重庆市秀山高级中学校2024-2025学年高二上学期适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市秀山高级中学校2024-2025学年高二上学期适应性考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差( )
A.3B.2C.D.4
2．已知圆,圆,则这两个圆的位置关系为( )
A.外离B.外切C.相交D.内含
3．已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为( )
A.B.C.D.
4．在正方体中，点M是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
5．已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为( )
A.4B.C.D.
6．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为2.4，深度为0.4，则该抛物线的焦点到顶点的距离为( )
A.0.9B.1.8C.1.2
7．直线经过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于A，B两点，若M为线段中点，，则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知数列满足，且，记数列的前n项和为，则( )
A.B.C.D.2
二、多项选择题
9．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则( )
A.是等差数列B.是等差数列
C.是等比数列D.是等比数列
10．下列说法正确的是( )
A.若向量，，共面，则它们所在的直线共面
B.若G是四面体的底面的重心，则
C.若，则A，B，C，G四点共面
D.若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11．已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为P，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于A，B两点，的内切圆与相切于点Q，则下列选项正确的是( )
A.线段的最小值为
B.的内切圆与直线相切于点
C.当时，双曲线的离心率为
D.当点关于点P的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，已知向量，则在x轴上的投影向量为________.
13．在等比数列中，，，则________.
14．已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线C于A，B两点，若，，则________.
四、解答题
15．已知三点，，，记的外接圆为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于M，N两点，求的面积.
16．已知㭻圆（）经过点，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆C交于点P（异于顶点）与y轴交于点M，点F为椭圆的右焦点，O为坐标原点，，求直线的方程.
17．已知数列的首项，设为数列的前n项和，且有.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
18．在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若F为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值.
19．如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积为定值；
(3)求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由，
故选：B
2．答案：C
解析：圆的圆心为,半径为,
可化为,
圆的圆心为,半径为,
圆心距,
,,,
所以两个圆的位置关系是相交.
故选:C
3．答案：D
解析：设椭圆焦距为，
则，则，所以椭圆的左焦点为，
所以双曲线的左顶点为，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线为.
故选：D
4．答案：C
解析：如图所示，取中点N，连接，，，，
取中点O，连接，则，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角是异面直线与所成角，
设正方体棱长为2，则，，
在等腰中，O是中点，所以，
所以，
即异面直线与所成角的正弦值为.
故选：C
5．答案：B
解析：由题意可得，所以，解得，
故两直线方程分别为，，
故这两条平行线之间的距离为.
故选：B.
6．答案：A
解析：如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上，
设抛物线方程为，代入，
所以，解得，所以抛物线方程为，
则该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故选：A
7．答案：C
解析：直线的斜率，如图，
由，得，则直线的斜率，
设，，，
则，两式相减得，
于是，而，，
因此，解得，
所以椭圆的离心率.
故选：C
8．答案：A
解析：，当时，
，，
两式相减得，，
所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
，
当时，，，
两式相减得，，
所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列，
；
综上可知：，
所以，
设，则，
所以
，
则.
故选：A
9．答案：AD
解析：对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确；
对于B，数列的通项公式为，则，
所以数列是公比为3的等比数列，B错误；
对于，所以数列是公差为1的等差数列，C错误；
对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确，
故选：AD.
10．答案：BD
解析：对于A：根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上，故A错误；
对于B：设，，，，
则，，，
又因为G是底面的重心，则，
所以成立，故B正确；
对于C：，
则，
即，故，
即不能由，线性表示，故A，B，C，G四点不共面，C错误；
对于D：设在基底下的坐标为，
则，
因为在基底下的坐标为，
所以，解得，
所以在基底下的坐标为，即D正确.
故选：BD.
11．答案：BCD
解析：设双曲线的右焦点为，，，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，则，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去y，得，
，，
由，解得或，
所以
，
所以当直线与x轴垂直时，的长最小，即最小值为，故A错误；
设的内切圆与三角形三边的切点分别是Q，E，N，由切线长性质，
可得，
因为，
所以，所以与N重合，
即的内切圆与直线相切于点，故B正确；
由题可知双曲线的渐近线为，，则，
由上可知，所以，所以，故C正确；
若关于P点的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x轴的夹角为，则其渐近线方程为，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为向量，设x轴上的一个单位向量为，
所以在x轴上的投影向量为.
故答案为：
13．答案：12
解析：设等比数列的公比为q，，
所以，所以，
故答案为：12.
14．答案：2
解析：由题意得，直线斜率不为0，
设其方程为，，，
由，得，
当时，，
因为，所以，代入上式解得，
因为，所以，
代入抛物线方程，得，
化简得，，又因为，所以.
故答案为：2
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）设的方程为，
由题意可得，解得，
所以的方程为，
化为标准方程可得.
（2）由（1）可得圆心，半径，
所以圆心C到直线的距离为，
且，
因此的面积为.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意可得，，
所以，，，
所以椭圆方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在，
故设直线的方程为，，
，
所以，所以，
故，，
所以，，
所以，
所以，解得，
故直线的方程为.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由，
当时，，
两式相减，得，即，
即对恒成立，所以是常数列，
所以，所以
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
两式相减，得
，
所以
18．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3).
解析：（1）底面，底面，底面，
，，又，
以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
，平面平面，
平面的一个法向量，
，，
故平面.
（2）由（1）知，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，即，
设直线与平面所成角为，
.
（3）由（1）知，设，
则，则，
，，，即，
，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，即，
平面平面，平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
.
19．答案：(1)；
(2)证明见解析；
(3)
解析：（1）设双曲线的标准方程为，
由题意知，且，所以，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）设点，由题可知，，
则，，所以，
由点P在双曲线上，可知，即有，
所以，故；
（3）由（2）可知，且，，
所以可设直线的方程为，
则直线的方程为，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此
，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此
，
所以，又，
所以，
所以，，
所以的取值范围为.