【备战2025年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题训练30 尺规作图类问题（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. （2024山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. （2024四川眉山）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A. 7B. 8C. 10D. 12
3. （2024天津市）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
4. （2024河北省）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A. 角平分线B. 高线C. 中位线D. 中线
5. （2024武汉市）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ）

A. B. C. D.
6. （2024四川南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ）

A. B. C. D.
7. （2024北京市）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8. （2024深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. 只有①
9. （2024四川成都市）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10.（2024湖北省） 为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1. （2024湖南省）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________．
2. （2024贵州省）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为______．
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______．
4. （2024山东枣庄）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________．
5. （2024天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上．
（1）线段的长为______；
（2）点在水平网格线上，过点作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使的周长最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______．
三、解答题
1. （2024福建省）如图，已知直线．
（1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．
2. （2024广西）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
3. （2024陕西省）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
4. （2024内蒙古赤峰）如图，在中，D是中点．
（1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形．
5. （2024黑龙江绥化）已知：．
（1）尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
6. （2024甘肃临夏）根据背景素材，探索解决问题．
7. （2024甘肃威武）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
8. （2024河南省）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形
9. （2024武汉市）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
（4）在（3）基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
10. （2024吉林省）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______．
（2）如图②，在菱形中，，，则______．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在中，，，，点P为边上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点K圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧；
（ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
11. （2024江苏扬州）如图，已知及边上一点．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
12. （2024江西省）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
13. （2024山东威海）感悟
如图1，在中，点，在边上，，．求证：．
应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）．
14. （2024四川达州）如图，线段、相交于点．且，于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
（3）过点作射线，则.

平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形
背景素材
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件
点与坐标原点重合，点在轴正半轴上且坐标为
操作步骤
①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；
②以点为圆心，长为半径作圆；
③以的长为半径，在上顺次截取；
④顺次连接，，，，，得到正六边形．
问题解决
任务一
根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二
将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______．