：对于A,当,即时,曲线,表示圆,故A正确;
对于B,若C为椭圆,且焦点在x轴上,
则,解得,故B正确;
对于C,由A知,当时,曲线C为圆,故C错误;
对于D,当时,曲线表示焦点在x轴上的椭圆,
其焦距为,故D错误.
故选:AB.
11．答案：ABD
解析：如图,该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.
对于A,因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的,
所以该几何体的体积为:,故A正确;
对于B,几何体顶点数为12,有14个面,24条棱,即,,,满足,故B正确;
对于C,由平行关系得到过A,B,C三点的截面为正六边形,边长为2,
可分割为6个正三角形,所以,故C错误;
对于D,根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为2,
侧棱长为的正四棱柱的外接球,故外接球半径为,
所以该半正多面体外接球的表面积,故D正确,
故选:ABD.
12．答案：
解析：由题意,,,,
中,,
所以,
,
所以.
故答案为:.
13．答案：
解析：直线方程可化为,
由得,
所以直线过定点,
故答案为:.
14．答案：
解析：由已知得,,整理得,
看成有且仅有三条直线满足,和到直线（不过原点）的距离t相等;
由,
（1）当,此时,易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线.
（2）当时,有4条直线l会使得点和到它们的距离相等,
注意到l不过原点,所以当其中一条直线过原点时,会作为增根被舍去;设点A到l的距离为d,
①作为增根被舍去的直线l,过原点和A,B的中点,其方程为,
此时,,符合;
②作为增根被舍去的直线l,过原点且以为方向向量,其方程为,
此时,,符合;
综上,满足题意的实数t为,,,它们的和为.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）解法一:椭圆的焦点在y轴上,
设所求椭圆的标准方程为.
由题意知,,
解得,.
所求椭圆的标准方程为.
解法二:椭圆的焦点在y轴上,
设所求椭圆的标准方程为.
由题意得,解得,
所求椭圆的标准方程为.
（2）解法一:（i）当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为,
依题意知解得
,
焦点在x轴上的椭圆不存在.
（ii）当椭圆的焦点在y轴上时,
设椭圆的标准方程为.
由题意得解得.
故所求椭圆的标准方程为.
解法二:设所求椭圆的方程为.
由题意得
解得
故所求椭圆的方程为,
即椭圆的标准方程为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为边上的高所在的直线方程为,可得斜率为,
可得直线的斜率,又因为的顶点,
所以直线的方程为,即;
所以直线的方程为.
（2）直线边上的中线所在的直线方程为,
由方程组,解得,所以点,
设点,则的中点在直线上,所以,即,
又点在直线上,,解得,所以,
所以的斜率,所以直线的方程为,
即直线的方程为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为平面,平面,
所以,
由,知,,
又,,平面,
所以平面,
因为平面,所以,
因为,M是中点,所以,
又,,平面,
所以平面.
(2)以C为坐标原点,以,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
如图,则,,,,,,
故,,,
设平面的法向量,
则,即,取,
由(1)可知为平面ADE的法向量
则,
即平面ADE与平面所成夹角的余弦值.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由及正弦定理,可得
又因为
所以,故,
由于,所以.
(2)由已知,
由余弦定理可得①
又由可得②
由①②可解得,,
所以.
(3)因为,,
所以,即
由可知,即
从而
又因为,所以,因此
从而r的最大值为,当且仅当,即为正三角形时等号成立
19．答案：(1)
(2)
(3).
解析：(1)由题可知，设圆的方程为，
由直线与圆相切于点，
得，
解得，
所以圆的方程为；
(2)设圆心到直线l的距离为d∵
∴
①当直线斜率不存在时：,满足到直线的距离
②当直线l斜率存在时：设l方程：
即
综上：直线l的一般式方程为或
(3)由题意知，，
设直线的斜率为，
则直线的方程为，
由，得，
解得或，
则点A的坐标为，
又直线的斜率为，
同理可得：点B的坐标为，
由题可知：，
，
又，
同理，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为.